Orbitas e Singularidades ´ - Campos de Filippov

2.3 Campos de Filippov

2.3.1 Orbitas e Singularidades ´

Considere X e Y campos vetoriais suaves definidos em um aberto U ∈ Rn _{contendo a}

origem e f é um germe de uma fun¸cão Cr com r 6= 1 (Cr denota o conjunto das fun¸cões continuamente diferenciáveis de ordem r) para o qual 0 é um valor regular. Então, a curva Σ = f−1(0) ∩ U é uma subvariedade diferenciável de codimensão um e divide o conjunto aberto U em duas regiões abertas

Σ+ = {(x, y) ∈ U : f (x, y) > 0} e Σ−= {(x, y) : f (x, y) < 0}.

Um sistema Planar de Filippov ´e um campo vetorial suave por partes definido da seguinte forma: Z(x, y) =    X(x, y), (x, y) ∈ Σ+ Y (x, y), (x, y) ∈ Σ− (2.3) o qual denotaremos Z = (X, Y ) a fim de esclarecer as componentes do campo vetorial. Ainda mais, assumiremos que X e Y s˜ao campos definido em U de classe Cr com r ≥ 1 em Σ+ _{e Σ}− _{respectivamente, onde Σ}± _{denota o fecho de Σ}±_{. Lembrando que}

uma aplica¸cão definida em um dom´ınio não aberto D é de classe Cr _{quando ela pode}

ser estendida a uma fun¸c˜ao de classe Cr em um dom´ınio aberto contendo D, o mesmo se aplica a campos vetoriais.

Chamaremos de Zr_{o espa¸co dos campos vetoriais desde tipo. Este pode ser tomado}

como Z = Xr × Xr_{, onde por abuso de nota¸c˜}_{ao X}r _{denota o espa¸co dos campos de}

classe Cr _{em U ∈ R}n_{, munido da topologia C}r _{. Consideraremos Z}r _{com a topologia}

produto. A fim de estabelecer a dinâmica dada por um campo vetorial de Filippov Z = (X, Y ) ∈ Z em U , precisamos definir a trajetória local por um ponto p ∈ U . Para definir rigorosamente o fluxo ϕZ(t, p), isto é, a solu¸cão do campo vetorial (2.3)

que passa por um ponto p ∈ U . Para isso, precisaremos distinguir se o ponto pertence `

a Σ+, Σ− ou Σ.

Nas regi˜oes Σ+ _{e Σ}−_{, a trajet´}_{oria local de p ´}_{e dada pela trajet´}_{oria local do ponto}

com relacão ao campo X ou Y da maneira usual. A fim de estender a defini¸cão de trajetória para Σ, dividiremos Σ no fecho de três regiões localmente e abertas em Σ, dependendo para onde o campo vetorial aponta:

Σc _{= {p ∈ Σ e Xf (p).Y f (p) > 0} Regi˜}_{ao de Costura;}

Σe = {p ∈ Σ e Xf (p) > 0 e Y f (p) < 0} Regi˜ao de Escape; Σs _{= {p ∈ Σ e Xf (p) < 0 e Y f (p) > 0} Regi˜}_{ao de Deslize;}

onde Xf (p) =< X(p), ∇f (p) > é a derivada de Lie de f com respeito ao campo de vetores X em p. Estas três regiões são abertas em Σ e podem possuir várias componentes conexas. Y Σs X Σ+ Σ-‐ Σe X Y Σ+ Σ-‐ Σc X Y Σ+ Σ-‐

Note que ao definir as regiões acima estamos excluindo os pontos de tangência, ou seja, os pontos p ∈ Σ para os quais Xf (p) = 0 com X(p) 6= 0 ou Y f (p) = 0 com Y (p) 6= 0 e os pontos p ∈ Σ para os quais X(p) = 0 ou Y (p) = 0 que são os pontos cr´ıticos de X ou Y em Σ. Estes pontos aparecem na fronteira das regiões Σc, Σs e Σe, que denotaremos por ∂Σc_{, ∂Σ}s _{e ∂Σ}e_{, respectivamente.}

Como discutimos na se¸cão 2.1 podemos distinguir os tipos de tangência entre um campo suave e uma variedade, dependendo do modo como se dá o contato entre a trajetória do campo e a variedade. Basicamente, trabalharemos com os dois tipos de tangência a seguir.

