O Valor em Risco e sua relação com o hedging

O Valor em Risco (VaR) é uma medida que calcula a perda potencial de valor de um ativo ou de uma carteira de ativos com risco, em um determinado período de tempo e com certo nível de confiança (JORION, 2007). Logo, se o VaR de um ativo é de R$ 100 mil, em um período de 15 dias e com um nível de confiança de 95%, existem apenas 5% de chances de que o valor do ativo perca mais do que R$ 100 mil, em qualquer quinzena do ano.

Em termos de uso do VaR, é importante observar certos aspectos. Inicialmente, para calcular a probabilidade de perda, em um intervalo de confiança, é necessário especificar as distribuições de probabilidades dos riscos, a correlação entre esses riscos e o seu efeito sobre o valor dos ativos analisados. Em seguida, é importante ter em mente que seu uso é para mensurar o risco de perdas potenciais e que, embora ele tenha surgido para atender as necessidades das instituições financeiras, principalmente por causa das crises ocorridas no setor ao longo da década de 1990, não existem restrições para seu uso em outros contextos, como nas empresas não financeiras (DAMODARAN, 2009). Para a sua operacionalização, duas abordagens básicas são utilizadas, ainda que elas possuam diversas variações: as estimações paramétricas e não-paramétricas (MANFREDO; LEUTHOLD, 1998).

O uso de estimações paramétricas está baseado no pressuposto de que a volatilidade estimada dos retornos/valores de um ativo segue uma Distribuição Normal20, tendo assim a sua média e seu desvio-padrão como parâmetros para o cálculo das probabilidades de perda com certo grau de confiança. No caso de uma carteira de ativos, é necessário estimar a sua variância pela covariância entre os pares de seus ativos. Por estas características, elas também são chamadas de método analítico da variância-covariância. Neste aspecto, é importante falar

20 _{No caso dos retornos propriamente ditos não seguirem uma distribuição normal, o J. P. Morgan recomenda o}

uso do retorno padronizado (retorno/desvio-padrão), que tem distribuição normal. Assim, os retornos teriam uma distribuição normal condicionada, onde seria observado a dimensão relativa destes retornos em relação ao seu desvio-padrão.

sobre a contribuição que o grupo J. P. Morgan teve na disseminação deste método para o cálculo do VaR. Em 1995, o grupo passou a oferecer um serviço chamado RiskMetrics©, onde qualquer analista poderia acessar as variâncias dos ativos e as covariâncias entre os pares de ativos em uma determinada carteira. Para título de ilustração, a Figura 20 mostra o uso da Distribuição Normal enquanto estimador paramétrico do VaR.

Figura 20. VaR a partir da estimação paramétrica

Fonte: Elaboração própria.

Tomando como exemplo a Distribuição Normal padrão, com média igual a zero e desvio-padrão igual a um, o cálculo do VaR é obtido pela seguinte equação:

VaR95% = -1,64* M *σx (75)

Onde M indica a exposição, ou o valor marcado a mercado do ativo/carteira; σx indica o desvio-padrão dos retornos do ativo/carteira; e 1,64 indica o número de desvios-padrões a um nível de 95% de confiança para a perda máxima, numa Distribuição Normal de probabilidade. Se o valor de M for igual a $1.000,00 e o desvio-padrão for de 1%, existem 5% de chances de que o ativo/carteira perca mais de $16,40, em determinado horizonte de tempo. Ainda que esta abordagem facilite o cálculo do VaR por causa de seus pressupostos, estes também apresentam os seguintes pontos fracos (DAMODARAN, 2009): (1) a hipótese errada para a distribuição: se os retornos condicionados não tiverem uma Distribuição Normal, o VaR calculado estará subestimado/sobre-estimado; (2) erro na entrada de dados: decorrente do erro-padrão dos dados históricos associado à estimação da matriz variância- covariância, no que resultaria num VaR impreciso; (3) variáveis não estacionárias: quando as variâncias e covariâncias entre os ativos mudam conforme o tempo, o que invalidaria o VaR calculado enquanto medida de risco.

