O objetivo principal desta se¸c˜ao ´e resolver o seguinte problema: em que condi¸c˜oes um operador linear possui uma base ortonormal em rela¸c˜ao `a qual a sua matriz ´e diagonal.
Vamos come¸car obtendo condi¸c˜oes necess´arias para isso acontecer. Se B = {x1, . . . , xn} ´e uma base
ortonormal que diagonaliza o operador T , ent˜ao T ´e representado nesta base por uma matriz diagonal com entradas diagonais λ1, . . . , λn. O operador adjunto T∗ ´e representado nesta mesma base pela matriz
transposta conjugada, ou seja uma matriz diagonal com entradas diagonais λ1, . . . , λn. Em particular, como
ambos operadores s˜ao representados por matrizes diagonais em rela¸c˜ao a uma mesma base, segue que eles comutam: T T∗ = T∗T . Veremos no final da se¸c˜ao que esta condi¸c˜ao tamb´em ´e suficiente, pelo menos no
caso complexo. No caso real, esta condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente, pois pode ocorrer que T nem possua autovalores (por exemplo, quase todas as rota¸c˜oes em R2).
Defini¸c˜ao 13. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear. Dizemos que T ´e um operador normal se
T T∗= T∗T. (6.32)
Exemplos de operadores normais s˜ao operadores auto-adjuntos e operadores unit´arios. Analogamente, dize- mos que uma matriz A ´e normal se AA∗= A∗A.
Primeiro trataremos do caso especial dos operadores auto-adjuntos.
Teorema 9. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear auto-
adjunto. Ent˜ao todo autovalor de T ´e real.
Prova: Suponha que λ ´e um autovalor de T . Seja v um autovetor n˜ao-nulo associado a λ. Ent˜ao
λ hv, vi = hλv, vi = hT v, vi = hv, T vi = hv, λvi = λ hv, vi
e portanto
λ = λ,
isto ´e, λ ∈ R. Sejam λ1, λ2autovalores reais distintos de T e v1, v2 autovetores n˜ao-nulos associado a λ1, λ2,
respectivamente. Ent˜ao
λ1hv1, v2i = hλ1v1, v2i = hT v1, v2i = hv1, T v2i = hv1, λ2v2i = λ2hv1, v2i
e como λ16= λ2, conclu´ımos que
hv1, v2i = 0.
¥
Teorema 10. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear auto-
adjunto. Ent˜ao T possui um autovalor real.
Prova: Se V ´e um espa¸co vetorial complexo, n˜ao h´a necessidade de fazer nada, pois todo operador complexo possui autovalores (pois seu polinˆomio caracter´ıstico possui ra´ızes) e pelo teorema anterior seus autovalores s˜ao reais. Portanto, assuma que V ´e um espa¸co vetorial real. Escolha uma base ortonormal B para V e seja A = [T ]B. Como T ´e um operador auto-adjunto, isto ´e, que satisfaz T∗ = T , a matriz A ´e uma
matriz hermitiana (isto ´e, sim´etrica, pois ´e uma matriz real) pois tamb´em satisfaz A∗ = A. Se considerada
como uma matriz de um operador complexo em um espa¸co com produto interno complexo seu polinˆomio caracter´ıstico possui uma raiz complexa λ, logo det (λI − A) = 0 e a matriz λI − A ´e singular e possui n´ucleo n˜ao-trivial; por exemplo, A ´e a matriz do operador U em Mn×1(C) definido por U X = AX, onde
n = dim V . Mas como A ´e hermitiana, o operador U ´e auto-adjunto e segue do teorema anterior que λ ´e
real. Como λI − A ´e uma matriz real cujo determinante ´e nulo, ela possui n´ucleo real n˜ao-trivial, portanto
λ ´e um autovalor de A. ¥
Proposi¸c˜ao 15. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear. Se
W ⊂ V ´e um subespa¸co invariante sob T , ent˜ao W⊥ ´e invariante sob T∗.
Prova: Se y ∈ W⊥, ent˜ao hx, yi = 0 para todo x ∈ W . Logo
hx, T∗yi = hT x, yi = 0
para todo x ∈ W , pois T x ∈ W . Portanto, T∗y ∈ W⊥. ¥
Teorema 11. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno de dimens˜ao finita e T : V −→ V um operador
linear auto-adjunto. Ent˜ao T ´e diagonaliz´avel atrav´es de uma base ortonormal.
Prova: A demonstra¸c˜ao ser´a por indu¸c˜ao em dim V . Pelo Teorema 10, T possui um autovalor real. Se dim V = 1, isso d´a uma base ortonormal para V constitu´ıda de autovetores de T . Assuma o teorema verdadeiro para espa¸cos com produto interno de dimens˜ao menor que n e seja dim V = n. Novamente usando o Teorema 10, seja x1 um autovetor de norma 1 associado a um autovalor real de T . Seja W = hx1i.
