Agora pretende-se desenvolver as ideias básicas das ondas eletromagnéticas e suas relações com os princípios do eletromagnetismo. Nosso procedimento será postular uma configuração de campo simples que possui comportamento ondulatório.
Considere-se, um exemplo baseado em [25], pág.415 à 417, uma sistema de coordenadas xyz (figura3.1) e que o espaço seja dividido em duas regiões por um plano perpendicular ao eixo 0 x. Em cada ponto à esquerda desse plano existe
um campo elétrico uniforme ~E no sentido do eixo +0y e um campo magnético
uniforme ~B no sentido do eixo +0z.
Supondo-se que o plano da fronteira, denominada frente de onda, se des- loca da esquerda para a direita ao longo do eixo +0x com uma velocidade constante c, ainda não conhecida. Logo, E e#» B se deslocam da esquerda para#» a direita, para regiões previamente desprovidas de campo, com uma velocidade definida. Essa situação descreve de modo rudimentar uma onda eletromagné- tica.
Figura 3.1: Uma frente de onda eletromagnética. O plano que representa a frente de onda se desloca para a direita, no sentido positivo de x com velocidade c. Os campos elétrico e magnético são uniformes sobre os planos atrás da frente de onda, porém são nulos em todos os pontos situados na parte dianteira.
Fonte: [25], pág 415
Tal onda, na qual em qualquer instante os campos são uniformes sobre qual- quer plano perpendicular à direção de propagação, denomina-se onda plana. Os campos são nulos (figura 3.1) para planos situados do lado direito da frente de onda e possuem os mesmos valores sobre os planos situados do lado esquerdo da frente de onda; mais adiante, vamos considerar ondas planas mais complexas.
Prentende-se saber se ela é consistente com as leis do eletromagnetismo, ou seja, com as equações de Maxwell.
Para isso vamos verificar se a equação da onda satisfaz as equações de Maxwell.
• Lei de Gauss
A lei de Gauss para o campos elétricos e magnéticos, 1a e 2a equação de
Maxwell. Se tomando-se como superfície gaussiana uma caixa retangular com os lados paralelos aos planos xy, xz e yz, como base a figura 3.1. Verifica-se que no inteiror da caixa, não existe cargas elétricas. O fluxo elétrico total e o fluxo magnético são iguais a zero, mesmo se parte da caixa estiver na região
#»
E = B =#» #»0 . Se E ou#» B tiver ao longo do eixo 0x, paralelos à direçaõ de#» propagação, e ainda, se a frente de onda estivesse dentro da caixa, haveria um fluxo passando pelo lado esquerdo da caixa, mas não pelo lado direito. Portanto satisfaz as duas primeiras equações de Maxwell, é necessário que o campo elétrico seja perpendicular à direção de propagação, ou seja, se trata de uma onda transversal.
Figura 3.2: O campo elétrico é o mesmo na parte de cima e na parte de baixo da superfície gaussiana, portanto o fluxo elétrico total através da superfície é igual a zero. O campo magnético é o mesmo nos lados esquerdo e direito da superfície gaussiana, portanto o fluxo magnético total através da superfície é igual a zero. Superfície gaussiana para uma onda eletromagnética plana transversal.
Fonte: [25], pág 415
• Lei de Faraday
A terceira lei de Maxwell é a lei de Faraday, equação 3.3. Para a seção de um plano xy, esse retângulo possui altura a e largura ∆x (figura 3.3). Na instante indicado, a frente de onda avança parcialmente através do retângulo, e E é o#»
Figura 3.3: (a)Aplicação da Lei de Faraday para uma onda plana. (b) No intervalo de tempo dt, o fluxo magnético através do retângulo no plano xy cresce por dΦB, que é o fluxo através do retângulo sombreado de área igual a
acdt, ou seja,dΦB = Bacdt. Logo , dΦB/dt = Bac
Fonte: [25], pág 416
retângulo ef gh no sentido +0z. Com essa escolha a regra da mão direita exige que a integral de ~Ed#»l seja feita no sentido anti-horária em torno do retângulo. Em cada ponto ao longo do lado ef , E é igual a zero. Em cada ponto ao#» longo dos lados f g e he, E é nulo ou perpendicular ao vetor d#» #»l . Somente o lado gh contribui para a integral.
