Opera¸c˜oes Realizadas Sobre o Espa¸co B´asico

Depois de constru´ıdo o espa¸co de alturas ´e necess´ario que seja definido um conjunto de opera¸c˜oes que atuem sobre ele e que possibilitem seu emprego eficiente como definido na Redu¸c˜ao Temporal e na Redu¸c˜ao Prolongacional. As opera¸c˜oes s˜ao:

1

Ainda que em seu texto tal escolha reflita na cria¸c˜ao de um conjunto de restri¸c˜oes necess´arias para que a escala seja utilizada. Outras reflex˜oes deste autor sobre o assunto podem ser vistas em Sch¨onberg (1977b, 1984, 1980, 1977a).

1. Distˆancia entre duas alturas em uma mesma regi˜ao,

2. Distˆancia entre dois acordes (tr´ıades) numa mesma regi˜ao,

3. Distˆancia entre dois acordes (tr´ıades) pertencentes a regi˜oes diferentes (generaliza¸c˜ao do caso anterior), e

4. Distˆancia entre duas regi˜oes.

Todas estas opera¸c˜oes resumem-se em encontrar o caminho mais curto entre dois elemen- tos. Do modo em que est˜ao enumeradas acima, est˜ao em ordem de complexidade, ordem na qual tamb´em ser˜ao apresentadas aqui.

Distˆancia entre Duas Alturas em uma Mesma Regi˜ao

Esta opera¸c˜ao determina a distˆancia entre qualquer altura ativa em qualquer n´ıvel do espa¸co e o elemento ativo no n´ıvel de oitava. Na medida em que, em alguns casos, podem existir v´arias rotas, ´e necess´ario um m´etodo para otimizar o processo e calcular o caminho mais curto entre as duas alturas.

O algoritmo2 _{(recursivo) para realizar esta tarefa est´a a seguir:} 1. Inicializa a vari´avel td = 0.

2. Entre com o pc do qual se quer calcular a distˆancia. Se pc = 0, retorna td. Sen˜ao, calcula a distˆancia vertical do pc: pcv.

3. Verifica o vizinho da esquerda e faz td = td + 1.

4. Se o vizinho for pc0, faz td = td + pcv e retorna o resultado. Sen˜ao, calcula a distˆancia vertical do vizinho nv e faz td = td + abs(pcv − nv) e volta recursivamente ao passo 2 com o td e nv.

5. Repete o mesmos procedimentos com o vizinho da direita de pc.

6. Compara os dois resultados (esquerda e direita) e armazena o menor valor. Distˆancia entre dois Acordes em uma Mesma Regi˜ao

Como j´a foi mostrado acima, o c´alculo da distˆancia entre dois acordes divide-se entre aquele dedicado a dois acordes pertencentes a uma mesma regi˜ao e aquele que se ocupa de dois acordes pertencentes a regi˜oes diferentes. Inicialmente, devido `a sua menor com- plexidade, ser´a abordado o caso de acordes pertencentes a uma mesma regi˜ao.

Dados dois espa¸cos (duas matrizes) representando, em seu n´ıvel tri´adico, dois acordes diferentes mas em uma regi˜ao, ou seja, com n´ıvel diatˆonico igual, o c´alculo de sua distˆancia

2´

E ilustrado aqui o algoritmo sob sua forma mais simples, ou seja, aquela que calcula a distˆancia de qualquer altura at´e a altura D´o. A forma completa envolve mais um certo n´umero de passos, por´em funciona fundamentalmente do mesmo modo.

envolve dois passos primordiais, a saber, a determina¸c˜ao das fundamentais de cada um dos acordes e, em seguida, a sua distˆancia no c´ırculo diatˆonico de quintas3_{. Um algoritmo} simples para a determina¸c˜ao das fundamentais pode ser:

