Ondaleta Contínua e sua Transformada

Sejaψ_{(t) ∈ L}2(R) uma ondaleta-mãe contínua. Para que possa dar origem a uma família de

ondaletas contínuas, exige-se as condições listadas abaixo (KRONLAND-MARTINET, 1988).

• a ondaleta seja absolutamente integrável

Z ∞

−∞|ψ(t) | dt <∞ (3.37)

• que possua energia finita

Z ∞

−∞|ψ(t) |

2_{dt<∞ (3.38)}

• que satisfaça a uma condição de admissibilidade

C_Ψ= 2π

Z ∞

−∞|Ψ(w) |

2 dw

| w | <∞ (3.39) • e, finalmente, que a ondaleta oscile

Z ∞

−∞ψ(t)dt = 0 (3.40) Uma família de ondaletas duplamente indexadas surge por meio das dilatações e translações da ondaleta-mãe, conforme foi mostrado na Equação 3.31.

A normalização é escolhida de forma que_|ψa,b|=|ψ | , para todo a,b ∈ R,a 6= 0, e para fins práticos (ou seja, para garantir que a WT, para cada escala a, seja diretamente comparável com cada outra escala e com a transformada de outras séries), faz-se_|ψ _{|= 1 (DAUBECHIES,} 1992).

Para a análise de voz e sons musicais muitas vezes é conveniente extrair informações sobre a distribuição de energia e comportamento de fase, o que pode ser feito utilizando-se uma ondaleta complexa (KRONLAND-MARTINET, 1988). No escopo do presente trabalho, entretanto, é explorado o uso de bases ondaletas reais, ortonormais, em implementação contínua.

A Transformada Contínua de Ondaletas ou, como já expresso, CWT, com respeito à família de ondaletas da Equação 3.31 (dada na página 28), é dada pela Equação 3.41 onde ψ é o conjugado complexo deψ e f_{(t) : R 7→ R é o sinal a ser estudado (MEYER, 1990).}

W_af_,b=

Z ∞

−∞

f(t)ψ_{a,b(t)dt = h f (t),}ψ_a,b(t)i (3.41)

A CWT de uma sequência discreta xn é definida, segundo Torrence e Compo (1998), pela

Equação 3.42. Wxn a,b= N₋₁

∑

A função f(t) pode ser recuperada de W_af_,batravés da resolução de identidade de Calderón, dada na Equação 3.39 acima referida (DAUBECHIES, 1992). A Transformada de Ondaleta Contínua Inversa ou do inglês, ICWT, (Inverse Continuous Wavelet Transform), é dada pela Equação 3.43. f(t) = 1 C_Ψ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ W_af_,b.ψa,b(t) da.db a2 . (3.43)

A recuperação de f(t) a partir de W_af_,bsó é possível se a constante da identidade de Calderón C_Ψfor finita, donde deriva a condição de admissibilidade expressa na Equação 3.39 (STRANG; NGUYEN, 1996). Na WFT, esse C é obtido a partir da norma da função janela g, isto é, C_{=| g |}2.

Escalograma: representação da Transformada de Ondaleta Contínua

A CWT já foi definida pela Equação 3.41, com os parâmetros a_{6= 0 e b ∈ R. A partir} dessa CWT podemos obter o Escalograma, que é uma representação gráfica da CWT (MEYER,

1989).

Coeficientes de ondaletas de um sinal são todas as entradas da matriz W_af_,b da CWT (cal- culada pela Equação 3.41). O escalograma é dado pelo quadrado do módulo dos coeficientes da matriz W_af_,b, o qual mede o nível de energia ou de excitação de um dado sinal em termos do espaço e da escala, uma vez que a WT é uma transformação que preserva a energia do sinal. O escalograma também pode ser dado apenas pelo módulo dos coeficientes da CWT ou ainda pela sua parte real. O escalograma informa se o sinal analisado possui características multi-escalares e quais escalas participam do processo descrito pelo sinal.

Como uma propriedade da análise ondaleta, é possível mostrar que a amplitude do coefici- ente de ondaleta é associada com a variação abrupta do sinal ou detalhes das altas frequências (MEYER, 1990; DAUBECHIES, 1992; CHUI, 1992).

O processo de obtenção do Escalograma pode ser resumido de forma simples, por basica- mente cinco passos, que englobam a CWT e que estão listados abaixo.

1. Efetua-se a escolha de uma ondaleta através de testes e/ou com a ajuda da seção 3.2.4. Faz-se localizar ondaleta através de uma translação de b0, em uma escala a0, no início do

sinal f(t) a ser estudado,

2. Efetua-se então a “comparação” da ondaleta com uma porção do sinal contida em seu início, através do produto interno dado pela Equação 3.41 (página 35), gerando um coe- ficiente W_af

0,b0, para b0e a0dados inicialmente. Esse coeficiente representa a correlação

da ondaleta com a porção do sinal que está sendo analisado (ver Figura 3.20 abaixo),

Figura 3.20: Ondaleta de Chapéu Mexicano (abaixo) comparada com o sinal (acima) (PROTÁ- ZIO, 2002).

(1) e (2) dados acima com b1no lugar de b0. Repetir esse processo até que todo o sinal

seja percorrido pela ondaleta de escala a0(Figura 3.21 a seguir),

Figura 3.21: Ondaleta de Chapéu Mexicano transladada efetuando comparação com outra parte do sinal (PROTÁZIO, 2002).

4. Muda-se a escala da ondaleta de a0para uma outra escala a1e repetir todo o processo de

(1) a (3) (conforme se observa na Figura 3.22),

Figura 3.22: Ondaleta de Chapéu Mexicano transladada e dilatada efetuando comparação com o sinal (PROTÁZIO, 2002).

5. Repete-se os processos de (1) a (4) em todo o sinal e para todas as escalas, resultando na Figura 3.23, dada na página 38.

Todo esse processo explicitado acima é chamado, na literatura, de Processo de Convolução e pode ser observado, novamente, na Figura 3.24, na página 38. Nesse tipo de análise é possível observar, com bastante clareza, a variabilidade temporal (ou espacial) do sinal estudado.

Figura 3.23: Processo finalizado com os coeficientes W_af_,b produzidos em diferentes escalas a para diferentes pontos b do sinal (PROTÁZIO, 2002).

Figura 3.24: Etapas da aplicação da CWT com bases de Morlet. (a) Etapa de decomposição com janelas com mesma largura para diferentes instantes t. (b) Etapa de decomposição com as janelas dilatadas para diferentes instantes t. (c) Espaço “tempo x escala” resultante da CWT. (d) Vista superior da CWT (LOSS, 2004).

A barra horizontal de escala de cores, exibida junto ao escalograma na Figura 3.23, repre- senta o valor numérico atribuído a cada cor no escalograma, uma vez que o escalograma nada mais é que a representação de uma matriz tridimensional no plano bidimensional, para isso, faz-se necessário o uso de algum artifício para se identificar a terceira variável, e no caso de escalogramas, esse artifício é a escala de cores, normalmente exibida em uma barra horizontal abaixo do escalograma.

Em relação à unidade de medida do escalograma, ela é dada sempre pela unidade da série ou sinal que se obteve o escalograma, elevada ao quadrado. Por exemplo, no presente trabalho são calculados os escalogramas da temperatura e das componentes de velocidade do vento, logo o escalograma da temperatura tem unidade◦C2e os escalogramas das componentes de velocidade do vento têm unidade m2/s2_.