Observa¸c˜oes Finais - Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos Revers´ıveis Equivariantes

Nas Se¸c˜oes 4.1 e 4.2, vimos que a matriz L dada em (4.2) ´e Z2-revers´ıvel-equivariante,

pois anticomuta com a a¸c˜ao de ˜δ definida em (4.4), e ´e D4-revers´ıvel-equivariante, pois

anticomuta com as matrizes A e B1. Na Se¸c˜ao 4.3, vimos tamb´em que a matriz M dada

em (4.3) ´e Zφ2 × Z ψ

2-revers´ıvel-equivariante. Vamos mostrar aqui que as matrizes L e M

Note que existe um campo de vetores Hamiltoniano XH que possui L como parte

linear. Por exemplo, considere o campo XH0 = J1∇H0 com H0(x1, x2, y1, y2) = α 2(x 2 1+ x2₂) +β 2(y 2

1+ y22) + O(|x|3), onde O(|x|3) denota os termos de ordem maior ou igual a 3, e

J1 =         0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0         .

Então não é absurdo supormos XH em (4.1) um campo Hamiltoniano com lineariza¸cão

Para a matriz M, seja

J0 =   0 1 −1 0  . Observe que, para qualquer m ∈ N,

J =         J0 0 · · · 0 0 J0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · J0         2m (4.24)

é antissimétrica e det J = 1 6= 0.6 Então J induz uma forma bilinear antissimétrica ω (pois J é uma matriz antissimétrica) e não degenerada (pois det J 6= 0) em R2m. Escreva 2m = 2n + 2 e tome H : R2n+2 → R definido por

H(x1, · · · , x2n+2) = x22sin x1− cos x2+ ω1 2 (x 2 3+ x24) + · · · + ωn 2 (x 2 2n+1+ x22n+2) + O(|x|3),

onde ω1, · · · , ωn são os autovalores da matriz M definida em (4.3). Então, é poss´ıvel

verificar que M ´e a lineariza¸c˜ao do campo

XH(x) = J∇H(x),

Uma propriedade dos determinantes ´e que, escrevendo det[v1, · · · , vn] para indicar o determi-

nante da matriz cujas colunas s˜ao os vetores v1, · · · , vn ∈ Rn ent˜ao det[v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vn] =

− det[v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vn]. No nosso caso, fazendo as permuta¸c˜oes das colunas em J teremos

det J = (−1)m_{det A onde A é uma matriz diagonal cujo determinante é 1 se m é par e −1 se m é}

com x = (x1, · · · , x2n+2) ∈ R2n+2 e J como em (4.24).

Ainda com respeito à Se¸cão 4.3, em (4.12) nós consideramos as involu¸cões φ e ψ agindo como antissimetrias em R2n+2. Isto é poss´ıvel pois em [22] os autores provam que esses são os únicos pares de involu¸cões que anticomutam com M e comutam entre si.

Como mencionamos anteriormente, calcular uma base de Hilbert para o anel de invariantes pode não ser uma tarefa fácil, assim como calcular os geradores do módulo dos equivariantes. Nossa inten¸cão no in´ıcio deste projeto era aplicar a teoria estudada nos Cap´ıtulos 2 e 3 para calcular as formas normais dos sistemas Hamiltonianos apresentados em [23] e comparar as respectivas formas. Infelizmente, alguns casos se tornaram por demais complicados justamente por não conseguirmos calcular uma base de Hilbert para o grupo PV(Γ+), que é a primeira entrada do Algoritmo 3.2.8, assim como um conjunto

de geradores para o m´odulo ~PV(Γ+) sobre PV(Γ+). Os exemplos malsucedidos se referem

a sistemas Hamiltonianos D4-revers´ıveis-equivariantes com parte linear L dada em (4.2)

para o caso p : q e sistemas Hamiltonianos Z2−revers´ıveis-equivariantes com lineariza¸c˜ao

        0 −α 1 0 α 0 0 1 0 0 0 −β 0 0 β 0         .

Neste último caso, até mesmo Martins em [23] se conformou com a forma normal dada pelos ind´ıcios computacionais, pois os cálculos usando o método clássico de Belitskii são um tanto quanto delicados.

REFERˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS

[1] ANTONELI, F., BAPTISTELLI, P. H. DIAS, A. P., MANOEL, M. Invariant theory and reversible-equivariant vector fields. Journal of Pure and Applied Algebra, v. 2 b13, 2009.

[2] ARNOLD, V. I., ANOSOV, D. V. Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems. v. 1, New York: Springer-Verlag, 1988.

[3] BAPTISTELLI, P. H., MANOEL, M., ZELI, I. O. Normal form theory for reversible equivariant vector fields. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series 47, n. 3, p. 935-954, 2016.

[4] BAPTISTELLI, P., MANOEL, M. Invariants and relatives invariants under compact Lie groups. Journal of Pure and Applied Algebra, n. 217, p. 2213-2220, 2013.

[5] BELITSKII, G. R. Equivalence and normal forms of germs of smooth map- pings. Russ. Math. Surv. 33, p. 107-77, 1978.

[6] BELITSKII, G. R. Normal forms in relation to the filtering action of a group. Trudy Moskov Mat. Obsc. 40, p. 3-46, 1979.

[7] BIRKHOFF, G. D. Dynamical Systems. American Mathematical Society, Collo- quium Publications, v. 9. 1966.

[8] BOURBAKI, N. Lie Groups and Lie Algebras. Ch. I-III. Springer-Verlag, 1975. [9] BR ¨OCKER, T., TOM DIECK, T. Representations of Compact Lie Groups.

Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New York, 1985. [10] BUZZI, C. A., ROBERTO, L. A., TEIXEIRA, M. A. Branching of Periodic Or- bits in Reversible Hamiltonian Systems. Real and complex singularities, p. 46-70, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 380, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010. [11] BUZZI, C. A., TEIXEIRA, M. A. Time-reversible Hamiltonian Vector Fields with Symplectic Symmetries. Journal of Dynamics and Differential Equations 16, n. 2, p. 559-574, 2004.

[12] CHOW, S-N, LI, C., WANG, D. Normal forms and bifurcation of planar vector fields. Cambridge University Press, 1994.

[13] ELPHICK, C., TIRAPEGUI, E., BRACHET, M. E., COULLET, P., IOOSS, G. A simple global characterization for normal forms of singular vector fields. Amsterdam: North-Holland Physics Publishing Division, 1987.

[14] GOLUBITSKY, M., STEWART, I., SCHAEFFER, D.G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Applied Mathematical Sciences 69, vol 2, Springer- Verlag, New York, 1988.

[15] HOFFMAN, K., KUNZE, R. ´Algebra Linear. Traduzido por Adalberto P. Berga- masco. S˜ao Paulo: Ed. Univ. S. Paulo e Pol´ıgono, 1970.

[16] HOVEIJN, I. LAMB, J. S. W., ROBERTS, M. Normal forms and unfoldings of linear systems in the eigenspaces of automorphisms of order two. J. Differential Equations 190, p. 182-213, 2003.

[17] LAMB, J. S. W., MELBOURNE, I. Normal Form Theory for Relative Equili- bria and Relative Periodic Solutions. Transactions of the American Mathematical Society. V. 359, n. 9, p. 4537-4556, 2007.

[18] LAMB, J. S. W., ROBERTS, J. A. G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey. Physica D. 112 p. 1-39, 1998.

[19] LEMES, R. C. Propriedades Genéricas de Sistemas Hamiltonianos. Dis- serta¸cão de Mestrado, São José do Rio Preto: Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, 2013.

[20] LIMA, E. L. Análise Real volume 2: Fun¸cões de n variáveis. 6. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2013.

[21] LIMA, M. F. S., TEIXEIRA, M. A. Families of periodic orbits in resonant reversible systems. Bull. Braz. Math. Soc., New Series 40, n. 4, p. 511-537, 2009. [22] MANCINI, S., MANOEL, M., TEIXEIRA, M. A., Divergent diagrams of folds

and simultaneous conjugacy of involutions. Discrete and Continuous Dynamical Systems 12, n. 4, p. 657-674, 2005.

