Operadores de interpola¸c˜ ao e de proje¸c˜ ao

Vamos definir diversos operadores que ser˜ao usados nas estimativas de erros. Daqui em diante, V_h = V_h,N denota um espa¸co de elementos espectrais de grau N com pontos de coloca¸c˜ao GLL.

Definimos o operador de interpola¸c˜ao, I :C⁰(Ω) →V_h, como sendo Iv(x) =

M

X

j=1

v(x_j)w_j(x), (2.96)

em que wj s˜ao as fun¸c˜oes de base definidas em (2.77).

O operador Iv ´e equivalentemente caracterizado pelas condi¸c˜oes Iv ∈Vh e Iv(xj) =v(xj), 1≤j ≤M.

Se Ω∈R² e ´e um dom´ınio poligonal com uma triangula¸c˜ao regular [13] em triˆangulos ou retˆangulos, ent˜ao vale a seguinte estimativa do erro de interpola¸c˜ao local:

Lema 2.54 ([4], Lema 4.5). Dado um elemento K de uma triangula¸c˜ao regular T_h e v ∈H^s(K) com s ≥ 0. Existe v_K ∈P_K e uma constante C > 0 independente de h e N tal que

kv−v_Kk_Hk(K)≤Ch^{min(N+1,s)−k}N^k−skvk_Hs(K), 0≤k ≤s. (2.97) Al´em disso, se s >3/2, podemos tomar v_K como o interpolante de v em P_K.

Corol´ario 2.55. Sejav ∈H^s(Ω)com s >3/2. Existe uma constanteC >0independente de h e N tal que

kv− Ivk_k ≤Chmin(N+1,s)−k

N^k−skvk_s, 0≤k ≤1. (2.98)

Em (2.47) hav´ıamos introduzido o operador el´ıptico Πeh definido por

a(Πe_hv, v_h) = a(v, v_h), ∀v_h ∈V_h. (2.99) Dada uma aproxima¸c˜ao a_h(·,·) da forma bilinear a(·,·), vamos considerar tamb´em o seguinte operadorΠ_h associado aa_h(·,·):

a_h(Π_hv, v_h) = a(v, v_h), ∀v_h ∈V_h. (2.100) Observa¸c˜ao 2.56. Usaremos nos operadores o sub-´ındice N−1para denotar o operador referente ao espa¸co de elementos espectrais de grau N −1 (por exemplo, I_N−1 denota o operador de interpola¸c˜ao de grau N −1).

Cap´ıtulo 3

Problema com Fronteira de Dirichlet

Vamos estudar a discretiza¸c˜ao do problema (1.1)-(1.3) no espa¸co pelo m´etodo de elementos espectrais, descrito na se¸c˜ao2.4.1, e com a discretiza¸c˜ao temporal descrita na se¸c˜ao2.3.3.

Seja Ω =I₁×I₂, em que I₁ eI₂ s˜ao dois intervalos abertos da reta.

Assim como no caso de coeficientes constantes, apresentado na Se¸c˜ao 2.2.3, vamos considerar V =H₀¹(Ω) e H =L²(Ω). Assumiremos inicialmente quef ∈ L²(0, T;L²(Ω)) para que a existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao seja garantida, al´em disso tomaremos u₀ ∈V eu₁ ∈H. A forma fraca do problema (1.1)-(1.3) ser´a: Encontrar u: (0, T)→V tal que para todot∈(0, T) tem-se











(¨u(t), v) +a(u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈V u(0) =u₀,

˙

u(0) =u1,

(3.1)

sendoa(·,·) a forma bilinear definida por

a(ϕ, ψ) = (A∇ϕ,∇ψ) ∀ϕ, ψ∈H¹(Ω), (3.2) ondeA= (a_ij) ´e uma matriz de ordem 2×2 sim´etrica e positiva-definida com coeficientes n˜ao constantes e limitados [35], isto ´e, existem dois n´umeros reais p₁ e p₂ tais que

AV ·V ≥p₁(V₁²+V₂²) ∀V = (V₁, V₂)∈R²,

|aij| ≤p2, ∀i, j = 1,2. (3.3) Assumimos tamb´em que os coeficientes a_ij s˜ao separ´aveis no sentido que existe um inteiro nA≥0 tal que

aij(x) =

nA

X

k=1

a^k_ij(x) =

nA

X

k=1

αka^k1_ij(x1)a^k,2_ij (x2). (3.4)

O problema semi-discreto associado `a formula¸c˜ao (3.1) ´e : para todot ∈[0, T], encon-trar u_h∈V_h, tal que:











