Oitava 1:2

Quinta 2:3 Quarta 3:4

Observando tais relações Pitágoras atribuiu o caráter dissonante ou consoante de cada intervalo à sua natureza matemática.

Tal experimento, isolado do contexto especulativo de sua época, não teve continuidade e um caráter matemático-empírico permaneceu durante séculos ainda afastado da música. A natureza especulativa predominantemente nessa ciência manteve-se até o período do Renascimento, quando o empirismo passou a prevalecer.

Já no início do Renascimento Gioseffo Zarlino (1517-1590), importante músico teórico de seu tempo, inseriu novos intervalos consoantes aos conhecidos por Pitágoras:

Nome Proporção do tamanho da corda

Terça Maior 4:5

Sexta Menor 5:8

Terça Menor 5:6

Sexta Maior 3:5

Zarlino apresentou uma explicação mais específica, embora ainda especulativa, para o mesmo problema da consonância e dissonância, atribuindo às consonâncias musicais relações perfeitas entre números inteiros menores ou iguais a seis, número especial por diversas razões religiosas. Olhando a tabela de relações apresentada acima, podemos observar que tal regra não se aplica à sexta menor. Zarlino explicava tal exceção pelo fato de que o número oito podia ser obtido através da multiplicação de 4 por 2, números que somados dariam 6. Embora Zarlino tenha feito conclusões meramente especulativas, grande parte do seu trabalho representou uma tentativa de adequar a teoria à prática de seu tempo, sendo um representante importante da emergência do caráter empírico nos contextos da ciência acústica nessa época.

No fim do século XVI, outro músico teórico que também se preocupou com o mesmo problema foi Gionvanni Batista Benedetti. Benedetti sugeriu que o som seria vibrações no ar geradas pelas oscilações da corda e que variaria segundo a velocidade dessa vibração e que quanto menor o tamanho da corda, mais vibrações ela realizaria em um mesmo intervalo de tempo. Dessa forma quanto menor a corda, mais agudo o som por ela produzido. Através disso Benedetti concluiu que a consonância seria determinada pela

coincidência dessas vibrações. Porém suas conclusões só foram relevadas quando Galileo Galilei as estudou, explicitando as propriedades acústicas dos intervalos musicais e tentando provar a proporcionalidade entre altura e freqüência, o que Benedetti considerou como verdadeira.

Além da consonância, foram tratados outros temas importantes da acústica, tais como a sistematização teórica da divisão da escala, efetuada primeiramente por Simon Stevin no fim do século XVI.

Abordagem Epistemológica à luz de Thomas Kuhn

Thomas Kuhn em seu livro “As estruturas das Revoluções Científicas” expõe diversos conceitos que serão utilizados nesse trabalho. Um primeiro conceito relevante é o conceito de Paradigma. Paradigma, para Thomas Kuhn, é um conjunto de realizações científicas que possibilitam a construção de uma ciência.

Essas realizações incluem conceitos e concepções essenciais para a ciência, sendo necessário que a comunidade científica no geral o aceite e nele acredite.

Em períodos onde a ciência tem seu paradigma estável respondendo à grande parte perguntas pertinentes da época e mantendo suas características essenciais, temos o que Thomas Kuhn chama de Ciência Normal. Nesse período a ciência, tem suas bases firmes sobre o Paradigma e objetiva articula-lo bem como acumular conhecimento sem questioná-lo. Dessa forma, resultados científicos que negam tal paradigma são comumente qualificados como errôneos e a ciência durante um grande período estabelece-se sobre baestabelece-ses bem definidas chamadas de Paradigma, porém em certo ponto do deestabelece-senvolvimento da ciência, tal Paradigma não responde a uma gama de problemas relevantes à sua época e uma crise recai sobre a ciência limitando seu desenvolvimento.

Nesse caso, o Paradigma utilizado não é mais compatível com o desenvolvimento da ciência e é substituído. Tal período da história da ciência é intitulado por Thomas Kuhn de Revolução Científica. Nesse período não só a base teórica da ciência é reformulada como também a natureza de seus procedimentos.