Defini¸cão 2.3.1 Um campo vetorial suave X possui uma dobra ou tangência quadrática com Σ = {(x, y) ∈ U : f (x, y) = 0} em um ponto p ∈ Σ se Xf (p) = 0 e X2f (p) 6= 0. Defini¸cão 2.3.2 Um campo vetorial suave X possui uma cúspide ou tangência cúbica com Σ = {(x, y) ∈ U : f (x, y) = 0} em um ponto p ∈ Σ se Xf (p) = X2_{f (p) = 0 com}

X3f (p) 6= 0.

Observa¸cão 2.3.3 Neste trabalho, vamos assumir que os pontos de tangência são iso- lados em Σ, pois estamos interessados em estudar bifurca¸cões de baixa codimensão em sistemas de Filippov Planares com certas simetrias. Por simplicidade, a defini¸cão de ´

orbita que ´e estabelecida aqui se aplica somente a Sistemas de Filippov com singularidades isoladas.

Definimos agora alguns contatos de trajet´orias do campo de Filippov e a variedade Σ que ser˜ao importantes posteriormente.

Defini¸c˜ao 2.3.4 Um campo de Filippov Z = (X, Y ) possui uma dobra-dobra com Σ em um ponto p ∈ Σ se X e Y possuem uma dobra em p.

Defini¸cão 2.3.5 Um campo de Filippov Z = (X, Y ) possui uma cúspide-cúspide com Σ em um ponto p ∈ Σ se X e Y possuem uma cúspide em p.

O caso onde Z possui uma dobra-dobra com Σ pode ser divididos em trˆes casos, como observado na figura 2.4 e definimos a seguir.

Defini¸c˜ao 2.3.6 Seja p ∈ Σ uma dobra-dobra de Z = (X, Y ) ∈ Zr_{. Diremos que p ´}_e

uma dobra-dobra

(i)-(a) e (i)-(b) parab´olica se X2_{f (p) · Y}2_{f (p) > 0,}

(ii) el´ıptica se X2f (p) < 0 e Y2f (p) > 0, (iii) hiperb´olica se X2_{f (p) > 0 e Y}2_{f (p) < 0.}

(i)-‐(a) (i)-‐(b) (ii) (iii)

Figura 2.4: Singularidades dobra-dobra.

Definiremos a seguir a trajet´oria passando por um ponto p em Σc_{, Σ}s_{e Σ}e_{. Na regi˜}_ao

de costura, os campos apontam na mesma dire¸cão e portanto é suficiente justapor as trajetórias de X e Y por aquele ponto.

Nas regiões Σse Σe, a órbita local é dada pela conven¸cão de Filippov. Consideremos o campo vetorial Zs_{que em cada ponto p ∈ Σ}e_{∪ Σ}s_´_{e dado por uma combina¸c˜}_{ao linear}

convexa de X(p) e de Y (p) de modo que Zs(p) seja tangente `a Σ , como podemos observar na Figura 2.5. p X(p) Y(p) Zs_(p) Σ Σ+ Σ-‐

Deste modo, Zs _{e dado por}

Zs(p) = 1

Y f (p) − Xf (p)(Y f (p)X(p) − Xf (p)Y (p)).

O campo vetorial Zs ´e chamado de campo vetorial deslizante independentemente de estar definido na regi˜ao de deslize ou de escape e para p ∈ Σs∪ Σe _{a trajet´}_{oria local}

de p ´e dada por este campo vetorial. Recordemos que dado um campo vetorial suave autˆonomo X definido em um conjunto aberto U , denotamos seu fluxo como ϕX(t, p)

que possui as seguintes propriedades:    d dtϕX(t, p) = X(ϕX(t, p)), ϕX(0, p) = p.

O fluxo ϕX(t, p) est´a definido para t ∈ I ⊂ R, onde I = I(p) ´e um intervalo que depende

de p ∈ U e do campo vetorial X. Para facilitar a nota¸cão não iremos escrever essa dependência explicitamente. Como estamos lidando com campos vetoriais autônomos, podemos escolher a origem no tempo t = 0.

