Origem do caos

O comportamento caótico só é possível em sistemas não lineares por natureza. O exemplo típico de uma equação às diferenças não linear que intervem comummente em suportes de estudo ao caos determinístico é a aplicação logística. A sua popularidade está interligada à sua simplicidade que não evita o aparecimento de uma dinâmica de complexidade desmedida, tendo sido explorada exaustivamente no trabalho de May (1976) como a discretização da equação logística estabelecida por Verhulst (1838), para modelar o crescimento demográco. Escreve-se na forma canónica

xn+1 = rxn(1 − xn) (3.1)

onde 0 ≤ xn ≤ 1traduz a população normalizada da n-ésima geração e r é o parâme-

tro de crescimento que mensura a propensão marginal para a população aumentar. A aplicação prática de (3.1) impõe 0 ≤ xn+1 ≤ 1 e isso verica-se quando 0 ≤ r ≤ 4.

Ao contrário da equação logística cujo comportamento é insensível à concretização de r, May (1976) descobre que o comportamento da aplicação logística muda drastica- mente em função de r. De um modo genérico, os pontos xos são x∗ _{= 0 e x}∗ ₌ r−1

r .

O primeiro é localmente estável quando r varia entre 0 e 1, sendo que a importância do segundo remete-se a 1 < r ≤ 4, onde de tudo acontece. Com efeito, a menos do último intervalo, seja para r < 1, seja para r > 4, a população extingue-se. Sucinta- mente, a estabilidade local de x∗ ₌ r−1

r ca-se por 1 < r < 3 e as soluções periódicas e

caóticas manifestam-se para 3 < r ≤ 4. Em particular, ocorre uma bifurcação de du- plicação do período supercrítica em r = 3, à qual se segue uma cascata de bifurcações de duplicação do período, convergente no ponto de acumulação r∞ ≈ 3.57. A partir

daqui, a dinâmica é marcada pelo caos que se encerra em r = 4, intercalando com janelas períodicas. O que interessa reter é que o caos aparece quando o parâmetro

de controlo se torna sucientemente grande.

Repare que a anidade algébrica entre a função M (·), expressa por (2.19), e a função logística f (λt) = rxn(1 − xn) reside no fator λt(1 − λt), prevalecendo a

notação do modelo de Currie e Kubin (2006). Não obstante, Commendatore et al. (2008) garantem que apesar da sua semelhança com a logística, não é responsável pela complexa dinâmica (p. 128, tradução livre). Por outro lado, intrinsecamente, a rota para o caos, expressão que se refere ao processo pelo qual um conjunto atrator de um sistema dinâmico se torna caótico, faz-se, em ambos os casos, via duplicação do período, notando-se que o tipo de bifurcação que está na sua origem é diferente. Assim, na função logística imperam literalmente as bifurcações de duplicação do período supercríticas e, para a função saldo migratório M (·), são as bifurcações de forquilha supercríticas que abrem caminho à desordem.

Ora, o produto Lγ pode ser equiparado ao parâmetro r na logística, ceteris pari- bus. Nesse sentido, é importante analisar a partir de que valor de Lγ, ceteris paribus, o caos eclode. Sabe-se que uma bifurcação de duplicação do período supercrítica adianta-se em T = TP, pelo que a existência de TP é uma condição necessária para

a ocorrência de caos e este apontamento servirá para determinar um minorante para γLdesse ponto de vista.

Proposição 3.2.3. Dados µ e σ, se Lγ < 2(σ−1)

σ−1−µσ então não ocorre a bifurcação de

duplicação do período supercrítica no ponto (1_{/2, T )}, para algum custo de transporte

T.

Demonstração. Ver Apêndice A.6.

Este resultado reproduz precisamente o que já tinha sido sublinhado para a apli- cação logística, ou seja, o fenómeno caótico desperta apenas se o produto Lγ é su- cientemente grande.