Acústica durante o Renascimento à luz de Kuhn

Como vimos anteriormente, a história da acústica passou por um longo período caracterizado pela especulação. Até o começo do Renascimento, ela manteve-se sobre tal caráter e assentada sobre um paradigma estável. Durante esse período o conhecimento acústico acumulava-se mas pouco se questionava sobre suas bases teóricas. Além disso, o caráter da acústica manteve-se matemático-especulativo durante séculos e experimentos como o monocórdio de Pitágoras eram forte exceção à produção cientifica nesse longo período e mesmo assim suas conseqüências eram abordadas de forma intensamente especulativa. Tais características são peculiares às do período de Ciência Normal discutidos por Kuhn.

Já durante o Renascimento as bases teóricas da acústica transformaram-se, transformação essa evidenciada por exemplo na concepção de consonância de Galileo mencionada acima, bastante representativa do caráter matemático-empírico assumido pela ciência nesse período. Dessa forma a acústica pode aproximar-se da matemática experimental, permitindo uma leitura mais profunda dessa relação à luz do conceito de Revolução Científica de Thomas Kuhn.

As estruturas de pensamento e procedimento da ciência foram sensivelmente alteradas, indicador potencial de uma mudança de Paradigma. Tal mudança pode ser também ilustrada pelos experimentos e conclusões teóricas de Zarlino, cientista cujos procedimentos obtinham características muito mais

empíricas que de outros cientistas pré-renascentistas, através de suas tentativas inéditas de adequar a música teórica às práticas da época.

Outro indicador da possível de uma mudança de Paradigma da acústica no Renascimento foram as transformações nos fundamentos estruturais do conhecimento dessa ciência. Por exemplo, as teorias sobre a natureza do som de Benedetti e posteriormente Galileo conceberam o som como vibrações no ar e a consonância como coincidência dessas vibrações, ao passo que anteriormente tais conceitos eram embasados em princípios teórico-aritméticos. Tais conceitos reformularam as bases teóricas da ciência acústica.

Essas características ilustram um possível enquadramento do período chamado de Revolução Científica de Kuhn na acústica renascentista.

Conclusão

O presente trabalho refere-se a um primeiro ensaio sobre uma investigação epistemológica à luz de Thomas Kuhn do desenvolvimento da acústica. Esse trabalho tem como período de enfoque principal o Renascimento, época decisiva na transição de uma acústica matemático-especulativa para uma acústica matemático-empírica. Nesse trabalho são mencionados alguns poucos exemplos representantes dessa grande mudança nas estruturas dessa ciência com o intuito de tentar-se adequar tal processo no desenvolvimento da acústica ao conceito de Revolução Científica de Thomas Kuhn.

Esse prévio ensaio trata as transformações da ciência acústica durante o Renascimento que abrangem diversas questões relacionadas, por exemplo, com os novos fundamentos matemáticos da acústica, abarcando além da concepção de som como onda ou consonância por coincidência de vibrações, como também conceitos relevantes como ressonância, superposição de ondas dentre outros que permitiram uma nova leitura matemático-empírica dos fenômenos musicais, leitura essa incomensurável, no sentido kuhniano, com as concepções acústico-matemáticas anteriores associadas a tais conceitos.

Assim esse trabalho é um produto ainda em andamento do primeiro ano dessa pesquisa histórico matemática. Embora já apresente resultados, esse estudo ainda encontra-se em estágio inicial e apresenta-se longe de estar concluído.

Bibliografia:

Bailhache, Patrice, Une histoire de l'Acoustique musicale.Paris: CNRS Editions. 2001.

Boyer,C.B História da matemática. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1996

Cohen, H. F., Quantifying music. The science of music at the first stage of the Scientific Revolution, 1580-1650. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1984

Miller,D.C.:AnedoctalHistory of the science of sound (New York,1935) Olson, H.F., Musical Engineering (New York, 1952/R1967)

Lindsay, R.B. Acoustics: Historical and Philosophical Development. Stroudsburg: Dowden Kuhn, T. S., A estrutura das revoluções cientifica. Coleção Debates

ARITMÉTICA ANTIGA ATRAVÉS DE ARTEFATOS: UMA PROPOSTA DIDÁTICA

Rosalba Lopes de Oliveira¹⁴ [email protected] Bernadete Morey¹⁵ [email protected]

Resumo: Propõe-se aqui, para o Curso Normal Superior (que forma professores que atuam na Educação Infantil e séries iniciais do Ensino Fundamental) o uso História da Matemática como recurso pedagógico. A História da Matemática é envolvida aqui através de atividades estruturadas conforme concepções desenvolvidas e implementadas em estudos de mestrado e doutorado nos anos recentes no Rio Grande do Norte. As atividades serão desenvolvidas não apenas com lápis e papel, mas contarão com o auxílio de artefatos, que para nós, serão modelos de objetos originários das antigas civilizações que possam ser explorados matematicamente. Podemos citar alguns destes modelos: trecho de um papiro, tablete mesopotâmico, inscrição comemorativa, um monumento.

