folga e histerese s˜ao algumas n˜ao linearidades com estas caracter´ısticas. Contudo, um sistema com n˜ao linearidades, com derivadas descont´ınuas, pode ser linearizado dependendo da extens˜ao dos efeitos das mesmas.
Assim, m´etodos de an´alise de sistemas n˜ao lineares devem ser desenvolvidos para prever o desempenho de sistemas na presen¸ca deste tipo de n˜ao linearidades. Pois, frequentemente, estas n˜ao linearidades causam efeitos indesejados em sistemas de controle, incluindo baixo desempenho, erro de regime permanente, ciclo limite e perda de estabilidade, se n˜ao forem compensadas devi- damente [Slotine & Li 1991], [Shahruz & Hauser 1989], [Shahruz & Rajarama 2000], [Mehendale & Grigoriadis 2004].
A n˜ao linearidade tipo folga foi escolhida como alvo deste trabalho devido ao fato de ter sido pouco abordada na literatura, diferentemente das n˜ao linearidades satura¸c˜ao e zona-morta, por exemplo.
1.3
Organiza¸c˜ao do Trabalho
Este trabalho est´a organizado em seis cap´ıtulos, sendo este o primeiro, o de Introdu¸c˜ao Geral. O cap´ıtulo 2 descreve a folga, foco deste trabalho. Ato cont´ınuo, apresentam-se os modelos matem´aticos (cont´ınuo e discreto) juntamente com a resposta peri´odica da folga. Em seguida, ´e realizada uma an´alise de um sistema com uma planta linear discreta no tempo precedida pela folga, para um melhor entendimento do que a folga causa no sistema. Al´em disso, faz-se uma breve descri¸c˜ao da satura¸c˜ao, que ser´a inserida apenas na an´alise de estabilidade, ou seja, no terceiro cap´ıtulo. Encerra-se com a apresenta¸c˜ao de duas t´ecnicas de an´alise e controle de sistemas com folga, existentes na literatura, que servir˜ao de base para a compara¸c˜ao com os novos resultados obtidos neste trabalho de doutorado.
Como o objetivo geral do trabalho ´e fazer tanto a an´alise quanto o controle de sistemas que contˆem folga, o terceiro cap´ıtulo apresenta a an´alise de estabilidade atrav´es do resultado in´edito obtido por meio da an´alise de sistemas com folga precedida por outra n˜ao linearidade do tipo satura¸c˜ao. Resultado este, conseguido em conjunto com alguns pesquisadores do LAAS (Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Syst`emes) em Toulouse. Este cap´ıtulo inicia-se com a formula¸c˜ao do problema de an´alise de estabilidade a ser resolvido, seguido de alguns resultados preliminares sobre o sistema em malha fechada, al´em de propriedades sobre as duas n˜ao linearidades (folga e satura¸c˜ao). Ap´os isto, descrevem-se os principais resultados com a an´alise de estabilidade e o c´alculo do conjunto de equil´ıbrio do sistema. Para concluir e validar este resultado, ´e realizado um exemplo num´erico ilustrativo.
4 1. Introdu¸c˜ao Geral Depois de obtida a an´alise de estabilidade de sistemas com folga, a pr´oxima etapa para cumprir o objetivo geral deste trabalho ´e conseguir o controle de sistemas com folga. No cap´ıtulo 4 consegue-se o primeiro resultado de controle adaptativo para um sistema linear que possui a n˜ao linearidade do tipo folga em sua entrada. Como foi feito o controle em tempo discreto, este cap´ıtulo inicia-se com o modelo matem´atico discreto da folga inversa. Al´em disso, utiliza-se uma folga inversa adaptativa para conseguir cancelar os efeitos prejudiciais da mesma, sendo, portanto, apresentado o modelo matem´atico discreto no tempo da folga inversa. A partir da´ı, apresenta-se a folga inversa adaptativa que obt´em os parˆametros inversos adaptativamente, ou seja, atrav´es da estima¸c˜ao destes parˆametros. Tamb´em ´e feita uma compara¸c˜ao com uma t´ecnica j´a existente na literatura, apresentada no segundo cap´ıtulo, que tamb´em faz a invers˜ao da folga, por´em, tanto a estrutura de controle como a lei de adapta¸c˜ao dos parˆametros s˜ao distintas. Ent˜ao, a estrutura de controle e as equa¸c˜oes de atualiza¸c˜ao dos parˆametros s˜ao apresentadas ap´os uma compara¸c˜ao estrutural com a t´ecnica existente, gerando, por consequˆencia, uma diminui¸c˜ao do efeito computacional de t´ecnicas existentes.
Ainda no quarto cap´ıtulo, pelo fato da folga ser desconhecida, isto ´e, a sua sa´ıda n˜ao pode ser medida, aprimoram-se os resultados obtidos neste cap´ıtulo devido `a inclus˜ao da estima¸c˜ao da sa´ıda da folga. Portanto, realiza-se esta estima¸c˜ao para depois apresentar uma nova estrutura de controle, que ´e feita utilizando um problema de filtragem, ou seja, um filtro foi inclu´ıdo ap´os o sistema linear, onde a sa´ıda deste filtro recupera a entrada deste sistema linear que ´e a sa´ıda da folga desconhecida. Logo, este filtro ´e projetado para que se consiga recuperar a sa´ıda da folga. Ap´os esta estima¸c˜ao, apresenta-se uma nova abordagem, partindo da mesma ideia anterior, que se diferencia pela estrutura de controle e consequentemente pelas equa¸c˜oes de atualiza¸c˜ao dos parˆametros.
