Objetivos Espec´ıficos

Os objetivos espec´ıficos do trabalho consistem em:

• Desenvolvimento de uma an´alise param´etrica e dimensional da equa¸c˜ao gover- nante de dinˆamica de bolhas. Descri¸c˜ao das equa¸c˜oes de balan¸co, das condi¸c˜oes de contorno e dos parˆametros f´ısicos mais relevantes, que controlam a dinˆamica do movimento.

• Estudo de modelos constitutivos de fluidos n˜ao-Newtonianos aplicados na for- mula¸c˜ao do problema. Formula¸c˜ao para viscoelasticidade linear baseado em um Modelo de Maxwell. Desenvolvimento de solu¸c˜ao assint´otica.

• Formula¸c˜ao de modelamento f´ısico para viscoelasticidade n˜ao-linear utilizando formula¸c˜ao Oldroyd-Maxwell.

• Elabora¸c˜ao um c´odigo computacional, baseado no m´etodo de Runge-Kutta de quinta ordem, utilizando passo de tempo adaptativo. Valida¸c˜ao do c´odigo.

• An´alise para uma bolha imersa em fluido puramente viscoso, levando em consi- dera¸c˜ao a sensibilidade do movimento `as condi¸c˜oes iniciais. Obten¸c˜ao de resul- tados relativos ao movimento da bolha para o modelo puramente anisotr´opico.

• Realiza¸c˜ao de teoria assint´otica para o raio m´ınimo e uma an´alise do intervalo de tempo. Implementa¸c˜ao de nas rotinas computacionais utilizando crit´erio de colapso para a simula¸c˜ao.

• Interpreta¸c˜ao da dinˆamica da bolha em modelo viscoel´astico linear, focando uma investiga¸c˜ao do efeito el´astico. An´alise de uma solu¸c˜ao assint´otica para este modelo.

• Comparativo entre os modelos viscoel´asticos. An´alise do modelo viscoel´astico n˜ao-linear Maxwell-Oldroyd a partir do espectro de potˆencia utilizando FFT (Fast Fourier Transform).

• Determina¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de orienta¸c˜ao de aditivos, partindo de uma ori- enta¸c˜ao randˆomica. Investiga¸c˜ao da influˆencia da orienta¸c˜ao m´edia de aditivos no comportamento da bolha.

• Estabelecimento e an´alise de formula¸c˜ao para o acoplamento da distribui¸c˜ao de probabilidade da orienta¸c˜ao de aditivos com o movimento da bolha. Investiga¸c˜ao do comportamento da densidade de probabilidade e da influˆencia da orienta¸c˜ao de acordo com os efeitos el´asticos presentes.

Em termos gerais, este trabalho visa um melhor entendimento acerca dos meca- nismos f´ısicos respons´aveis pela estabiliza¸c˜ao ou desestabiliza¸c˜ao do movimento de uma bolha imersa em uma suspens˜ao de aditivos que apresentam propriedades el´asticas e anisotr´opicas, a partir de uma excita¸c˜ao ac´ustica.

O trabalho se encontra dividido da seguinte maneira: o cap´ıtulo 2 trata da funda- menta¸c˜ao te´orica, explorando as equa¸c˜oes de balan¸co e as condi¸c˜oes de contorno que s˜ao utilizadas no modelamento f´ısico-matem´atico do problema. O cap´ıtulo aborda os modelos constitutivos de fluidos e a formula¸c˜ao generalizada da equa¸c˜ao governante que rege a dinˆamica de uma bolha esf´erica, bem como os parˆametros adimensionais presentes no problema.

No cap´ıtulo 3 os modelos constitutivos de fluidos s˜ao desenvolvidos. A primeira parte trata do modelo de anisotropia dos aditivos, seguido por um modelo de viscoelas- ticidade linear, em que uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao ´ıntegro-diferencial governante do problema ´e sugerida. A ´ultima parte trata do modelo de viscoelasticidade n˜ao-linear Maxwell-Oldroyd e a respectiva formula¸c˜ao matem´atica adimensional. O cap´ıtulo 4 descreve a metodologia num´erica utilizada para gerar os resultados computacionais e testes de valida¸c˜ao. Neste cap´ıtulo tamb´em s˜ao apresentados resultados preliminares obtidos pelo c´odigo computacional desenvolvido, envolvendo a dinˆamica de bolha em um meio viscoso assim como em um meio puramente anisotr´opico. Ao final do cap´ıtulo, descreve-se a teoria assint´otica para o raio de colapso e a an´alise no momento do co- lapso.

O cap´ıtulo 5 apresenta resultados relativos ao modelo viscoel´astico linear. O cap´ıtulo encerra com uma proposta assint´otica para o modelo de viscoelasticidade linear, baseada em uma expans˜ao da integral de convolu¸c˜ao por meio de sucessivas integra¸c˜oes por partes, e a respectiva an´alise de resultados para esta solu¸c˜ao.