(¨u_h(t), v_h)_h+a(u_h(t), v_h)_h = (f(t), v_h)_h ∀v_h ∈V_h, t >0;

(u_h(0), v_h)_h = (u₀, v_h)_h ∀v_h ∈V_h; ( ˙u_h(0), v_h)_h = (u₁, v_h)_h ∀v_h ∈V_h;

(3.5)

sendo que a_h(ϕ, ψ) = (A∇ϕ,∇ψ)_h, e (·,·)_h ´e o produto interno discreto definido em (2.91) com base na quadratura GLL. Conforme descrito na Se¸c˜ao 2.3.2, este problema corresponde ao sistema de EDOs







Mu(t) +¨ Ku(t) =F(t), u(0) =u₀, u(0) =˙ u₁,

(3.6)

sendo que agora M_i,j = (ϕ_j, ϕ_i)_h e K_i,j = a(ϕ_j, ϕ_i)_h. Note que a matriz M ´e diagonal devido `a escolha da regra de quadratura GLL. Utilizando a discretiza¸c˜ao temporal pelo m´etodo de leapfrog, descrita na Se¸c˜ao2.3.3, obt´em-se

(uⁿ⁺¹_h −2uⁿ_h +uⁿ⁻¹_h , v_h)_h+ ∆t²a_h(uⁿ_h, v_h) = ∆t²(f(t_n), v_h)_h (n >1), (u¹_h−u₀−∆tu₁, v_h)_h+ ∆t²

2 a_h(u⁰_h, v_h) = ∆t²

2 (f(t₀), v_h)_h, ∀v_h ∈V_h, que resulta no m´etodo iterativo

( Uⁿ⁺¹ = 2Uⁿ−Uⁿ⁻¹ + ∆t²M⁻¹(Fⁿ−KUⁿ), n >1

U¹ = u₀+ ∆tu₁+ ^∆t₂²M⁻¹(F⁰−Ku₀), (3.7) observando-se queM⁻¹ ´e facilmente obtida pelo fato que M ´e diagonal.

3.1 An´ alise de Convergˆ encia

Os pr´oximos resultados servir˜ao como ferramentas para a demonstra¸c˜ao do resultado principal deste cap´ıtulo, o Teorema3.7, o qual estabelece uma estimativa de erro para a solu¸c˜ao aproximada do problema (3.1). O primeiro resultado a seguir ´e uma vers˜aohp e bidimensional do Lema 2.6 em [35]:

Teorema 3.1. Sejam s >3/2 e N ≥2. Se u∈H^s(Ω,T_h), ent˜ao (u, w_h)−(u, w_h)_h

kw_hk₀ ≤Ch^min(N,s)(N−1)^−skuk_s,T

h ∀w_h ∈P(Ω,T_h). (3.8) Demonstra¸c˜ao. Dado K ∈ T_h, denotemos por (·,·)_K e (·,·)_h,K as restri¸c˜oes das formas

bilineares (·,·) e (·,·)_h ao elemento K (analogamente para k · k e k · k_s). Vamos somar e subtrair os seguintes termos envolvendo o operador de interpola¸c˜ao de grau N−1 em K (que vamos denotar porI_N^K₋₁):

(u, w_h)_K−(u, w_h)_h,K =

(u, w_h)_K−(I_N−1^K u, w_h)_K

| {z }

(I)

+

(I_N−1^K u, w_h)_K−(I_N−1^K u, w_h)_h,K

| {z }

(II) +

(I_N^K₋₁u, w_h)_h,K−(u, w_h)_h,K

| {z }

(III)

.

Pela exatid˜ao da regra de quadratura GLL, o termo (II) se anula. Podemos majorar o termo (I) usando a desigualdade de H¨older e o Lema 2.54¹ com k= 0, isto ´e,

(u, w_h)_K −(I_N^K₋₁u, w_h)_K ≤

u− I_N−1^K u

Kkw_hk_K

≤ Ch^min(N,s)(N −1)^−skuk_s,Kkw_hk_K. (3.9) Para majorar o termo (III), note primeiro que pela defini¸c˜ao do produto interno discreto (·,·)_h e pelo fato queI_N^Ku coincide comu nos pontos de quadratura GLL, segue que

(I_N−1^K u, w_h)_h,K −(u, w_h)_h,K = (I_N^K₋₁u, w_h)_h,K−(I_N^Ku, w_h)_h,K = (I_N^K₋₁u− I_N^Ku, w_h)_h,K. Como I_N^K₋₁u− I_N^Ku∈P(Ω,Th) e wh ∈P(Ω,Th), podemos utilizar o Teorema2.51:

(I_N−1^K u, w_h)_h,K−(u, w_h)_h,K ≤ (I_N−1^K u− I_N^Ku,I_N−1^K u− I_N^Ku)^1/2_h,K(w_h, w_h)^1/2_h,K

≤ C

I_N−1^K u− I_N^Ku

Kkw_hk_K

≤ C

I_N^K₋₁u−u K +

u− I_N^Ku K

kw_hk_K.