Capítulo 4

Dinâmica: nova proposta

A striking dierence between discrete and continuous modelings (...) is related to the occurrence of deterministic chaos

Krivineet al. (2007, p. 261) A relação entre uma dinâmica em tempo contínuo e a sua correspondente em tempo discreto é um assunto amplamente reconhecido pela Análise Numérica. A modelação requer que sejam feitas várias escolhas fundamentais e uma delas consiste no qua- dro temporal em que se deve formular o modelo. As opiniões dividem-se e alguns investigadores intercedem pela modelação em tempo discreto, baseados no princípio de que para noticar uma mudança, algum tempo tem que passar, enquanto outros argumentam que a vida desenrola-se continuamente, sugerindo que a modelação em tempo contínuo será mais realista. Ainda recentemente, essa decisão parecia assen- tar numa questão de estilo pois poucos acreditavam que havia diferenças económicas signicativas e relevantes entre os dois. Todavia, no presente observa-se uma maior ponderação em torno deste parecer, derivado aos critérios de estabilidade local e global dos dois ambientes de modelação sustentarem dissemelhanças consideráveis, levando eventualmente à prescrição de diferentes políticas. Uma sua consequência está relacionada com a ocorrência de caos determinístico. Assim, um sistema dinâ- mico discreto em R pode exibir um comportamento caótico, ao contrário da evolução contínua nas mesmas condições dimensionais, que não detém sequer uma solução não trivial periódica.

Neste capítulo dá-se a conhecer, em primeiro lugar, os indispensáveis atributos que a função de ajustamento em tempo discreto deve obedecer, para travar o caos e aproximar os resultados aos do modelo em tempo contínuo. A secção 4.2 remete a um exemplo concreto. munida de todos os pormenores, sucedendo-se um elenco de outras propostas, expostas brevemente, na secção 4.3.

4.1 Características da proposta

É evidente que o processo migratório de Currie e Kubin (2006) não reproduz o seu homólogo em tempo contínuo, onde os trabalhadores industriais migram continua- mente para a região que oferece o salário real mais elevado e a direção do movimento é de imediato inferida através da Figura 2.1. Signica que a rigorosa função de ajus- tamento, assim como a inerente velocidade de migração, tornam-se aí dispensáveis. Aliás, Baldwin et al. (2002) revela que, surpreendentemente, nos primórdios tra- balhos da NEG  Krugman (1991), Venables (1996), Krugman e Venables (1995)  os autores manipulam modelos dinâmicos em que a migração está no centro da aglomeração da indústria, sem nunca discutir equações dinâmicas ou especicar uma equação de migração. Puga (1998) e Fujita et al. (1999) parecem ter sido os pioneiros no tratamento explícito da dinâmica do modelo centro-periferia mas os próprios en- fatizam a prescindibilidade da enunciação formal do processo migratório. Armações como esta não se aplicam ao caso discreto, uma vez que as propriedades de estabili- dade local deixam de se aferir diretamente pela Figura 2.1, assumindo a equação de migração um papel crucial na sua análise.

Na subsecção 3.2.2 do Capítulo 3, a aplicação logística exemplicou que a simpli- cidade analítica não é sinónimo de dinâmica bem comportada, apesar da trajetória em tempo contínuo, ditada pela equação logística, se abstrair de qualquer comporta- mento errático. O problema atual poderia perfeitamente enquadrar-se numa situação análoga. Contudo, a discretização do modelo standard, em tempo contínuo, pode ser elaborada de diversas formas, pelo que prontamente, surge a interrogação sobre se todas elas conduzirão, mais cedo ou mais tarde, ao caos. Para tal, testaram-se vá- rias funções migratórias, tendo iniciado esta exploração com dinâmicas conhecidas da Teoria de Jogos Evolucionária, já que Fujita et al. (1999) justica a sua lei de migração com base na dinâmica do replicador, frequentemente utilizada nessa área, e assinala que o modelo pode ser visto como um jogo evolucionário. Os resultados obtidos são idênticos aos de Currie e Kubin (2006), no entanto o seu desenvolvimento não merece destaque porque as tentativas não se caram por aqui. Eis que surge a ideia de estruturar uma dinâmica migratória em tempo discreto que se aproxime o mais avelmente possível do processo de realocação contínuo. De um modo geral, pretende-se encontrar funções que retratem a percentagem de trabalhadores que irá efetivamente migrar entre as regiões, em cada instante, nos dois sentidos permissíveis, de acordo com o rácio dos salários reais.