[23] MARTINS, R. M. A Estrutura Hamiltoniana dos Campos Revers´ıveis em 4D. Disserta¸c˜ao de Mestrado. Campinas: UNICAMP, 2008.

[24] MEREU, A. C., TEIXEIRA, M. A. Reversibility and branching of periodic orbits. Discrete Contin. Dyn. Syst 33, n. 3, p. 1177-1199, 2013.

[25] POINCAR´E, H., PhD Thesis. 1879; tamb´em Oeuvres I, Gauthier - Villars, Paris, p. 59-129, 1928.

[26] SAN MARTIN, L. A. B. Grupos de Lie. 2014. Dispon´ıvel em << www.ime.unicamp.br/ smartin/cursos/grupolie-2013 >>. Acesso em maio de 2016. [27] SILVA, A. C. Lectures on Symplectic Geometry. Lecture Notes in Mathematics,

n. 1764. Springer-Verlag, 2006.

ÍNDICE DE NOTAÇ ÕES

Mn(R): Grupo de matrizes quadradas de ordem n;

At: Transposta de uma matriz A; In: Matriz identidade de ordem n;

GL(n): Subgrupo de Mn(R) formado pelas matrizes invers´ıveis;

GL(V ): Grupo das transforma¸c˜oes lineares invers´ıveis de V em V ; Γ: Grupo de Lie compacto;

Γ+: Subgrupo de Γ de ´ındice 2, formado pelas simetrias de Γ;

Γ− = Γ\Γ+: Suconjunto formado pelas antissimetrias de Γ;

(ρ, V ): Espa¸co vetorial real V sob a representa¸c˜ao ρ de Γ; Z

γ∈Γ

: Integral de Haar normalizada em Γ; PV: Anel das fun¸c˜oes polinomiais f : V → R;

PV(Γ): Anel das fun¸c˜oes polinomiais Γ-invariantes f : V → R;

PVk : Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes polinomiais homogˆeneas f : V → R de grau k;

V(Γ) : Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes f ∈ P k

V que s˜ao Γ-invariantes;

PV : Espa¸co vetorial das aplica¸c˜oes polinomiais g : V → V ;

PV,W(Γ): Módulo sobre PV(Γ) das aplica¸cões polinomiais g : V → W que são

Γ-equivariantes; ~

PV(Γ) : M´odulo ~PV,W(Γ) quando W = V ;

QkV(Γ): Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes f ∈ QV(Γ) homogˆeneas de grau k;

QV(Γ): M´odulo sobre PV(Γ) das aplica¸c˜oes polinomiais Γ-revers´ıveis-equivariantes

g : V → V ; ~

V(Γ): Espa¸co vetorial das aplica¸c˜oes g ∈ ~QV(Γ) homogˆeneas de grau k;

AdL: Operador homol´ogico definido em ~PV;

Adk

´INDICE REMISSIVO

σ−operadores de Reynolds, 41 A¸cão, 19 diagonal, 52 dual, 39 Antissimetria, 38 Aplica¸cão equivariante, 30 puramente equivariante, 39 revers´ıvel equivariante, 39 Base de Hilbert, 28 Campos de vetores, 10 Campos conjugados, 56 Equivariância, 37

Espa¸co vetorial simplético, 8 estrutura linear, 8 Formas normais, 60 revers´ıveis equivariantes, 83 Fun¸cão anti-invariante, 39 invariante, 24 Grupo S, 67 de Lie compacto, 18 de Lie linear, 15 Integral de Haar, 21 Módulo livre, 35 Operador de Reynolds, 41 homológico, 65 Ponto de singularidade, 10 regular, 10 Produto semidireto, 49 Representa¸cão, 19 σ-dual, 39 diagonal, 52

Reversibilidade, 37 Simetria, 38 Simpl´etica base, 8 forma bilinear, 7 Simplectomorfismo, 9 Sistema dinˆamico, 10 Hamiltoniano, 11 Teorema

de Fubini para a integral de Haar, 23 de Hilbert-Weyl, 28

No documento Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos Revers´ıveis Equivariantes (páginas 121-130)