Segue novamente do Lema2.54 com k= 0 que (I_N−1^K u, w_h)_h,K−(u, w_h)_h,K ≤ C

h^min(N,s)(N −1)^−s+h^min(N+1,s)N^−s

kuk_s,Kkw_hk_K

≤ C(1 +h)h^min(N,s)(N −1)^−skuk_s,Kkw_hk_K,

sendo que o termo 1 +h pode ser limitado em termos da medida do dom´ınio. Assim, (u, w_h)−(u, w_h)_h =Ch^min(N,s)(N −1)^−s X

K∈T_h

kuk_s,Kkw_hk_K,

e o resultado segue da desigualdade de H¨older em R^Nv.

Lembrando que utilizamos elementos retangulares e espa¸cos de elementos espectrais

1Neste caso, devemos tomar uma triangula¸c˜ao regular auxiliarTeh associada ao espa¸co de elementos espectrais de grauN−1, formada pelos mesmos elementos deTh.

formados pelo produto de espa¸cos unidimensionais, necessitaremos de uma vers˜ao hp unidimensional do Lema 2.6 e da segunda parte do Lema 2.3 em [35], cuja prova segue os mesmos argumentos do teorema acima:

Teorema 3.2. Seja T_h^I uma triangula¸c˜ao regular de um intervalo abertoI e P_k(I,T_h^I) ={v ∈P(I,T_h^I) ; v|_K ∈P_k(K) ∀K ∈ T_h^I}.

Se u∈H^s(Ω,T_h^I) com s >3/2 e N ≥2, ent˜ao (u, w_h)−(u, w_h)_h ≤Ch^min(N,s)(N −1)^−skuk_s,TI

h kw_hk₀ ∀w_h ∈P_N(I,T_h^I), (u, wh)−(u, wh)h ≤Ch^min(N+1,s)N^−skuk_s,TI

h kwhk₁ ∀wh ∈PN−1(I,T_h^I).

Considere os operadores de proje¸c˜ao el´ıptica (2.99) e (2.100), considerando a forma bilinear (3.2) e sua aproxima¸c˜ao pela quadratura (2.90). Temos a seguinte estimativa para o erro de proje¸c˜ao el´ıptica:

Teorema 3.3. Se a_ij ∈ H^µ(Ω) com µ > 3/2 para todo i, j = 1,2 e v ∈ H^s(Ω) com s >5/2, ent˜ao para qualquer N ≥2 e h >0,

kv−Π_hvk₁ ≤Ch^min(N,˜s)(N−1)^−˜s

1 +kAk_µ

kvk_˜s, (3.10)

com s˜= min(µ, s−1) e kAk_µ =

2

X

i,j=1 nA

X

k=1

a^k_ij µ.

Demonstra¸c˜ao. Esta prova ´e semelhante ao Lema 1 em [56]. Dado v_h ∈V_h arbitr´ario, kv−Π_hvk₁ ≤ kv−v_hk₁ +kv_h−Π_hvk₁. (3.11) Sejaw_h =Π_hv−v_h. Como o operador a_h(·,·) ´e el´ıptico, podemos escrever

C₂kv_h−Π_hvk²₁ =C₂kw_hk²₁ ≤a_h(w_h, w_h) = a_h(Π_hv, w_h)−a_h(v_h, w_h). Vamos subtrair e somara(vh, wh) e usar (2.100), obtendo

C₂kΠ_hv−v_hk²₁ ≤ a(v, w_h)−a(v_h, w_h) +a(v_h, w_h)−a_h(v_h, w_h)

= a(v−v_h, w_h) +a(v_h, w_h)−a_h(v_h, w_h) (3.12)

≤ C1kv−vhk1kwhk1+a(vh, wh)−ah(vh, wh).