Introdução

O processo de formação dos alunos que fazem parte do Curso Normal Superior, oferecido pelo Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy – IFESP, em Natal/RN, pretende desenvolver habilidades e capacidades de ressignificar a prática docente nas escolas públicas desta capital. Nesta perspectiva, a preocupação maior é de contribuir com o professor em conhecer melhor o processo de aprender e ensinar.

Os alunos desse curso atuam na Educação Infantil e nas séries iniciais do Ensino Fundamental, com um tempo de docência considerável, apresentando dificuldades em leitura e escrita.

Esses professores, em sua maioria, apresentam lacunas em sua formação de temas ligados a conhecimentos gerais e, em especial, ao conhecimento matemático, desenvolvendo aversão e medo desta disciplina, considerado, pela maioria, de difícil compreensão. Esta forma de pensar é traduzida na sua ação docente, que transmitem esses medos para seus alunos que começam a ver na matemática uma forma de classificá-los como capazes ou não de aprendê-la.

As limitações desses professores no domínio do saber matemático e nos métodos de ensino dessa disciplina, nos fez buscar alternativas para melhorar essa situação, procurando motivar o professor a utilizar a História da Matemática, como recurso para ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Faz parte desta proposta a construção de artefatos, por parte do professor e do aluno, que possam contribuir para compreensão do conteúdo que está sendo estudado.

Esperamos assim, fazer com que o professor possa se sentir capaz para criar, pesquisar e refletir sobre o que foi construído e debatido em sala de aula, procurando motivar o aluno a participar da construção do saber.

14 Professora do Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy – IFESP/RN.

15 Professora do Departemento de Matemática e dos programas PPGECNM/CCET e PPGEd/CCSA (UFRN)

As atividades como eixo norteador da proposta

Pesquisas realizadas no campo da Educação Matemática no Brasil e no mundo apontam para a necessidade de mudanças na forma de ensinar e aprender Matemática a fim de atender as novas exigências da sociedade vigente. Sabemos o quanto a Matemática tem contribuído com o desenvolvimento desta sociedade e, dessa forma, como nos afirma Onuchic e Allevato (2004, p. 213), “A necessidade de se

‘entender’ e ‘ser capaz’ de usar Matemática na vida diária e nos locais de trabalho nunca foi tão grande.

Muitos esforços estão sendo feitos para tornar o ensino da Matemática mais eficiente. É preciso que muito mais gente saiba Matemática e a saiba bem”. Pensando assim, vários pesquisadores que atuam na formação de professores de Matemática no Rio Grande do Norte, buscam alternativas para transformar o ensino da Matemática propondo estratégias em que o processo de ensino e aprendizagem, desta disciplina, possa envolver tanto o aluno, como o professor e o saber matemático.

A idéia central, na forma de abordar os conteúdos matemáticos proposto por estes pesquisadores foi o trabalho com atividades de ensino, em que o aprender fazendo é essencial nesta proposta.

Fizemos uma pesquisa bibliográfica em alguns livros, revistas, dissertação de mestrado e teses de doutorado, publicados e defendidos por esses pesquisadores, como forma de nortear a construção do conceito de atividade que está presente nas situações de ensino elaboradas por estes atores que fazem a pesquisa no RN. Devemos pontuar que este trabalho é parte integrante do projeto de tese submetido ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

John Fossa no seu livro Ensaios sobre a Educação Matemática (2001, p. 79) ressalta que:

[...] atividades bem estruturadas e usadas com consistência e criatividade podem ser um instrumento poderoso na aquisição de conceitos matemáticos. As referidas atividades deveriam utilizar materiais a serem manipulados pelos próprios alunos, além de conter componentes lúdicos, orais e simbólicos. E, finalmente, deveriam ser seqüenciadas de maneira apropriada.