1. Colocar o n´ıvel tri´adico em estado natural, e

2. Considerar a altura mais grave, que fica sendo a fundamental.

Depois de determinadas as fundamentais de cada um dos acordes, basta seguir a regra apresentada por Lerdahl (2001, p´agina 55) para o c´alculo da distˆancia entre os dois acordes e que pode ser definida como

δ(x → y) = j + k

onde x representa o primeiro acorde, y representa o segundo, j ´e o n´umero de aplica¸c˜oes da regra do c´ırculo-de-quintas de acordes4 _{(Lerdahl, 2001) necess´aria para desviar o primeiro} acorde no segundo acorde e k ´e o n´umero de classes-de-altura diferentes entre o espa¸co b´asico que suporta o primeiro acorde e o espa¸co b´asico que suporta o segundo acorde. Distˆancia entre dois acordes em Regi˜oes Diferentes

Para a distˆancia entre acordes pertencendo a regi˜oes diferentes Lerdahl (2001) sugere a inclus˜ao de uma terceira parcela na soma que caracteriza a regra mostrada na se¸c˜ao anterior. Assim, tem-se

δ(x → y) = i + j + k

onde j e k possuem o mesmo significado anterior, enquanto i ´e o n´umero de aplica¸c˜oes da regra do c´ırculo-de-quintas regional5 _{(Lerdahl, 2001) necess´aria para desviar a cole¸c˜ao} diatˆonica que suporta o primeiro acorde para aquela que suporta o segundo acorde.

Este algoritmo, por possuir car´ater mais geral do que o anterior, pode, naturalmente, ser empregado tamb´em para o c´alculo da distˆancia entre dois acordes em uma mesma regi˜ao, apresentando, entretanto, a desvantagem de caracterizar-se por um maior custo computacional.

3

O c´ırculo diatˆonico de quintas ´e constru´ıdo baseado no n´ıvel diatˆonico do espa¸co considerado. Assim, em D´o maior, o c´ırculo diatˆonico de quintas ´e composto pelas alturas d´o–sol–r´e–l´a–mi–si–f´a. O c´ırculo diatˆonico de quintas ´e tamb´em chamado c´ırculo-de-quintas de acordes.

4

Esta regra diz que, tomando-se como base o n´ıvel diatˆonico (quarto n´ıvel), o desvio de um acorde em um outro que lhe ´e cont´ıg¨uo no c´ırculo pode ser realizado movendo-se todas as classes-de-alturas do primeiro ao terceiro n´ıvel quatro passos `a direita (ascendente no c´ırculo) ou quatro passos `a esquerda (desdendente no c´ırculo), sendo ambas as opera¸c˜oes realizadas em m´odulo 7.

5

Esta regra diz que, tomando-se como base o n´ıvel crom´atico (quinto n´ıvel), o desvio de uma regi˜ao em uma outra que lhe ´e cont´ıg¨ua no c´ırculo pode ser realizado movendo-se as classes-de-alturas do quarto n´ıvel sete passos `a direita (ascendente no c´ırculo) ou sete passos `a esquerda (desdendente no c´ırculo), sendo ambas as opera¸c˜oes realizadas em m´odulo 12.

Distˆancia entre duas Regi˜oes

Esta opera¸c˜ao, tal como descrita por Lerdahl (2001), ´e um procedimento intrincado no qual tonalidades pivot (centros de referˆencia tonal) s˜ao deslocados em meio a um mapa geral de tonalidades atrav´es de movimentos restritos e que permitem, assim, calcular a distˆancia entre duas regi˜oes. Trata-se de um procedimento geral e bastante complexo, muito al´em, sob este aspecto, daquele necess´ario para este trabalho. Assim, ´e proposta aqui uma alternativa simples e que se constitui em calcular a distˆancia entre duas regi˜oes como equivalente `a distˆancia entre os dois acordes das tˆonicas destas regi˜oes. Desta forma, o problema reduz-se a calcular a distˆancia entre dois acordes pertencendo a duas regi˜oes diferentes (j´a visto na se¸c˜ao anterior).