Logo, por (3.11) e (3.12), lembrando que Πhv−vh = wh, segue que a desigualdade acima pode ser reescrita como

kv−Π_hvk₁ ≤C

kv−v_hk₁ +a(vh, wh)−ah(vh, wh) kw_hk

. (3.13)

Vamos escolher v_h =Iv. Segue do Teorema 2.55 (com k = 1) que

kv−v_hk₁ =kv− Ivk₁ ≤Ch^{min(N+1,s)−1}N^1−skvk_s. (3.14) Para limitar o termo restante, note que

a(v_h, w_h)−a_h(v, w_h) = (A∇v_h,∇w_h)−(A∇v,∇w_h)_h

em que os subscritos x e y denotam derivadas parciais nas dire¸c˜oes x₁ e x₂, respec-tivamente. Por simplicidade, faremos os c´alculos apenas para os termos envolvendo o coeficiente a¹₁₁(x) =a¹¹₁₁(x₁)a¹²₁₁(x₂) e usar as nota¸c˜oes (·,·), (·,·)_h e k · k tamb´em no caso

Sejam T_h^I1 eT_h^I2 as triangula¸c˜oes unidimensionais associadas aos intervalos abertosI₁ eI₂ (note que T_h =T_h^I1× T_h^I2) e seja ˜s= min(µ, s−1). Como a¹₁₁v_h,x ∈H^˜s(Ω,T_h), segue

Al´em disso,

kw_h,x¹ k0kw²_hk0 = Z

I1

w¹_h,x(x)²dx

1/2Z

I2

w²_h(x)²dx 1/2

= Z

Ω

[w_h,x¹ (x1)w_h²(x2)]²dΩ 1/2

=kwh,xk0. Analogamente², obtem-se

kf¹k_s

1,T_h^I1kf²k_s

2,T_h^I2 ≤Ckfk_max(s1,s2),T_h, f(x) =f¹(x₁)f²(x₂), de modo que

(a¹₁₁v_h,x, w_h,x)−(a¹₁₁v_h,x, w_h,x)_h ≤Ch^min(N,˜s)(N −1)^−˜ska¹₁₁v_h,xks,T_{˜ h}kw_h,xk₀ Por outro lado, pela limita¸c˜ao do coeficientea¹₁₁ e pelo fato quea¹₁₁v_x ∈H^s˜(Ω),

ka¹₁₁v_h,xk_˜s,T_h ≤ ka¹₁₁(v−v_h)_xk_˜s,T_h+ka¹₁₁v_xk_˜s,T_h

≤ Ck(v−v_h)_xks,T_{˜ h}+ka¹₁₁v_xks,T_{˜ h}

≤ Ckv−v_hk_˜s+1,T_h+ka¹₁₁v_xk_˜s

≤ Ckv−v_hk_s,Th+ka¹₁₁v_xk_˜s Pelo Corol´ario 2.19 e pelo Lema 2.54 com k =s,

ka¹₁₁v_h,xk_˜s,T_h ≤C(kvk_s+ka¹₁₁k_˜skv_xk_˜s)≤C(kvk_s+ka¹₁₁k_µkvk_s), de maneira que, observando tamb´em que kw_h,xk₀ ≤ kw_hk₁,

(a¹₁₁v_h,x, w_h,x)−(a¹₁₁v_h,x, w_h,x)_h ≤Ch^min(N,˜s)(N −1)^−˜s(kvk_s+ka¹₁₁k_µkvk_s)kw_hk₁. Procedendo do mesmo modo com os demais termos dea(v_h, w_h)−a_h(v, w_h), obt´em-se

sup

wh∈V_h

a(v, w_h)−a_h(v, w_h)

kw_hk₁ ≤Ch^min(N,˜s)(N −1)^−˜s(1 +kAk_µ)kvk_s. (3.15) De (3.14), (3.15) e do fato que ˜s≤s−1, a desigualdade (3.13) torna-se

kv−Π_hvk₁ ≤ C

h^min(N,s−1)N^1−skvk_s+h^min(N,˜s)(N −1)^−˜s(1 +kAk_µ)kvk_s

≤ Ch^min(N,˜s) N^−˜s+ (N −1)^−˜s

(1 +kAk_µ)kvk_s, da qual a estimativa (3.10) segue.

2Conv´em considerark · ksna forma dada por [1, eq. (5.1.3)].

Corol´ario 3.4. Nas condi¸c˜oes do Teorema 3.3, vale a seguinte estimativa na normaL²: kv−Π_hvk₀ ≤Ch^min(N,˜s)+1(N−1)^−˜s−1

1 +kAk_µ

kvk_s˜. (3.16) Demonstra¸c˜ao. De fato, pelo Lema de Aubin-Nitsche (Teorema2.35) existe uma constante M tal que

kv−Π_hvk₀ ≤Mkv−Π_hvk₁ sup

g∈L²(Ω)

1 kgk₀ inf

ϕ_k∈V_hkϕ_g−ϕ_kk₁ !