O autor acrescenta ainda que:

[...] a atividade fica completa no sentido de estar munida dos três tipos de representações dos conceitos nela desenvolvidos: uma representação física (os materiais manipulativos), uma representação oral (a discussão no grupo e, se for o caso, a apresentação dos resultados ao professor e/ou outros colegas), e uma representação simbólica (o registro por escrito).

Para o autor, atividade é “[...] uma das maneiras mais eficazes de ensinar matemática. (...) um instrumento compreensivo de instrução.” (2001, p. 59)

E assim, podemos destacar que na visão de Fossa, atividade é um instrumento de ensino, organizada de forma seqüencial, que permite a participação ativa do aluno na construção do seu conhecimento, elaboradas de forma criativa, tendo em vista a motivação para que o aluno sinta interesse em desenvolvê-las. Nesta perspectiva, o papel do professor é significativo, visto que é ele que deve ter a capacidade de criar e orientar todo o processo de ensino e aprendizagem da matemática.

Com esse entendimento a idéia de atividade proposta pelo autor leva em consideração: o desenvolvimento da curiosidade e da criatividade do aluno, quando propõe o trabalho em grupo; propicia

momento de construção do conhecimento, tendo em vista que o aluno aprende a partir da participação direta da experiência proposta; e finalmente, quando o aluno registra, tem mais possibilidade de explorar e levantar hipóteses que conduz a um aprofundamento do conceito estudado. Isto nos mostra que trabalhar com atividade proporciona também o desenvolvimento de competências tais como: a capacidade de organizar seus registros, de oralizá-los utilizando argumentos consistentes, o que facilita a sua atuação no enfrentamento de situações fora do espaço escolar.

Tomemos a seguir os estudos realizados por Mendes (2001) que aborda a idéia de utilização de atividades históricas na aprendizagem de Trigonometria através de redescoberta.

O autor referencia que o seu trabalho:

[...] tem uma preocupação maior com o ato cotidiano de ensinar-aprender e considera que a historia deve ser utilizada na elaboração e execução de atividades voltadas à construção de noções básicas de tópicos matemáticos, pois somente a partir de uma orientação sólida a esse respeito pode-se continuar a busca da compreensão das propriedades, dos teoremas e das aplicações da matemática na solução de problemas que exijam do aluno algum conhecimento desse assunto. (2001. p. 56) Para o autor, a idéia de utilizar atividades de redescoberta como estratégias de ensino e aprendizagem da matemática está alicerçada na compreensão de que:

[...] pressupõe uma mútua colaboração entre professor e aluno durante o ato de construção do saber, já que a característica essencial desse modo de encaminhar o ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos estão para ser (re)descobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca a que é conduzido pelo professor até que eles sejam incorporados à estrutura cognitiva do aprendiz.

(2001, p. 59)

Reforça ainda que o método da redescoberta sugere a utilização de elementos aprendidos agindo em outras situações que exigem a participação efetiva do aluno, uma vez que “[...] a base cognitiva é centrada no conhecimento prévio do aluno e o processo de busca e seleção é determinado pelas condições em que se aprende.”

A proposta utilizada por Mendes (2001) de desenvolver atividades de redescoberta no ensino e na aprendizagem de tópicos da Trigonometria, foi baseada nos estudos de Fossa (1998), Henning (1988), Ferreira et al (1992) e Dockweiler (1996) citados pelo autor no seu livro “O uso da História no Ensino da Matemática: reflexões teóricas e experiências”.

Por fim, o autor esclarece que o trabalho com atividades possibilita a condução da aprendizagem do aluno, na medida em que:

[...] devemos orientá-lo para que ele vá se desenvolvendo numa seqüência gradual, sempre partindo das experiências mais concretas e/ou reais, passando por uma experiência semi-concreta que exija dele as primeiras representações simbólicas – através de desenhos, expressões verbais ou até as primeiras sentenças

matemáticas. Ao final tornar-se-á mais simples conduzi-lo a fase das reapresentações totalmente formais, isto é, ao alcance das abstrações.

Esta forma de conceber o uso de atividades na sala de aula apresenta as mesmas características defendidas por Fossa, quando enaltece a importância da seqüênciação na elaboração das atividades, com vista a participação do aluno, inicialmente, em situações concretas que serão ampliadas para as semi-concretas que poderão ser comunicadas oralmente, partindo em seguida, para a representação simbólica da atividade. Dessa maneira, o professor está propiciando momento de discussão que estimule a organização mental das idéias desenvolvidas na atividade.