Defini¸cão 2.3.7 A trajetória local (ou solu¸cão orbital) de um Campo Vetorial de Fi- lippov da forma (2.3) por um ponto é definida como segue:

• Para p ∈ Σ± _{tal que X(p) 6= 0 e Y (p) 6= 0 respectivamente, a trajet´}_{oria ´}_{e dada}

por ϕZ(t, p) = ϕX(t, p) e ϕZ(t, p) = ϕY(t, p) respectivamente, para t ∈ I ⊂ R.

• Para p ∈ Σc _{tal que Xf (p), Y f (p) > 0 e tomando a origem do tempo em p, a}

trajet´oria ´e definida como ϕZ(t, p) = ϕY(t, p) para t ∈ I ∩ {t 6 0} e ϕZ(t, p) =

ϕX(t, p) para t ∈ I ∩ {t > 0}. Para o caso Xf (p), Y f (p) < 0 a defini¸c˜ao ´e a

mesma tomando o tempo com sinal oposto. • Para p ∈ Σe_{∪ Σ}s _{tal que Z}s_{(p) 6= 0, ϕ}

Z(t, p) = ϕZs(t, p) para t ∈ I ⊂ R, onde Zs

• Para p ∈ ∂Σc_{∪ ∂Σ}s_{∪ ∂Σ}e _{tal que as defini¸}_c˜_{oes de trajet´}_{orias para pontos em Σ}

em ambos os lados de p podem ser estendidadas para p e coincidem, a trajetória por p é esta trajetória. Chamaremos estes pontos de tangência regulares.

• Para os pontos que não foram contemplados nos itens acima, convencionamos ϕZ(t, p) = {p}, para todo t ∈ R. Aqui estão os pontos de tangência não regulares,

chamados tangˆencias singulares, os pontos cr´ıticos de X e Y em Σ± e os pontos cr´ıticos do campo deslizante Zs _{em ∂Σ}e_{∪ ∂Σ}s

Observa¸cão 2.3.8 Como estamos interessados na análise qualitativa do espa¸co de fase de Z=(X,Y) todas as trajetórias que passam por p ∈ Σ ou convergem para p em tempo finito ou infinito devem ser consideradas.

A partir da defini¸cão de trajetória, podemos definir uma órbita.

Defini¸cão 2.3.9 A órbita local de um ponto p ∈ U , é o conjunto γ(p) = {ϕZ(t, p) :

t ∈ Ip}.

Já que estamos lidando com sistemas autônomos, de agora em diante usaremos os termos trajetória e órbita indistintamente, quando não houver perigo de confusão. Observa¸cão 2.3.10 No caso que p ∈ Σe_∪Σs_{, temos estabelecidas duas defini¸c˜}_{oes para}

ϕZ(t, p) na literatura (veja, por exemplo, [12]), pois al´em de a trajet´oria dada por Zs,

existem duas trajet´orias de X e de Y que chegam em p em tempo finito (positivo ou negativo). Definindo a trajet´oria por esses pontos como ϕZs(t, p), seguimos a aborda-

gem dada em [6], já que as principais propriedades dos sistemas dinâmicos suaves são preservadas: cada ponto pertence a uma única órbita e o espa¸co de fase é decomposto como união disjunta de todas as órbitas. Consideraremos que a órbita ϕZ(t, p) por

p ∈ Σe_{∪ Σ}s _´_{e a trajet´}_{oria dada pelo campo vetorial deslizante, e vamos considerar que}

todas as ´orbitas de X e Y chegam (ou partem) deste ponto s˜ao relativamente abertas. Com esta escolha, Σs _{e Σ}e _s˜_{ao curvas localmente invariantes de Z.}

Σ Σ+ Σ-‐

.

ϕZ(t,p) p Σ Σ+ Σ-‐

.

ϕZ(t,p) p

Figura 2.6: N˜ao unicidade e unicidade de ´orbitas.

