Organizac¸˜ao da dissertac¸˜ao

As bases te´oricas para a investigac¸˜ao dos problemas resumidamente descritos na sec¸˜ao anterior envolvem conhecimentos acerca do m´etodo de otimizac¸˜ao topol´ogica, MEF, piezoeletricidade, m´etodos de controle, m´etodos de otimizac¸˜ao e familiaridade com alguma linguagem de programac¸˜ao que possibilite a implementac¸˜ao computa- cional dos problemas aqui propostos. Alguns destes t´opicos est˜ao em cap´ıtulos es- pec´ıficos neste trabalho e outros foram apresentados e discutidos no desenvolvimento da formulac¸˜ao e resoluc¸˜ao dos problemas. Os problemas de otimizac¸˜ao topol´ogica si- multˆanea `a localizac¸˜ao de atuadores s˜ao abordados em um ´unico cap´ıtulo, mas cada um em sua sec¸˜ao de modo que, em cada uma delas, o problema ´e formulado, discre- tizado e os resultados s˜ao imediatamente apresentados e discutidos.

Este primeiro cap´ıtulo trouxe as ideias que motivam e justificam a realizac¸˜ao deste trabalho, al´em da revis˜ao bibliogr´afica que busca resgatar e apresentar os trabalhos que d˜ao suporte `a problem´atica investigada possibilitando, assim, um panorama geral dos desafios matem´aticos e computacionais a serem abordados e de como enfrent´a- los. A proposta e seus objetivos foram apresentados na sequˆencia.

O segundo cap´ıtulo exp˜oe os fundamentos da piezoeletricidade, abordando o seu conceito e o funcionamento das cerˆamicas piezoel´etricas, utilizadas como atuadores em um dos problemas propostos. Em seguida, as equac¸˜oes constitutivas do fenˆomeno da piezoeletricidade, a descric¸˜ao dos tensores de materiais piezoel´etricos e a hip´otese do estado plano de tens˜oes mecˆanicas s˜ao apresentados.

O m´etodo de otimizac¸˜ao topol´ogica ´e descrito no cap´ıtulo trˆes. A ideia geral do m´etodo e sua relac¸˜ao com a otimizac¸˜ao param´etrica e de forma abrem o cap´ıtulo para ent˜ao, somente na segunda sec¸˜ao, os conceitos b´asicos de dom´ınio fixo estendido e modelo material serem revisados. O m´etodo das densidades ´e ent˜ao apresentado, uma vez que este ´e utilizado como um modelo de distribuic¸˜ao de material neste tra- balho. Com isto, pode-se estruturar o problema de minimizac¸˜ao da flexibilidade que servir´a como base para a formulac¸˜ao dos problemas propostos no cap´ıtulo quatro. As condic¸˜oes de otimalidade para este problema, o esquema computacional, seus aspec- tos num´ericos e complicac¸˜oes provenientes de sua implementac¸˜ao fecham o cap´ıtulo. Os problemas propostos s˜ao finalmente formulados, discutidos e resolvidos no cap´ıtulo quatro. Este cap´ıtulo ´e dividido em duas grandes sec¸˜oes, uma para o pro- blema simultˆaneo de otimizac¸˜ao topol´ogica e localizac¸˜ao de atuadores proporcionais e outra para o mesmo problema com atuadores de natureza piezoel´etrica. Cada uma das sec¸˜oes traz a modelagem matem´atica do problema, sua an´alise de sensibilidades e discretizac¸˜ao via MEF. Simulac¸˜oes computacionais s˜ao realizadas e os resultados s˜ao apresentados para cada um dos problemas.

A finalizac¸˜ao do texto se d´a no cap´ıtulo cinco com as conclus˜oes e sugest˜oes para trabalhos futuros.

Neste cap´ıtulo, os fundamentos da piezoeletricidade s˜ao apresentados de forma suscinta a fim de contemplar os aspectos da teoria realmente necess´arios para o de- senvolvimento deste trabalho. A hist´oria da piezoeletricidade explica de forma clara e objetiva as origens e as primeiras aplicac¸˜oes deste fenˆomeno no meio cient´ıfico e, por isso, abre este cap´ıtulo na sec¸˜ao 2.1. As cerˆamicas piezoel´etricas e suas propriedades constam na sec¸˜ao 2.2 seguidas das equac¸˜oes constitutivas para a piezoeletricidade e da descric¸˜ao dos tensores de material nas sec¸˜oes 2.3 e 2.4, respectivamente. Na sec¸˜ao 2.4, obt´em-se uma significativa diminuic¸˜ao da quantidade de parˆametros dos tensores atrav´es da considerac¸˜ao do efeito de simetria presente na estrutura de cer- tas cerˆamicas. Fechando o cap´ıtulo est´a a sec¸˜ao 2.5 onde assume-se a hip´otese do estado plano de tens˜oes mecˆanicas a fim de fazer a passagem do problema de trˆes para duas dimens˜oes.