Para Liliane Santos Gutierre (dissertação de mestrado), atividade é uma estratégia metodológica que visa o desenvolvimento de um determinado conteúdo matemático, de forma seqüencial, para que o aluno possa construir conceitos. “Tal seqüência enfatiza conceitos e busca proporcionar ao aluno uma interação entre esses conceitos e a História da Matemática, a fim de que ele os adquira de maneira compreensiva” (2003, p. 16). Vale salientar que a pesquisadora desenvolveu o trabalho sobre os métodos de resolução de equação utilizando a História da Matemática como fonte motivadora para o ensino e aprendizagem deste referido conteúdo.

Diz Gutierre (2003, p. 32) que o educador:

[...] deve procurar desenvolver um ensino de Matemática compreensivo para o aluno, através de, por exemplo, atividades estruturadas que envolvam a História da Matemática. Essas atividades podem ser utilizadas de forma manipulativa, isto é, usufruindo o que Fossa nomeou de uso manipulativo da História da Matemática. Pata tanto, é necessário utilizar as atividades como um instrumento compreensivo de instrução e não simplesmente como um mecanismo de motivação.

Gutierre (2003, p. 36) explica que as atividades construídas no seu trabalho tinham como eixo norteador, “[...] promover a atividade mental construtiva do aluno ajudando-o a elaborar significados adequados em torno dos conteúdos que configuram as atividades elaboradas [...]”. Daí a necessidade de definir como sustentação teórica, para o seu trabalho, o que está posto na abordagem construtivista, que considera o aluno como um ser ativo no processo de construção do conhecimento e o professor como construtor de situações que permitam ao aluno construir o seu saber.

Ainda, esclarece a idéia de que essa abordagem metodológica apresenta como características principais:

[...] desafiá-los em termos de estratégias do pensamento, através de uma aula dinâmica, oferecendo-lhes recursos pedagógicos através das atividades elaboradas que favoreçam a reconstrução e apropriação dos conhecimentos. Queremos que o aluno construa respostas coerentes no desenvolvimento das atividades, respostas precisas, evoluindo em termos de hipóteses formuladas a respeito do estudo proposto. É nesse momento que utilizamos elementos de uma abordagem construtivista de ensino-aprendizagem. (2003, p. 37)

Levando em consideração o que foi exposto pela autora, observamos que o conceito de atividade defendida por ela, está em consonância com as idéias assentadas por Fossa (1998) e Mendes (2001), quando reforça a necessidade da participação ativa do aluno, auxiliando na construção do seu saber, propiciando momentos de discussão em grupo, de registro e oralidade das idéias construídas, considerando também, os saberes que os alunos apresentavam sobre o assunto e a seqüênciação do conteúdo a ser abordado.

Brito e Morey (2004) lançaram mão de atividade em conexão com a Geometria e Trigonometria. As autoras se propõem a fazer um estudo das dificuldades em geometria e trigonometria enfrentadas por professores de matemática do Ensino Fundamental. Fazem-no através de um curso de extensão intitulado

“Formação Continuada de Professores de Matemática” oferecido a estes professores, curso este organizado através de atividades que os ditos professores deveriam resolver em grupos de quatro ou cinco pessoas.

Para as autoras, as atividades elaboradas tinham como objetivo desenvolver conceitos e, para tanto, construíram oficinas que eram compostas de um grupo de atividades, construídas a partir de hipóteses levantadas sobre as possíveis dificuldades que professores (o grupo pesquisado) apresentavam com relação ao conceito que iria ser desenvolvido pelas pesquisadoras.

Brito e Morey (2004, p. 12) esclarece que: “as atividades foram desenvolvidas, em forma de oficinas, com acompanhamento direto do professor, realizando registro das resoluções dos professores que compunham a amostra (...)”

Observamos que as atividades propostas foram organizadas em forma de tarefas que foram preparadas tomando como base o principio da seqüênciação do conteúdo a ser abordado, considerando questão mais simples para a mais complexa.