Defini¸c˜ao 2.3.11 Os pontos p ∈ Σe_{∪ Σ}s _{que satisfazem Z}s_{(p) = 0, isto ´}_{e, os pontos}

cr´ıticos do campo vetorial deslizante s˜ao chamados de pseudo–equil´ıbrios de Z. Decorre diretamente da defini¸c˜ao de Zs _{que, neste caso, X(p) = cY (p) com c ∈ R. Ainda mais,}

chamaremos de pseudo–n´o est´avel qualquer ponto p tal que Zs_{(p) = 0 e (Z}s₎0_{(p) < 0,}

de pseudo–n´o inst´avel qualquer ponto p ∈ Σe _{tal que Z}s_{(p) = 0 e (Z}s₎0_{(p) > 0 e de}

pseudo-sela qualquer ponto p ∈ Σs _{tal que Z}s_{(p) = 0 e (Z}s₎0_{(p) > 0 ou Z}s_{(p) = 0 e}

(Zs₎0_{(p) < 0.}

A próxima defini¸cão, caracteriza as singularidades de um Sistema Planar de Filip- pov, que podem ser vistas como zeros de determinadas fun¸cões.

Defini¸c˜ao 2.3.12 As singularidades do sistema de Filippov (2.3) s˜ao

• p ∈ Σ± _´_{e um equil´ıbrio de X ou de Y , isto ´}_{e, X(p) = 0 ou Y (p) = 0 respectiva-}

mente.

• p ∈ Σe_{∪ Σ}s _{tal que p ´}_{e um pseudo-equil´ıbrio, isto ´}_{e, Z}s_{(p) = 0.}

• p ∈ ∂Σc _{∪ ∂Σ}s_{∪ ∂Σ}e_{, isto ´}_{e, os pontos p tais que Xf (p) = 0 ou Y f (p) = 0}

(tangˆencias regulares ou singulares).

Qualquer outro ponto ´e chamado de ponto regular.

Em sistemas dinâmicos suaves, singularidades, sendo zeros de campos vetoriais, correspondem a pontos cr´ıticos e como consequência a trajetória passando por esse ponto é somente o próprio ponto. Apesar disso, em Sistemas de Filippov existem

singularidades (tangências regulares) cuja órbita γ(p) 6= {p}, como podemos ver na Defini¸cão 2.3.7. Por esta razão, classificaremos as singularidades como:

• Singularidade Distinguida: pontos p tais que γ(p) = {p}. Elas fazem o papel dos pontos cr´ıticos nos sistemas dinˆamicos suaves.

• Singularidade Não Distinguida: são os pontos p ∈ Σ que são pontos de tangência regulares, mesmo que eles não sejam pontos regulares, suas órbitas locais são homeomorfas a R.

Defini¸c˜ao 2.3.13 Uma singularidade distinguida ´e um ponto p tal que γ(p) = {p} e pode ser classificada como:

• p ∈ Σ± _{tal que p ´}_{e um equil´ıbrio de X ou de Y , isto ´}_{e, X(p) = 0 ou Y (p) = 0}

respectivamente.

• p ∈ Σs_{∪ Σ}e _{tal que p ´}_{e um pseudo-equil´ıbrio, isto ´}_{e, Z}s_{(p) = 0.}

• p ∈ ∂Σc_{∪ ∂Σ}s_{∪ ∂Σ}e _{tal que p ´}_{e um ponto de tangˆ}_{encia singular.}

As componentes X e Y de um sistema de Filippov Z = (X, Y ) s˜ao definidas em vizinhan¸cas abertas de Σ+ _{e Σ}− _{respectivamente. Ent˜}_{ao, como em campos vetoriais}

suaves, X e Y podem possuir pontos cr´ıticos que n˜ao pertencem a Σ+_{e Σ}−_{, respectiva-}

mente. Vamos nos referir a estes pontos cr´ıticos como pontos cr´ıticos não admiss´ıveis e os pontos que são pontos cr´ıticos do Sistema de Filippov chamaremos de pontos cr´ıticos admiss´ıveis. Um exemplo de ponto cr´ıtico não admiss´ıvel é dado na Figura 2.7.

Analogamente, objetos invariantes (variedades estáveis e instáveis, órbitas periódicas) dos campos vetoriais X e Y que não pertencem a Σ+ _{e Σ}−_{, respectivamente, e tamb´}_em

ser˜ao chamados de n˜ao admiss´ıveis.

Mesmo que tenhamos escolhido a defini¸cão de órbita que nos garanta unicidade, um ponto p ∈ Σ pode pertencer ao fecho de muitas outras órbitas. Levando em conta este fato, ao longo deste trabalho adotaremos a defini¸cão a seguir.