Ent˜ao W ´e invariante sob T e pela proposi¸c˜ao anterior W⊥´e invariante sob T∗= T . Mas dim W⊥= n − 1,
logo pela hip´otese de indu¸c˜ao existe uma base ortonormal {x2, . . . , xn} para W⊥ de autovetores de T |W⊥ e portanto de T . Como V = W ⊕W⊥, segue que {x
1, x2, . . . , xn} ´e uma base ortonormal para V de autovetores
de T . ¥
Corol´ario 3. Seja A uma matriz hermitiana. Ent˜ao existe uma matriz unit´aria P tal que
D = P∗AP
Corol´ario 4. Seja V um espa¸co vetorial real com produto interno de dimens˜ao finita. Ent˜ao um operador
linear sobre V ´e diagonaliz´avel atrav´es de uma base ortonormal se e somente se ele ´e auto-adjunto.
Prova: Se T : V −→ V ´e um operador linear diagonaliz´avel atrav´es de uma base ortonormal, ent˜ao existe uma matriz ortogonal P tal que
D = PtAP. Em particular, A = P DPt e At=¡P DPt¢t=¡Pt¢tDtPt= P DPt= A. ¥
Voltemos agora a considerar operadores normais. Em primeiro lugar, vamos caracterizar os operadores normais.
Lema 2. Seja V um espa¸co vetorial complexo com produto interno e T : V −→ V um operador linear.
Ent˜ao
hT x, xi = 0 para todo x ∈ V se e somente se
T = 0.
Prova: Suponha hT z, zi = 0 para todo z ∈ V . Dados quaisquer x, y ∈ V , temos
0 = hT (x + y) , x + yi = hT x, xi + hT x, yi + hT y, xi + hT y, yi = hT x, yi + hT y, xi ,
0 = hT (x + iy) , x + iyi = hT x, xi + hT x, iyi + hiT y, xi + hT (iy) , iyi = −i hT x, yi + i hT y, xi , ou seja,
hT x, yi + hT y, xi = 0, hT x, yi − hT y, xi = 0,
Portanto, somando as duas equa¸c˜oes conclu´ımos que
hT x, yi = 0
para todo y ∈ V , logo T x = 0. Como x ´e arbitr´ario, isso implica T = 0. A rec´ıproca ´e imediata. ¥
Lema 3. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear. Se T ´e
auto-adjunto, ent˜ao
hT x, xi ∈ R para todo x ∈ V.
Se V ´e um espa¸co vetorial complexo e hT x, xi ∈ R para todo x ∈ V , ent˜ao T ´e auto-adjunto.
Prova: Se T ´e auto-adjunto, ent˜ao
hT x, xi = hx, T xi = hT x, xi,
logo hT x, xi ∈ R. Reciprocamente, se V ´e um espa¸co vetorial complexo e hT x, xi ∈ R para todo x ∈ V , ent˜ao
hT x, xi = hT x, xi = hx, T xi = hT∗x, xi ,
de modo que
h(T − T∗) x, xi = 0 para todo x ∈ V. Pelo lema anterior, segue que T = T∗. ¥
Lema 4. Seja V um espa¸co vetorial real com produto interno e T : V −→ V um operador linear. Ent˜ao
hT x, xi = 0 para todo x ∈ V se e somente se
T∗= −T.
Prova: Se hT x, xi = 0 para todo x ∈ V , ent˜ao
0 = hT (x + y) , x + yi = hT x, xi + hT x, yi + hT y, xi + hT y, yi = hT x, yi + hT y, xi = hT x, yi + hx, T yi = hT x, yi + hT∗x, yi
= h(T + T∗) x, yi
para todos x, y ∈ V . Portanto, T = −T∗. Reciprocamente, se T∗= −T , ent˜ao
hT x, xi = hx, T∗xi = hx, −T xi = − hT x, xi ,
logo hT x, xi = 0. ¥
Um operador T que satisfaz T∗= −T ´e chamado um operador antiauto-adjunto.
Teorema 12. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno e T : V −→ V um operador linear. Ent˜ao T
´e normal se e somente se
kT xk = kT∗xk para todo x ∈ V. Em particular, se T ´e normal, segue que
V = ker T ⊕⊥im T. Prova: Seja T normal. Ent˜ao
kT xk2= hT x, T xi = hx, T∗T xi = hx, T T∗xi = hT∗x, T∗xi = kT∗xk2.