No cap´ıtulo 6 s˜ao apresentados e discutidos resultados num´ericos para uma bolha imersa em um fluido viscoel´astico n˜ao-linear Maxwell-Oldroyd. Primeiramente, realiza- se uma compara¸c˜ao entre os efeitos el´asticos e anisotr´opicos, seguido por uma an´alise da dinˆamica de bolhas por meio do espectro de potˆencia. O cap´ıtulo se encerra com a an´alise do comportamento entre os modelos de viscoelasticidade linear e n˜ao-linear.

J´a o cap´ıtulo 7 explora a fun¸c˜ao orienta¸c˜ao de aditivos. Uma investiga¸c˜ao desta fun¸c˜ao de orienta¸c˜ao a partir de uma fun¸c˜ao de probabilidade caracterizada por uma distribui¸c˜ao normal ´e apresentada e, logo em seguida, uma formula¸c˜ao para a fun¸c˜ao de probabilidade considerando um acoplamento com o movimento da bolha ´e desen- volvida. Neste cap´ıtulo tamb´em est˜ao presentes os resultados e discuss˜oes. Finalmente, o cap´ıtulo 8 trata das considera¸c˜oes finais do presente trabalho e apresenta algumas sugest˜oes para trabalhos futuros acerca do tema.

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FUNDAMENTAC¸ ˜AO TE ´ORICA

Ap´os a descri¸c˜ao da forma¸c˜ao de bolhas vista no cap´ıtulo anterior, procede-se objetivando definir a dinˆamica de crescimento e colapso de uma bolha que se encontra imersa em um fluido. O presente cap´ıtulo descreve a formula¸c˜ao matem´atica utilizada no desenvolvimento das equa¸c˜oes constitutivas que s˜ao exploradas neste trabalho.

Primeiramente, considera¸c˜oes acerca de modelos constitutivos de fluidos s˜ao rea- lizadas, incluindo uma abordagem vinculada ao tensor de tens˜oes. O modelo f´ısico ´e apresentado, seguido pelas equa¸c˜oes de balan¸co do problema e das condi¸c˜oes de contorno associadas. As ´ultimas se¸c˜oes tratam da descri¸c˜ao da equa¸c˜ao governante da dinˆamica de bolhas, comumente denominada equa¸c˜ao de Rayleigh-Plesset, e sua res- pectiva adimensionaliza¸c˜ao. Esta equa¸c˜ao, modificada para a proposta deste trabalho, ´e apresentada na sua forma generalizada, que consiste em importante ferramenta para a realiza¸c˜ao dos modelos matem´aticos baseados nas diferentes equa¸c˜oes constitutivas propostas.

2.1 MODELOS CONSTITUTIVOS DE FLUIDOS

A Mecˆanica dos Meios Cont´ınuos apresenta os princ´ıpios gerais que s˜ao comuns a mecˆanica dos s´olidos e dos fluidos, a partir de uma an´alise realizada sobre um meio cont´ınuo, que ´e definido como um meio cuja menor escala macrosc´opica es- pec´ıfica poss´ıvel possua propriedades que se encontram distribu´ıdas uniformemente. As equa¸c˜oes de balan¸co vistas na se¸c˜ao anterior representam leis de conserva¸c˜ao de massa e quantidade de movimento v´alidas em qualquer ponto de um meio cont´ınuo, para qualquer instante de tempo. Por´em, tornam-se insuficientes quando objetiva-se determinar a resposta de um cont´ınuo caracterizado por um material em particular.

Equa¸c˜oes adicionais s˜ao necess´arias, que consideram e refletem as propriedades caracter´ısticas do cont´ınuo em observa¸c˜ao. Tais equa¸c˜oes s˜ao chamadas equa¸c˜oes cons- titutivas (equa¸c˜oes reol´ogicas de estado) e definem uma resposta intr´ınseca, que de- pende da constitui¸c˜ao interna do material considerado. Portanto, n˜ao ´e poss´ıvel re- alizar uma generaliza¸c˜ao das equa¸c˜oes constitutivas, uma vez que cada material possui caracter´ısticas individuais.

As equa¸c˜oes constitutivas baseiam-se em suposi¸c˜oes, onde ´e realizado uma apro- xima¸c˜ao na escala do cont´ınuo, quando na verdade o fenˆomeno observado ocorre em n´ıvel molecular (como na difus˜ao molecular ou na transferˆencia de momentum). Apesar das equa¸c˜oes fornecerem uma defini¸c˜ao, nada mais s˜ao que uma descri¸c˜ao m´edia dos efeitos moleculares, baseadas em uma experiˆencia f´ısica, ou em dados experimentais, devido `a inabilidade de descrever o fenˆomeno a n´ıvel molecular. Mas tamb´em podem ser desenvolvidas criteriosamente por meio de generaliza¸c˜oes matem´aticas dos dados experimentais.