O cap´ıtulo 5 introduz um novo resultado de controle de sistemas com folga cont´ınuos no tempo. Por se tratar de tempo cont´ınuo, o cap´ıtulo inicia-se com o modelo matem´atico cont´ınuo da folga inversa e folga inversa adaptativa. Em seguida, elabora-se o problema de otimiza¸c˜ao, pois neste resultado, os parˆametros estimados da folga s˜ao atualizados atrav´es de uma estrat´egia evolutiva, mais precisamente, do algoritmo CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation-Evolution Strategy). O objetivo ´e minimizar o erro de controle do sistema, ou seja, a diferen¸ca entre a sa´ıda da folga e a entrada da folga inversa adaptativa.
Para a finaliza¸c˜ao desta tese, o sexto e ´ultimo Cap´ıtulo apresenta as conclus˜oes gerais abor- dando os pontos mais importantes e os desenvolvimentos futuros para dar continuidade a este trabalho. Por uma quest˜ao de organiza¸c˜ao e valoriza¸c˜ao do trabalho, ao final de cada cap´ıtulo ´e feita uma conclus˜ao.
Cap´ıtulo 2
Sistemas com Folga
2.1
Introdu¸c˜ao
Os sistemas de controle pr´aticos sofrem influˆencia expressiva de algumas imperfei¸c˜oes encon- tradas em seus componentes constitutivos, especialmente nos atuadores e sensores, que limitam severamente o desempenho do controle em malha fechada, partes vitais da automa¸c˜ao industrial, sistemas de transporte e prote¸c˜ao. Al´em disso, estudos comprovam que os atuadores e os sensores n˜ao lineares comprometem (demasiadamente) o desempenho est´atico e dinˆamico dos sistemas de controle com realimenta¸c˜ao [Slotine & Li 1991].
N˜ao linearidades podem ser classificadas como inerentes (naturais) ou intencionais (artificiais). As primeiras s˜ao aquelas que vˆem naturalmente com o movimento do sistema, que usualmente, tˆem efeitos indesej´aveis, e o controle do sistema tem que ser propriamente compensado. Alguns exemplos de n˜ao linearidades inerentes podem ser: for¸cas centr´ıpetas em movimento rotacional e atrito de Coulomb entre superf´ıcies em contato. Por outro lado, as n˜ao linearidades inten- cionais s˜ao introduzidas artificialmente pelo projetista, sendo as leis de controle n˜ao linear, tais como controle adaptativo e controle ´otimo, exemplos tipicamente de n˜ao linearidades intencionais [Slotine & Li 1991].
N˜ao linearidades podem tamb´em ser classificadas em termos de suas propriedades matem´ati- cas, como cont´ınuas e descont´ınuas. Como as n˜ao linearidades com derivadas descont´ınuas n˜ao podem ser localmente aproximadas por fun¸c˜oes lineares, essas s˜ao tamb´em chamadas de n˜ao linearidades dif´ıceis (tais como, folga e histerese), que s˜ao comumente encontradas em sistemas de controle [Slotine & Li 1991].
A folga ´e um tipo de n˜ao linearidade geralmente presente em componentes de sistemas de controle, tais como, conex˜oes mecˆanicas e dispositivos eletromagn´eticos com histerese [Tao & Kokotovic 1995b], [Nordin & Gutman 2002], [Dean, Surgenor & Iordanou 1995], [Grundelius &
6 2. Sistemas com Folga Angeli 1996], [Tao & Kokotovic 1993],[Mayergoyz 1991]. Efeitos indesej´aveis da folga em sistemas de controle s˜ao, por exemplo, diminui¸c˜ao da acuidade est´atica e instabilidade do sistema. A conex˜ao em malha fechada de sistemas lineares invariantes no tempo com folgas resulta em sistemas lineares por partes, com um conjunto cont´ınuo de pontos de equil´ıbrio e poss´ıveis ciclos limites, especialmente no caso de sistemas est´aveis em malha fechada, mas inst´aveis em malha aberta [Bhat & Bernstein 2003]. A estabilidade de sistemas invariantes no tempo conectados em malha fechada com folgas tem sido estudada na literatura considerando majoritariamente sistemas com uma entrada e uma sa´ıda (SISO) e t´ecnicas no dom´ınio da frequˆencia [Khalil 1992], [Kodama & Shirakawa 1968].
Sistemas controlados com folga normalmente apresentam erro de regime permanente, ou at´e mesmo, ciclos limites pelos quais o sistema oscila, geralmente em um comportamento irregular, com amplitude de pico a pico que pode exceder o tamanho de abertura total da folga, que ser´a considerado como bordas de fenda em seus modelos na se¸c˜ao 2.3 [Nordin & Gutman 2002].
Neste cap´ıtulo, introduz-se a descri¸c˜ao de folga juntamente com seu modelo matem´atico para uma melhor compreens˜ao desta n˜ao linearidade. Al´em disso, s˜ao relatadas duas t´ecnicas existentes na literatura para a an´alise e o controle de sistemas com folga, que servir´a de base para os pr´oximos cap´ıtulos.