Reciprocamente, se kT xk = kT∗xk para todo x ∈ V , ent˜ao
hT∗T x, xi = hT x, T xi = kT xk2= kT∗xk2= hT∗x, T∗xi = hT T∗x, xi
para todo x ∈ V , o que implica
h(T∗T − T T∗) x, xi = 0
Se V ´e um espa¸co vetorial complexo, segue imediatamente do Lema 2 que T∗T = T T∗. Se V ´e um espa¸co
vetorial real, segue do Lema 2 que T∗T − T T∗´e um operador antiauto-adjunto; como T∗T − T T∗ tamb´em
´e um operador auto-adjunto, pois
(T∗T − T T∗)∗= (T∗T )∗− (T T∗)∗= T∗(T∗)∗− (T∗)∗T∗= T∗T − T T∗,
conclu´ımos que T∗T − T T∗= 0.
Se T ´e um operador normal, segue que ker T = ker T∗. Como
V = ker T∗⊕⊥im T,
obtemos
V = ker T ⊕⊥im T.
¥
Se V = ker T ⊕⊥im T , n˜ao ´e necessariamente verdade que T ´e um operador normal, pois T pode ser definido
Teorema 13. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno de dimens˜ao finita e T : V −→ V um operador
normal. Ent˜ao v ´e um autovetor para T associado ao autovalor λ se e somente se v ´e um autovetor para T∗ associado ao autovalor λ.
Prova: Se λ ´e qualquer escalar, ent˜ao T − λI tamb´em ´e um operador normal, pois (T − λI)∗ = T∗− λI e
portanto
(T − λI) (T − λI)∗= (T − λI)¡T∗− λI¢= T T∗− λT − λT∗+ λλI = T∗T − λT∗− λT + λλI =¡T∗− λI¢(T − λI) = (T − λI)∗(T − λI) .
Segue do teorema anterior que
k(T − λI) vk =°°¡T∗− λI¢v°° ,
logo (T − λI) v = 0 se e somente se¡T∗− λI¢v = 0. ¥
Teorema 14. Seja V um espa¸co vetorial complexo com produto interno de dimens˜ao finita. Ent˜ao todo
operador linear sobre V ´e triangulariz´avel atrav´es de uma base ortonormal.
Prova: A demonstra¸c˜ao ser´a por indu¸c˜ao em dim V . O resultado ´e obviamente verdadeiro se dim V = 1. Assuma o teorema verdadeiro para espa¸cos vetoriais complexos com produto interno de dimens˜ao menor que n e seja dim V = n. Como V ´e um espa¸co vetorial complexo, existe um autovetor xn de norma 1
associado a um autovalor complexo de T∗. Seja W = hx
ni. Ent˜ao W ´e invariante sob T∗ e pela Proposi¸c˜ao
15 W⊥´e invariante sob T . Mas dim W⊥= n − 1, logo pela hip´otese de indu¸c˜ao existe uma base ortonormal
{x1, . . . , xn−1} de W⊥ em rela¸c˜ao a qual a matriz de T |W⊥ ´e triangular. Como V = W ⊕ W⊥, segue que
{x1, . . . , xn−1, xn} ´e uma base ortonormal para V em rela¸c˜ao `a qual a matriz de T ´e triangular superior,
pois T xn´e simplesmente uma combina¸c˜ao linear de x1, . . . , xn−1, xn. ¥
Corol´ario 5. Seja A uma matriz complexa. Ent˜ao existe uma matriz unit´aria U tal que
T = U∗AU
´e uma matriz triangular.
Teorema 15. Seja V um espa¸co vetorial complexo com produto interno de dimens˜ao finita. Ent˜ao um
operador linear sobre V ´e diagonaliz´avel atrav´es de uma base ortonormal se e somente se ele ´e normal.
Prova: J´a vimos no in´ıcio desta se¸c˜ao que todo operador diagonaliz´avel atrav´es de uma base ortonormal ´e normal. Para provar a rec´ıproca, usando o Teorema 14 j´a sabemos que existe uma base ortonormal
B = {x1, . . . , xn} em rela¸c˜ao `a qual a matriz do operador linear normal T : V −→ V ´e triangular. O
resultado seguir´a se provarmos que toda matriz triangular normal ´e diagonal. E, de fato, seja A = [T ]B. Como A ´e triangular, temos
T x1= a11x1.
Pelo Teorema 13,
T∗x1= a11x1.
Por outro lado,
T∗x 1= n X i=1 (A∗) i1xi= n X i=1 a1ixi.
Portanto, a1i= 0 para todo i > 2, o que implica a1i= 0 para todo i > 2.
Agora, em particular, a12= 0 e o fato de A ser triangular implicam que
T x2= a22x2.
Usando o mesmo argumento conclu´ımos que a2i = 0 para todo i > 3. Continuando com este argumento
Corol´ario 6. Seja A uma matriz normal. Ent˜ao existe uma matriz unit´aria U tal que
D = U∗AU
´e uma matriz diagonal.
Leia a Se¸c˜ao 10.4 do livro-texto.