Posto isto, seja αt a percentagem de trabalhadores que, no nal do instante t,

migram da região 2 para a região 1, consoante o rácio dos salários reais. Escreve- se αt = α _ω 1,t ω2,t. Portanto, αt 6= 0 se e só se ω1,t ω2,t > 1. Analogamente, seja βt a

percentagem de trabalhadores que, no nal do instante t, migram da região 1 para a região 2, em função do rácio dos salários reais, identicando βt = β

_ω 1,t

ω2,t, em que βt 6= 0 se e só se

ω1,t

ω2,t < 1. Da denição de αt e βt advém a condição 1 abaixo. Por outro lado, no sentido de manter os pressupostos usuais para a dinâmica de migração, requisita-se a vericação das condições 2 a 4.

C1. αt: ]1, +∞[ → [0, 1] e βt : ]0, 1[ → [0, 1]; C2. α (1) = β (1) = 0 e α (+∞) = β (0) = 1; C3. αω1,t ω2,t  = βω2,t ω1,t; C4. αt, βt crescentes em ω1,t e ω2,t, respetivamente.

A condição 1. indica que αt e βt são funções percentagens escritas no formato

decimal, em que a variável independente é o rácio dos salários reais ω1,t

ω2,t. Na condição 2. reconhece-se que os trabalhadores industriais não se deslocalizam quando o salário real vigente em ambas as regiões é igual. Por sua vez, a condição 3. garante que os acontecimentos decorrem simetricamente entre as regiões, enquanto na condição 4. se exprime que as percentagens migratórias são tanto maiores, quanto maior o salário real da região de destino.

Assim, diante das hipóteses do modelo, expostas na secção 2.1 do Capítulo 2, a discretização à qual se associa a lei de migração toma o seguinte aspeto

λt+1 = S (λt) = λt+    αt(1 − λt) se ω1,t ω2,t ≥ 1 −βtλt se ω1,t ω2,t < 1 (4.1) e a sua interpretação decompõe-se em dois pontos:

• se o salário real é maior na região 1 no instante t, uma percentagem αt de

trabalhadores industriais da região 2 vai migrar para a região 1 no nal desse período e os trabalhadores industriais instalados na região 1 mantêm a sua residência, logo a percentagem de trabalhadores na região 1 no período t + 1 remonta a λt+1 = λt+ αt(1 − λt);

• se o salário real é maior na região 2 no instante t, uma percentagem βt de

trabalhadores industriais da região 1 vai abandonar a sua região no nal do período e a força de trabalho industrial afeta atualmente à região 2 perpetua- se, pelo que a região 1 ca desfalcada no período t + 1 com uma percentagem de trabalhadores industrais igual a λt+1 = λt− βtλt.

O ramo onde se inclui a igualdade ω1,t

ω2,t = 1 mostra ser indiferente pela condição 2., que estabelece λt+1 = λt nessa circunstância. Ressalve-se ainda que a implicação

0 ≤ λt≤ 1 ⇒ 0 ≤ λt+1≤ 1 é imediatamente satisfeita sem recurso a uma restrição,

o que não sucedia no modelo de Currie e Kubin (2006), formalizando-se no seguinte resultado:

Proposição 4.1.1. Considere-se o sistema λt+1 = S (λt), para todo t ∈ N0. Se

0 ≤ λt ≤ 1 então 0 ≤ λt+1≤ 1.

Demonstração. Sejam λt+1 = S (λt) determinado por (4.1) e 0 ≤ λt ≤ 1. Logo,

0 ≤ 1 − λt ≤ 1.

• Suponha-se que ω1,t

ω2,t > 1. Decorre que λt+1 = λt+ αt(1 − λt) com 0 < αt ≤ 1 Daí, 0 ≤ αt(1 − λt) ≤ 1 − λt, pelo que, 0 ≤ λt ≤ λt + αt(1 − λt) ≤ 1, e

equivalentemente, 0 ≤ λt+1≤ 1.

• Suponha-se agora que ω1,t

ω2,t < 1. Vem que λt+1 = λt− βtλt com 0 < βt≤ 1 e, à vista disso, −λt ≤ −βtλt ≤ 0, conduzindo a 0 ≤ λt− βtλt ≤ λt ≤ 1, ou seja,

0 ≤ λt+1 ≤ 1.

• Se ω1,t

ω2,t = 1, ocorre diretamente que 0 ≤ λt+1 = λt≤ 1.