2.1 Introduc¸˜ao

O termo piezoeletricidade ´e historicamente posterior `as denominac¸˜oes de piroele- tricidade e efeito eletrocal´orico. Nativos da ilha de Ceylan (hoje o Sri Lanka, localizado na extremidade sul do subcontinente indiano) e da India observaram, s´eculos atr´as, uma propriedade peculiar dos cristais de turmalina: estes, quando jogados em cinzas quentes, primeiro atra´ıam as cinzas para logo em seguida repeli-las. Por´em, devido `a demora na importac¸˜ao de turmalina, este experimento s´o chegou `a Europa no in´ıcio do s´eculo XVIII. Em 1756, a origem el´etrica de tal comportamento foi demonstrada pelo f´ısico alem˜ao Aepinus1_{, mas somente em 1824 ele foi nomeado piroeletricidade pelo}

f´ısico escocˆes D. Brewster. O efeito piroel´etrico pode ser definido como a induc¸˜ao de polarizac¸˜ao pela absorc¸˜ao de energia t´ermica; a polarizac¸˜ao induzida ´e proporcional `a variac¸˜ao da temperatura resultante. A propriedade inversa, de muito menor amplitude,

´e chamada de efeito eletrocal´orico (PIEFORT, 2001).

A primeira publicac¸˜ao cient´ıfica descrevendo o fenˆomeno, mais tarde denominado

1_{Fez a primeira observac¸˜ao experimental da polarizac¸˜ao el´etrica do cristal de turmalina, obtida por}

como piezoel´etrico, apareceu em 1880. Foi uma co-autoria de Pierre e Jacques Cu- rie, que estavam conduzindo experimentos em uma variedade de cristais na ´epoca, levando-os a elaborar a teoria inicial da piezoeletricidade. Nestes experimentos, eles catalogaram um n´umero de cristais, tais como a turmalina, o quartzo, o topaz, o ac¸´ucar de cana e o sal de Rochelle que exibiam cargas superficiais quando estavam mecani- camente tensionados (MOHEIMANI; FLEMING, 2006). De acordo com Piefort (2001), esta teoria foi ent˜ao complementada pelos trabalhos de G. Lippman2_{, W. G. Hankel}3_,

Lord Kelvin e W. Voigt no in´ıcio do s´eculo XX.

Na comunidade cient´ıfica da ´epoca, esta observac¸˜ao foi considerada como uma descoberta significante, e o termo piezoeletricidade surgiu para expressar este efeito. Em virtude da palavra grega piezo significar pressionar (ou prensar ou apertar), pie- zoeletricidade vem a transmitir a ideia de eletricidade gerada a partir da press˜ao. Esta terminologia ajudou a distinguir piezoeletricidade de outros fenˆomenos de interesses relacionados na ´epoca, tal como a piroeletricidade.

A primeira aplicac¸˜ao s´eria para materiais piezoel´etricos apareceu durante a Pri- meira Guerra Mundial na construc¸˜ao de um detector submarino ultrassˆonico cujo tra- balho ´e creditado a Paul Langevin e seus colegas na Franc¸a. O dispositivo foi utilizado para transmitir um sinal de alta frequˆencia dentro da ´agua e medir a profundidade cro- nometrando o eco de retorno. A invenc¸˜ao deles, contudo, n˜ao estava aperfeic¸oada at´e o final da guerra.

Ap´os o seu uso bem-sucedido em transdutores de sonar, cristais piezoel´etricos foram empregados em muitas aplicac¸˜oes como microfones, acelerˆometros e transdu- tores ultrassˆonicos. O desenvolvimento de materiais piezocerˆamicos durante e depois da Segunda Guerra Mundial revolucionou este campo. Pesquisas significantes foram realizadas nos Estados Unidos da Am´erica e em outros pa´ıses tais como o Jap˜ao e a antiga Uni˜ao Sovi´etica que tinham como objetivo o desenvolvimento de materiais com constantes diel´etricas muito altas para a construc¸˜ao de capacitores. Materiais pi- ezocerˆamicos foram descobertos a partir do resultado destas atividades e um n´umero consider´avel de m´etodos para a sua produc¸˜ao em larga escala foram concebidos.

Introduzido o conceito de piezoeletricidade e os fatos hist´oricos que explicam seu surgimento e sua aplicabilidade, obtidos em Moheimani e Fleming (2006), a pr´oxima sec¸˜ao tem o objetivo de explicar como certas cerˆamicas s˜ao preparadas a fim de que o efeito piezoel´etrico presente nelas alcance maior magnitude uma vez que esse efeito ´e muito pequeno em materiais naturais, levando, assim, ao desenvolvimento de materiais com propriedades melhoradas.

2_{Respons´avel pela deduc¸˜ao matem´atica do efeito piezoel´etrico inverso, confirmado experimental-}

mente pelos irm˜aos Curie em 1881.