Por outro lado, alguns trabalhos vêm sendo publicados com o intuito de corrigir tais deficiências, como as técnicas de cálculo do VaR em condições de não normalidade dos dados (HULL; WHITE, 1998), o uso de modelos de previsão com heterocedasticidade condicional

da família GARCH (JORION, 2007), o uso da Média Móvel Exponencialmente Ponderada (EWMA) proposta pelo J. P. Morgan para estimar a volatilidade (RISKMETRICS GROUP, 1996) e o uso dos modelos delta-gama para as carteiras que não tem uma relação linear entre o risco e as suas posições na carteira (BRITTEN-JONES; SCHAEFER, 1999).

Sobre as estimações não-paramétricas, estas podem ser calculadas via Simulação Histórica ou pela Simulação de Monte Carlo. A Simulação Histórica é a maneira mais simples de se estimar o VaR para carteiras, o qual é estimado com a geração de uma série histórica hipotética de seus retornos através da inserção de dados históricos reais, calculando-se em seguida as alterações decorrentes em cada Período de tempo. Seus pressupostos admitem a não normalidade dos dados, que caso Período na série temporal tem peso idêntico e que a história passada repete-se no futuro. Por outro lado, tais pressupostos também têm deficiências que, para contorná-las, é preciso fazer certas modificações na simulação, como conferir maior peso ao passado recente, combinar a simulação histórica com modelos de séries temporais e a atualização da volatilidade dos dados históricos (DAMODARAN, 2009).

Quanto à Simulação de Monte Carlo, este método permite o cálculo das probabilidades das perdas excederem um valor determinado, e não a toda distribuição de perdas. Sua operacionalização também consiste em identificar os riscos de mercado que afetam o ativo ou a carteira de ativos e convertê-los em valores padronizados. Em seguida, é realizada uma simulação a partir da especificação de distribuições de probabilidade (normal ou não) para cada fator de risco de mercado, onde ao final são encontrados os intervalos para a estimação do VaR. Como o método é baseado em simulações, esta também é sua maior fraqueza, dado o elevado volume de cálculo. Assim, recomenda-se o uso de cenários durante suas simulações ou em conjunto com o método da variância-covariância modificado para diferentes hipóteses de distribuição de probabilidades (DAMODARAN, 2009).

A respeito do uso do VaR na economia agrícola (e utilizando um termo mais atual, no agronegócio), Manfredo e Leuthold (1998) comentam que este setor é um laboratório único para se obter novos dados empíricos sobre o seu desempenho. Vários métodos de previsão de volatilidade para a mensuração das estimativas de VaR podem ser aplicados aos preços agrícolas, principalmente porque vários destes produtos são comercializados via contratos de futuros/opções (GIOT; LAURENT, 2003; SAM, 2010), ou até mesmo para produtos que ainda não são considerados como commodities, como aponta o trabalho de Wang, Zhao e Huang (2010), os quais usaram o VaR para calcular o risco de preço de frutas na China, considerando diversas funções de distribuição de probabilidade.

Em relação ao uso do VaR enquanto ferramenta de hedging, um dos primeiros trabalhos a considerá-lo foi o de Harris e Shen (2006), ao observarem que a abordagem da variância mínima, embora minimize a variância da carteira, não consegue apreender todas as particularidades do retorno do portfólio que os investidores acham importantes (destacando-se a assimetria negativa e a leptocurtose, que são fatos estilizados típicos das séries financeiras), tornando-a inapropriada enquanto medida de risco para o hedging da carteira pretendida. Em outras palavras, os autores informam que a razão ótima de hedge obtida pela Variância Mínima geralmente não implica num portfólio com a menor perda possível, porque potencialmente pode tornar a assimetria e a curtose da carteira maior do que a do próprio ativo subjacente, subestimando assim o risco de cauda.