Σ-‐ Σ+ Σ

.

Figura 2.7: Ponto cr´ıtico n˜ao admiss´ıvel.

Defini¸c˜ao 2.3.14 Dados uma trajet´oria ϕZ(t, q) ∈ Σ+∪Σ−e um ponto p ∈ Σ, dizemos

que p ´e um ponto de partida de ϕZ(t, q) se existe t0 < 0 tal que limt→t−₀ϕZ(t, q) = p e

diremos que ´e um ponto de chegada de ϕZ(t, q) se existe t0 > 0 tal que lim_t→t−

0ϕZ(t, q) =

De acordo com a Defini¸c˜ao 2.3.7, se p ∈ Σc _ent˜_{ao p ´}_{e um ponto de partida de}

ϕZ(t, q) para qualquer q pertencendo à órbita γ+(p) = {ϕZ(t, p) : t ∩ [0, ∞)} e é um

ponto de chegada de ϕZ(t, q) para qualquer q pertencendo `a ´orbita γ−(p) = {ϕZ(t, p) :

t ∈ I ∩ (−∞, 0]}. Assim, a órbita por um ponto p ∈ Σc é a união do ponto com suas ´

orbitas de partida e chegada, isto ´e, γ(p) = {p} ∪ γ+_{(p) ∪ γ}−_(p).

Apresentaremos a seguir alguns exemplos de singularidades discutidas nestas se¸c˜ao. Exemplo 2.3.15 Consideremos o sistema

Z(x, y) =    X(x, y) = (1, 2x) em Σ+, Y (x, y) = (2, 5x) em Σ− (2.4) e tomemos p = (0, 0) e Σ = {(x, y) : y = 0}.

O retrato de fase de Z é exibido na Figura 2.8(a). Neste caso, segundo a Defini¸cão 2.3.7, a trajetória por p é ϕZ(t, p) = ϕX(t, p).

Exemplo 2.3.16 Consideremos o sistema Z(x, y) =    X(x, y) = (1, 2x) em Σ+, Y (x, y) = (−2, −7x) em Σ− (2.5) e tomemos p = (0, 0) ∈ ∂Σs_{∪ ∂Σ}e _{e Σ = {(x, y) : y = 0}.}

Neste caso, temos Σs _{= {(x; y) : y = 0, x < 0} e Σ}e _{= {(x, y) : y = 0, x > 0}. Em}

ambos os lados de p, a ´orbita ´e dada pelo campo vetorial deslizante Zs(x, y) = (x/3x, 0), que pode ser estendido para p como Zs_{(0, 0) = (1/3, 0), portanto para p temos que}

ϕZ(t, p) = ϕXs(t, p) = (t/3, 0)T . Este exemplo ´e ilustrado na Figura 2.8(b).

Σ-‐ Σ+ Σc (a) Σ-‐ Σ+ Σe (b)

Figura 2.8: Tangˆencias regulares.

Assim, considerando a Defini¸cão 2.3.7 e relembrando a dinâmica local, pode se con- cluir que os pontos de tangência regulares, mesmo sendo singularidades de acordo com a Defini¸cão 2.3.12, podem ser tomados como pontos regulares em Σ. Nos próximos exemplos, ilustraremos algumas tangências que são singularidades distinguidas, ou seja, suas ´

orbitas são somente as próprias singularidades, como na Defini¸cão 2.3.13. No conjunto dos pontos de tangência singulares distinguidas, aparecem diferentes comportamentos, mas basicamente podemos classificá-los em três grupos.

O primeiro grupo dos pontos de tangˆencia singular ´e formado por pontos em ∂Σc_que

não são pontos de chegada nem de partida de alguma trajetória, de modo que o retrato de fase local é similar ao caso de um foco clássico. Um exemplo deste comportamento ´

e dado a seguir.

Exemplo 2.3.17 Consideremos o sistema Z(x, y) =    X(x, y) = (1, −2x) em Σ+_, Y (x, y) = (−1, −x + x2_{) em Σ}− (2.6) com p = (0, 0) e Σ = {(x, y) : y = 0}.