(3.17) onde ϕ_g ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema variacional: Encontrar ϕ_g ∈V tal que a(v, ϕ_g) = (g, v) para toda v ∈ V. Lembrando que Ω ´e um dom´ınio retangular e os coeficientes aij ∈H^µ(Ω) com µ >3/2, temos que [32, pp. 50–53]

ϕ_g ∈H²(Ω) e kϕ_gk₂ ≤C

kLϕ_gk₀+kϕ_gk₀

, Lu=

2

X

i,j=1

∂

∂xi

a_ij(x)∂u

∂xj

. (3.18)

Como I_Nϕ_g ∈V_h e usando a desigualdade (2.98), segue que inf

ϕk∈V_hkϕ_g−ϕ_kk₁ ≤ kϕ_g − I_Nϕ_gk₁

≤Chmin(N+1,2)−1

N¹⁻²kϕgk₂ (3.19)

=ChN⁻¹kϕ_gk₂.

Al´em disso, pela coercividade e continuidade da forma bilineara(·,·) temos que existe uma constanteC₂ tal que

C₂kϕ_gk²₀ ≤a(ϕ_g, ϕ_g)

= (g, ϕ_g) (3.20)

≤ kgk₀kϕ_gk₀.

Logo, pelas desigualdades (3.18) e (3.20), teremos kϕ_gk₂ ≤ kgk₀ +kϕ_gk₀

≤Ckgk₀. (3.21)

Substituindo as desigualdades (3.19) e (3.21) em (3.17) e usando o Teorema 3.3, obtemos kv−Π_hvk₀ ≤ChN⁻¹kv−Π_hvk₁ ≤Ch^min(N,˜s)+1N−1

N (N −1)^−˜s−1(1 +kAk_µ)kvk_˜s, o que resulta em (3.16).

A partir de agora a an´alise ser´a voltada para o problema discreto (3.5). O esquema

de Leapfrog (2.54) para esse problema pode ser escrito de modo an´alogo a (2.54): Comparados com (2.57)-(2.58) nota-se que (3.23)-(3.24) possuem parcelas dependentes da fonte f e a presen¸ca de termos da forma (Πhw, vh)h em vez de (Πehw, vh). Demonstra¸c˜ao. Segue da prova do Lema2.41e da equivalˆencia (2.92) que as duas ´ultimas parcelas de (3.23) resultam nas parcelas correspondentes em (3.25). Por outro lado, pelo

Teorema3.1,

(f(t_n), v_h)_h−(f(t_n), v_h)≤Ch^min(N,r)(N −1)^−rkf(t_n)k_rkv_hk₀, (3.27) resultando na majora¸c˜ao da parcela restante de (3.25). A prova de (3.26) segue o mesmo argumento.

Teorema 3.6. O m´etodo de leapfrog (3.22) ´e est´avel, no sentido que existe uma constante ν >0 tal que, se o incremento temporal satisfaz

∆t≤νhN⁻², (3.28)

ent˜ao vale a deigualdade (2.71):

keⁿ_hk_H ≤C

"

ke⁰_hk_H +kg⁰_hk_H + ∆t

n−1

X

k=0

(∆tkη^k_hk_H +kζ_h^kk_H)

#

. (3.29)

Demonstra¸c˜ao. Como M e K s˜ao sim´etricas e positivas definidas, a matriz (M −λK) possui uma sequˆencia de M autovalores λ_j positivos e uma sequˆencia de M autovetores ω_j linearmente independentes tais que, [52],

Kω_j =λ_jMω_j, j = 1, . . . M. (3.30) Al´em disso, o maior autovalorλmax = max{λj, 1≤j ≤M} do problema de autovalor generalizado (3.30) ´e limitado por

λ_max ≤C˜N⁴

h² , (3.31)

sendo que ˜C > 0 n˜ao depende de M e N, e h ´e o menor comprimento obtido dos lados dos elementos ¯Ω_k, [56]. Segue de (3.28) e (3.31) que

∆t²λ_j ≤ν² h² N⁴

C˜N⁴ h² ,

e (3.29) ´e obtida como no Teorema 2.42com ν² = 4(1−)/C, sendo˜ dada em (2.70).

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´A Stela Angelozi Leite M´ETODO DE ELEMENTOS ESPECTRAIS PARA A EQUAC¸ ˜AO DA ONDA COM COEFICIENTES VARI ´AVEIS. Curitiba, 28 de Novembro de 2016. (páginas 52-62)