O Teorema Fundamental e as Desigualdades de Morse

O resultado central da Teoria de Morse descreve como a topologia dos subn´ıveis Ma muda conforme a au- menta.

N˜ao ´e dif´ıcil ver, usando o fluxo do gradiente de f , que se[a, b]n˜ao cont´em nenhum valor cr´ıtico ent˜ao a topologia n˜ao muda quando passamos de a para b, pois nesse caso o campo gradiente n˜ao tem singularidades em f−1([a, b]).

A situac¸˜ao ´e mais complicada se[a, b]contiver um valor cr´ıtico. O que ocorre nesse caso ´e que Ma ´e obtido de Mb pela junc¸˜ao de alc¸as, cujo tipo depende dos ´ındices dos pontos cr´ıticos em quest˜ao. Se P ⊂ N s˜ao variedades com bordo de mesma dimens˜ao n, dizemos que N ´e obtida de P pela jun¸c˜ao de uma al¸ca de tipo λ se existe um fechado H⊂N e uma aplicac¸˜ao α : ¯Dn−λ×D¯λ _{→H (onde ¯D}k_{denota o disco unit´ario fechado em}

Rk_{) satisfazendo as seguintes condic¸ ˜oes}

1. N=P∪H,

2. A restric¸˜ao de α a ¯Dn−λ×Sλ−1_{define um homeomorfismo ¯D}n−λ_×Sλ−1_'H∩∂P

3. A restric¸˜ao de α a ¯Dn−λ×Dλ_{define um homeomorfismo ¯D}n−λ_×Dλ_{' N\P.}

Note que nesse caso N tem o mesmo tipo de homotopia que P unido com um λ-c´elula, pois podemos contrair a imagem do disco fechado ¯Dn−λem N.

Teorema 6.12. Teorema Fundamental da Teoria de Morse Seja f uma fun¸c˜ao de Morse limitada inferiormente em

M e suponha que Ma ´e compacto para todo a∈R. Ent˜ao

A. Se f n˜ao tem nenhum valor cr´ıtico no intervalo[a, b]ent˜ao Mbe Mas˜ao difeomorfos.

B. Se c ´e o ´unico valor cr´ıtico no intervalo (a, b) e p1, . . . , pk ∈ f−1(c) s˜ao os pontos cr´ıticos no n´ıvel c com

indpi = λi ent˜ao M

b _{´e obtido de M}a _{pela jun¸c˜ao de uma λ}

i-al¸ca para cada pi. Em particular Mb tem o mesmo

tipo de homotopia que Maunido com uma λi-c´elula para cada pi.

2_{O Teorema de Sard diz que se f : M→N ´e uma func¸˜ao suave entre duas variedades ent˜ao o conjunto dos valores cr´ıticos de f tem}

6.1. TEORIA DE MORSE 125 Para uma demonstac¸˜ao consulte [18], cap´ıtulo 9.

As desigualdades de Morse exprimem a diferenc¸a dos polin ˆomios

Ma(t) = n

∑

∑

onde µi(a) ´e o n ´umero de pontos cr´ıticos de f de ´ındice i cujos valores cr´ıticos n˜ao excedem a e bi(a) =

dim Hi(Ma, k) ´e o i-´esimo n ´umero de Betti do subn´ıvel Macom relac¸˜ao a um corpo de coeficientes fixado k.

Teorema 6.13. Desigualdades de Morse Nas condi¸c˜oes do teorema anterior, se a n˜ao ´e um valor cr´ıtico de f , a diferen¸ca

dos polinˆomiosMa(t)ePa(t)satisfaz

Ma(t) − Pa(t) =Qa(t)(1+t), (6.2)

onde Qa(t)´e um polinˆomio com coeficientes inteiros n˜ao negativos. Consequentemente temos que

b0(a) ≤µ0(a) b1(a) −b0(a) ≤µ1(a) −µ0(a) .. . bk(a) −bk−1(a) + · · · + (−1)kb0(a) ≤µk(a) −µk−1(a) + · · · (−1)kµ0(a) (6.3) e finalmente bk(a) ≤µk(a). (6.4)

Usando o Teorema 6.12 podemos esboc¸ar a demonstrac¸˜ao do teorema acima. Para tanto vamos relembrar alguns fatos de topologia alg´ebrica. Para mais detalhes consulte [8].

Seja X um espac¸o topol ´ogico e A ⊂X um subespac¸o. Denote por C•(X; G) e por C•(A; G)o espac¸o das

cadeias singulares de X e A com coeficientes no grupo abeliano G e seja Ci(X, A) = Ci(X)/Ci(A). Como

o operador de bordo ∂ : Ci(A; G) → Ci−1(A; G) ´e a restric¸˜ao de ∂ : Ci(X; G) → Ci−1(X; G), obtemos um

operador de bordo bem definido no quociente ∂ : Ci(X, A; G) → Ci−1(X, A; G). Os grupo de homologia do

par(X, A)ou homologia relativa de X e A com coeficientes em G s˜ao definidos por Hi(X, A; G) = ker ∂ : Ci

(X, A; G) →Ci−1(X, A; G)

Im ∂ : Ci−1(X, A; G) →Ci(X, A; G)

.

Da pr ´opria definic¸˜ao de C•(X, A; G)e do operador de bordo obtemos uma sequˆencia exata de complexos

0−→C•(A; G) −→C•(X; G) −→C•(X, A; G) −→0,

de onde obtemos uma sequˆencia exata longa relacionando a homologia do par(X, A)com as homologias de X e A:

· · · →Hi(A; G) →Hi(X; G) →Hi(X, A; G) →Hi−1(A; G) →Hi−1(X; G) →Hi−1(X, A; G) → · · · . (6.5)

No decorrer do argumento vamos supor que G = k ´e um corpo fixado e denotaremos simplesmente por Hi(X), Hi(A)e Hi(X, A)os grupos de cohomologia com coeficientes em k.