Como podemos observar na Figura 2.9 (a), as trajet´orias de Z espiralam em torno da origem como acontece em um foco para sistemas dinˆamicos suaves.

O próximo exemplo pode ser observado na Figura 2.9 (b), e representa o segundo grupo de tangências singulares e é formado pelos pontos que pertencem a ∂Σc∩ ∂Σs

ou a ∂Σc_{∩ ∂Σ}e_.

Exemplo 2.3.18 Consideremos o sistema Z(x, y) =    X(x, y) = (1, x) em Σ+_, Y (x, y) = (0, 1) em Σ− (2.7) e tomemos p = (0, 0) e Σ = {(x, y) : y = 0}.

Para Z, como p ∈ ∂Σs_{∩ ∂Σ}c_{, para pontos de Σ `}_{a esquerda de p suas ´}_{orbitas s˜}_ao

dadas por Zs, enquanto para pontos à direita de p as órbitas são dadas pelas órbitas de chegada e partida do ponto, que são trajetórias de X e de Y , pois este ponto pertence a Σc. Portanto, a defini¸cão de órbita em ambos os lados de p não coincidem, o que implica que p é uma tangência singular para o campo Z3. Veremos posteriormente que

as tangˆencias gen´ericas pertencem a este conjunto.

A seguir apresentamos um exemplo de um campo pertencente ao terceiro e último conjunto, cujos pontos de tangência singulares em ∂Σc são pontos de partida ou chegada de duas trajetórias diferentes de X e Y , o retrato de fase desse campo pode ser observado na Figura 2.9 (c). Como diferentes trajetórias de X e Y partem (ou chegam) deste ponto, não temos unicidade de solu¸cões e então a única escolha que pode ser feita para manter a unicidade de solu¸cões é considerar o próprio ponto como sua órbita. Exemplo 2.3.19 Consideremos o sistema

Z(x, y) =    X(x, y) = (1, x) em Σ+_, Y (x, y) = (−1, x) em Σ−. (2.8) Neste caso, a origem é um ponto de dobra v´ısivel para X e Y . Assim, teremos um par de órbitas para as quais p = (0, 0) é um ponto de chegada e outro par para o qual a origem é um ponto de partida.

O último grupo de pontos de tangências singulares corresponde aos pontos p ∈ Σ tal que X(p) = 0 ou Y (p) = 0, que podem ser pontos cr´ıticos hiperbólicos ou não. Analisaremos o caso em que a origem é um ponto cr´ıtico hiperbólico cuidadosamente mais adiante. Uma vez que temos definidas a trajetória e a órbita local por um ponto, podemos estabelecer rigorosamente a defini¸cão de órbita maximal. Dependendo do ponto, esta pode ser uma órbita regular, uma órbita deslizante ou uma singularidade distinguida. (a) (b) (c) ! !+ !" ! !+ !" ! !+ !"

Figura 2.9: Tangˆencias singulares.

Defini¸cão 2.3.20 Uma órbita regular maximal de Z é uma curva suave por partes tal que:

i) γ∩Σ+_{e γ∩Σ}−_´_{e uma uni˜}_{ao de ´}_{orbitas dos campos cont´ınuos X e Y , respectivamente.}

ii) A interse¸c˜ao consiste apenas de pontos de costura e de tangˆencias regulares em ∂Σc_.

iii) γ ´e maximal com respeito a estas condi¸c˜oes.

Observemos que uma ´orbita regular nunca encontra Σs _{ou Σ}e

Defini¸cão 2.3.21 Uma órbita deslizante (ou órbita singular) maximal de Z é uma curva suave γ ⊂ Σs_{∪ Σ}e _{que ´}_{e uma ´}_{orbita maximal do sistema suave Z}s_.

Como falamos no in´ıcio desta se¸cão, as defini¸cões aqui adotadas levam a duas ca- racter´ısticas que tornam esta abordagem mais apropriada no estudo da estabilidade estrutural e bifurca¸cões genéricas: primeiro, a unicidade de solu¸cões, isto é, qualquer p ∈ U pertence a uma única órbita, e segundo, qualquer vizinhan¸ca de p é decomposta na união disjunta de órbitas.

No documento Bifurcações genéricas de sistemas dinâmicos suaves por partes com simetrias (páginas 31-43)