Não ficou explicito no artigo das pesquisadoras a definição de atividade, mas na elaboração e no desenvolvimento das mesmas está implícita a importância da participação ativa do aluno (que no caso exposto, eram professores participantes do curso de extensão); a mediação do professor na aplicação das atividades; a importância de descobrir os conhecimentos prévios dos alunos como forma de contribuir na elaboração das mesmas, como também a necessidade de desenvolver estudos paralelos para subsidiar a construção do conceito proposto pela atividade.

Em todas as atividades propostas estavam explícitos os objetivos a serem alcançados, o material a ser utilizado e os procedimentos a serem executados pelos alunos.

É importante ressaltar, a necessidade de se compreender em que consiste o conceito de atividade nas diferentes visões, com vista a perspectiva de se utilizar desse recurso na elaboração da proposta didática. Como vimos, atividade não é um simples exercício de fixação, ela pode ser elaborada para contribuir na construção de conceitos, como também, na aplicação de conhecimentos construídos em outras situações de ensino.

Evidenciam-se, através das idéias apresentadas por esses autores, a existência de pontos comuns na elaboração das atividades. Entre eles podemos citar: a necessidade de se observar os conhecimentos prévios do aluno acerca do conteúdo a ser abordado na atividade; a intervenção do professor no processo de desenvolvimento da atividade; a atuação direta do aluno na atividade proposta; a sistematização do conteúdo abordado na atividade por parte do professor; a importância da representação escrita das soluções propostas; o significado do material manipulativo no desenvolvimento do conteúdo proposto; o

desenvolvimento da oralidade, por parte do aluno, para subsidiar o trabalho do professor; a necessidade de um trabalho bem planejado no desenvolvimento das atividades.

Nessa perspectiva, é importante considerar que o trabalho com atividades requer do professor, uma postura diferenciada, em que a pesquisa, o diálogo a mediação e a sistematização constituirão elementos essenciais na sua ação docente.

Explorando os artefatos da História da Matemática nas aulas de Matemática

Na nossa proposta didática, a História da Matemática desempenha funções múltiplas: a de motivação para a aprendizagem da matemática, a de melhorar a compreensão dos conceitos matemáticos e apresentar a matemática como resultado de criação humana.

No enfoque aqui proposto a utilização da História da Matemática nas aulas de matemática não se detém apenas em leitura de documentos históricos. Na verdade, as atividades incluem a construção e manipulação de artefatos (Percival, 2001) que possam ser manipulados pelo aluno, facilitando a compreensão dos fatos históricos, buscando estabelecer a inter-relação entre os conhecimentos das áreas dos Estudos Sociais, das antigas civilizações, e o conhecimento matemático destas. Entre tais modelos podemos citar: trechos de papiros egípcios cujo conteúdo seja propício à exploração em sala de aula, tabletes babilônicos de conteúdo matemático, etc.

A manipulação dos modelos construídos pelos alunos permite desenvolver habilidades de observação, argumentação, interpretação, registro e construção, colaborando com o aluno no processo de construção do conhecimento.

A título de conclusão

A imersão da História da Matemática, em forma de atividades, nos cursos de formação de professores, trás como possibilidade mudanças na forma de ensinar e aprender os conteúdos de Matemática. Nesta perspectiva, a abordagem do conhecimento matemático, partindo de elementos históricos, visa modificar a dinâmica da sala de aula direcionando o trabalho pedagógico para o processo de construção do conhecimento pelo aluno.

Assim sendo, acreditamos que essa proposta didática propicia ao professor, momentos de reflexão e aprendizagem acerca da construção do conhecimento matemático, tendo em vista que as atividades elaboradas tomam como ponto de partida às idéias ancoradas no conhecimento histórico, o que as tornam um recurso motivador para a aprendizagem do aluno.

Referências

BRITO, Arlete de Jesus. MOREY, Bernadete Barbosa. Geometria e trigonometria: dificuldades dos professores de matemática do ensino fundamental. In: FOSSA, John A. (org.). Presenças Matemáticas. Natal, RN: EDUFRN, Editora da UFRN, 2004. 260p.

FOSSA, John A. Ensaios sobre a Educação Matemática. Belém: EDUEPA, 2001. 181p. (Série Educação;

n.2)

GUTIERRE, Liliane dos Santos. Inter-relações entre a História da Matemática, a Matemática e sua Aprendizagem. 2003. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Programa de Pós-Graduação em Educação, Natal, RN, 2003.