Para demonstrar as desigualdades de Morse vamos analisar como a diferenc¸a ∆a_{(t) dos polin ˆomios em}

quest˜ao se comportam nos subconjuntos Maconforme a passa por um ponto cr´ıtico.

Como f ´e limitada inferiormente temos que∆a(t) =0 para a<<0, pois nesse caso Ma =∅.

Sejam agora a<b e suponha que nenhum deles ´e um valor cr´ıtico de f . Nosso objetivo ´e comparar∆a(t)

e∆b(t).

1o caso. Suponha que n˜ao existe nenhum ponto cr´ıtico em[a, b]. Neste caso temos queMa(t) = Mb(t).

Pelo Teorema 6.12 (A) temos que Ma_{' M}b _{e portantoP}

a(t) = Pb(t). Sendo assim vemos que∆a(t) =∆b(t),

126 CAP´ITULO 6. TOPOLOGIA DE VARIEDADES COMPLEXAS 2o caso. Suponha que exista um ´unico ponto cr´ıtico em M com valor cr´ıtico c ∈ (a, b)e seja λ seu ´ındice. Neste caso temos queM_b(t) = Ma(t) +tλ.

Pelo Teorema 6.12 (B) temos que Mb tem o mesmo tipo de homotopia de Ma unida com uma λ-c´elula:

Mb ' Ma∪eλ_{. O Teorema de Excis˜ao para a homologia diz que se Z ⊂ A ⊂X e o fecho de Z est´a contido}

no interior de A ent˜ao existem isomorfismos Hi(X\Z, A\Z) 'Hi(X, A). Tomando X =Mb, A= Ma e Z o

complementar em Ma_{de uma vizinhanc¸a tubular de ∂e}λ_'Sλ−1_{temos que}

Hk(Mb, Ma) =Hk(Dλ, Sλ−1) =Hk−1(Sλ−1) =

(

k se k=λ 0 caso contr´ario

onde a primeira igualdade segue do Teorema de Excis˜ao e do fato de Mb\Z ter o mesmo tipo de homotopia de Dλ_{e M}a_{\Z ter o mesmo tipo de homotopia de S}λ−1_{. A segunda igualdade segue facilmente aplicando a}

sequˆencia (6.5) para o par(Dλ_{, S}λ−1_).

Olhando para a sequˆencia longa associada ao par(Mb, Mb)obtemos

0→Hλ(M a_{) → H} λ(M b_{) →} k z }| { Hλ(M b_{, M}a₎ δ →Hλ−1(M a_{) →H} λ−1(M b_{) →0.}

H´a duas possibilidades para δ. Se δ ´e a aplicac¸˜ao nula temos a sequˆencia 0 → H_λ(Ma) → H_λ(Mb) →

Hλ(Mb, Ma) →0 e portanto bλ(b) =bλ(a) +1. Temos ent˜aoPa = Pa+tλde onde vemos que

∆b_{(t) = M}

b(t) −Pb(t) = (Ma(t) +tλ) − (Pa(t) +tλ) =∆a(t),

e portanto a diferenc¸a n˜ao muda.

Agora, se δ6= 0, temos uma aplicac¸˜ao sobrejetora H_λ−1(Ma) → Hλ−1(M

b_{) com n ´ucleo unidimensional.}

Sendo assim vemos que bλ−1(b) =bλ−1(a) −1 e portantoPb(t) = Pa(t) −tλ−1. Sendo assim, a nova diferenc¸a

fica

∆b_{(t) = M}

b(t) −Pb(t) = (Ma(t) +tλ) − (Pa(t) −tλ−1)

=∆a(t) +tλ−1_+tλ =∆a(t) +tλ−1_(1+t).

Em geral, f possui um n ´umero finito de pontos cr´ıticos no n´ıvel f−1(c), para cada um deles, uma das alternativas acima se aplica.

Recapitulando o argumento, vimos que a diferenc¸a∆a(t) ´e zero para a << 0 e, conforme aumentamos a, somamos `a diferenc¸a anterior um polin ˆomio da forma Q(t)(1+t) onde Q(t) tem coecientes inteiros n˜ao negativos, de onde obtemos a estimativa do Teorema 6.13.

Para obtermos as desigualdades (6.4) basta compararmos os termos de mesmo grau em (6.2). Se q0, . . . , qn−1

denotam os coeficientes do polin ˆomio Q temos que µ0(a) −b0(a) = q0 ≥ 0 e µi(a) −bi(a) = qi+qi−1 ≥ 0

para i≥1. Para obter as desigualdades (6.3) note que µk(a)−µk−1(a) + · · · +µ1(a) + (−1)kµ0(a) =

= (bk(a) +qk+qk−1) − (bk−1(a) +qk−1+qk−2) + · · · + (b1(a) +q1+q0) + (−1)k(b0(a) +q0)

=bk(a) −bk−1(a) + · · · +b1(a) + (−1)kb0(a) +qk+q0+ (−1)kq0

≥bk(a) −bk−1(a) + · · · +b1(a) + (−1)kb0(a).

6.2

Homologia de variedades de Stein

Uma variedade de Stein ´e uma subvariedade complexa fechada deCN.

Em contraste com as subvariedades do espac¸o projetivoPN, as variedades de Stein nunca s˜ao compac- tas (veja o Corol´ario 1.17). Se pensarmos em analogia com a Geometria Alg´ebrica, as variedaes de Stein correspondem `as variedades alg´ebricas afins.