Nesse sentido, Harris e Shen (2006), além de empregaram o VaR, também se valeram do VaR condicionado (CVaR), ou expected shortfall, o qual indica a perda esperada na carteira, sendo esta perda condicionada menor ou igual ao seu VaR. Nesses termos, o CVaR é matematicamente representado pela seguinte expressão (JORION, 2007):

Ñ£Ÿ¥ = −s b|b ≤ −£Ÿ¥ = −º b‚ b ¾b

‰65 Á

º_Á‰65‚ b ¾b 76

A equação (76) representa a forma geral para o cálculo do CVaR, indicando a divisão entre a função de densidade e a função acumulada de probabilidade. Em sua análise, Harris e Shen (2006) utilizaram uma função de distribuição de probabilidade empírica [ver Figura 21], que é não-paramétrica e comum nas simulações históricas (HENDRICKS, 1996), cujos VaR e CVaR mínimos foram obtidos por procedimentos numéricos de otimização.

Figura 21. VaR numa FDP acumulada empírica do portfólio hedgeado

Fonte: Elaboração própria.

Ademais, as análises ocorreram com dados dentro e fora de uma amostra de 20 moedas, para maior validação dos achados do cross-hedge cambial por eles proposto. Postas essas considerações, Harris e Shen (2006) verificaram que as razões de hedge encontradas

0% 20% 40% 60% 80% 100% -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

pelo VaR e CVaR mínimos são tipicamente menores que as obtidas pela Variância Mínima, sugerindo que menores posições vendidas são necessárias para esse fim. Além disso, o VaR e CVaR mínimos apresentaram menores assimetria e curtose, bem como mostraram uma tímida melhoria quando ao risco do portfólio, em comparação com a Variância Mínima.

Por outro lado, Cao, Harris e Shen (2010) perceberam uma desvantagem da simulação histórica enquanto método probabilístico não-paramétrico, que é a sua dependência com grandes amostras de dados das séries históricas, condição necessária para precisamente medir a frequência empírica de eventos relativamente raros, de modo a atender o objetivo do VaR e CVaR. Logo, com vistas a diminuir a dependência do tamanho amostral dos dados históricos, eles propuseram uma abordagem semi-paramétrica pela expansão de Cornish-Fisher [qp(

α

que permite um ajuste de α% a partir do uso da assimetria e da curtose da distribuição da série de retornos do portfólio hedgeado, cujo cálculo aproximado se dá nos seguintes termos:

ÙÚ $ ; ¬ , Û % = Ä + 1_{6 SÄ} B_{− 1X¬ +} 1

24 SÄ Î− 3Ä X$Û − 3%

−_{36 S2Ä}1 Î_{− 5Ä X¬}B ₇₇

Onde c(α) é o α% quantil da distribuição Normal padrão {c(α) ∈ [1,282; 1,645; 2,326]}, enquanto que sp e kp representam, respectivamente, a assimetria e a curtose do

portfólio hedgeado. Assim, o VaR do portfólio é calculado pela seguinte equação:

£Ÿ¥ 1 − % = −A ÙÚ $ ; ¬ , Û % 78

Onde σp é o desvio-padrão do portfólio, obtido pela raiz quadrada da equação (32). O procedimento de cálculo do novo CVaR continua o mesmo, e o valor de H será aquele que maximize o VaR/CVaR naquele nível de confiança estabelecido.

Ao aplicar seu modelo numa amostra de índices financeiros, Cao, Harris e Shen (2010) viram a sua superioridade frente à abordagem da Variância Mínima e não-paramétrica, especialmente pela grande redução observada na assimetria negativa e no excesso de curtose. Eles explicam que as principais vantagens do modelo são o uso de informações advindas de toda a distribuição dos retornos do portfólio hedgeado, ao invés de utilizar somente a cauda esquerda dessa distribuição, e a menor dependência dos dados históricos. Em termos de estudos futuros, eles indicam o uso da abordagem semi-paramétrica em conjunto com a abordagem dinâmica do hedge, que admite a sua variabilidade ao longo do tempo.

3 Metodologia

Neste capítulo, são apresentadas a estratégia de investigação, a população e amostra e os métodos analíticos adotados para o alcance dos objetivos da tese.