Sobre esse lado, E possui sentido oposto ao de d#» #»l , e descobrimos que o lado esquerdo da equação 3.3 é diferente de zero:
˛
∂P
#»
E.d#»l = −Ea (3.6)
Para satisfazer a lei de Faraday, equação 3.3, deve haver um componente de #»
B na direção do eixo 0z (perpendicular a B), de modo que nessa região exista#»
um fluxo magnético ΦB através do retângulo ef gh e uma devivada dΦB/dt
diferente de zero.
Durante o intervalo de tempo dt, a frente de onda se desloca para a direita a uma distância cdt, na figura 3.3, varrendo a área acdt do triângulo ef gh. Durante esse intervalo, o fluxo magnético cresce por dΦB = B(acdt), de modo
que a taxa de variação do fluxo magnético é dΦB
dt = Bac (3.7)
de modo que
E = cB (3.8)
De forma que o módulo do campo elétrico (E) é igual a velocidade da luz no vácuo c vezes o módulo do campo magnético B.
• Lei de Ampère
Lei de Ampère, equação 3.4.
Considere o nosso retângulo esteja situado no plano xy, novamente exami- namos a situação no instante em que a frente de onda se deslocou parcialmente através do retângulo.
Figura 3.4: (a) Aplicação da lei de Ampère para uma onda plana. (b)No in- tervalo de tempo dt, o fluxo elétrico através do retângulo no plano xz cresce por um valor dΦE. Esse aumento é igual ao fluxo através da área do retângulo
sombreado acdt, ou seja,dΦE = Eac dt. Portanto, dΦE/dt = Eac
Fonte: [25], pág 416
Considera-se o vetor área dA no sentido +0y e, portanto, a regra da mão#» direita exige que a integral Bd#» #»l seja feita no sentido anti-horário em torno do retângulo. O campo B é igual a zero em cada ponto ao longo dos lados ef , e#» em cada ponto ao longo dos lados f g e he ele é igual a zero ou perpendicular a d#»l . Somente o lado gh, no qual B e d#» #»l são paralelos, contribui para a integral, e assim obtemos
˛
∂P
#»
B.d#»l = Ba (3.9)
Portanto, o membro da lei de Ampère, na equação 3.4, é diferente de zero. Portanto, E deve possuir uma componente y de modo que o fluxo elétrico seja#»
Em um intervalo de tempo dt, o fluxo elétrico ΦE, através do retângulo
aumentou por dΦE = E(ac dt). Como escolhemos dA no sentido +Oy, a#»
variação desse fluxo é positiva, a taxa de variação do campo elétrico é dΦE
dt = Eac (3.10)
Subtituindo as equações 3.9e 3.10 na lei de Ampère 3.4, encontra-se Ba = ε0µ0Eac, logo
B = ε0µ0 c E (3.11)
O módulo do campo elétrico é igual o produto da constante elétrica, cons- tante magnética, velocidade da luz no vácuo, e módulo do campo magnético.
Pode-se comparar as equações obtidas a partir da lei de Ampère e Faraday, podemos concluir que a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo é:
B = ε0µ0cE (3.12) como E = cB, então B = ε0µ0ccB (3.13) 1 = ε0µ0c2 (3.14) 1 ε0µ0 = c2 (3.15) c2 = 1 ε0µ0 (3.16) c = s 1 ε0µ0 (3.17) Substituindo os valores numéricos dessas grandezas, obte-se
c = q 1
(8, 85 × 10−12C2/N m2)(4π × 10−7N/A2) (3.18)
c = 3, 00 × 108m/s (3.19)
A onda que representada é consistente com todas as equações de Maxwell. Note que o valor exato de c é definido como 299.792.458 m/s. Logo, pode-se conluir que uma onda eletromagnética é transversal, tanto E quando#» B são#» perpendiculares à direção de propagação da onda. A razão entre o módulo de
#»
Figura 3.5: Representação dos campos elétricos e magnéticos em função de x para uma onda eletromagnética plana senoidal linearmente polarizada.
Fonte: [25], pág 421
velocidade definida e invariável e não necessita de um meio para se propagar.