Os Conceitos de Probabilidade

Na obra "Azar y Probabilidad" (GODINO et al, 1996), podemos constatar o apontamento de diversas formas de se conceber o conceito de probabilidades:

• Usos informais da probabilidade

• A Teoria Clássica de Probabilidade

• Teorias Lógicas

• Probabilidade freqüentista ou empírica

• Probabilidade Subjetiva

• Probabilidade Formal

Como podemos observar, existem variadas formas de se definir a proba-

bilidade de um evento. No entanto, baseados em nosso estudo histórico e epistemológico, observamos o enfoque, no processo de ensino-aprendizagem a nível secundário (ensino médio), de duas vertentes principais: a clássica e a freqüentista. Desse modo estaremos analisando estas duas últimas concepções probabilísticas.

2.1. A visão clássica de probabilidade: a obra de Laplace

É notável que uma ciência que começou com considerações sobre jogos de azar pudesse ter se elevado ao nível dos mais importantes assuntos do conhecimento. (LAPLACE, 1825)

Com efeito, foi isso o que efetivamente ocorreu com a teoria das probabilidades, a que se refere a citação. Mas, deve-se acrescentar, a bem da verdade, como conseqüência do gênio e do esforço de grandes matemáticos que se dedicaram ao assunto, entre os quais o próprio autor da frase: Pierre- Simon de Laplace (1749-1827).

A obra-prima de Laplace é o Traité de mecanique celeste, publicada ao longo de 26 anos (1799-1825), em cinco volumes que totalizam 2000 páginas. Reunindo as grandes descobertas até então realizadas no campo da mecânica celeste com sua enorme contribuição ao assunto, Laplace completou o trabalho de Newton no sentido de mostrar que todos os movimentos dos corpos do sistema solar são dedutíveis da lei da gravitação.

A mecânica celeste contribuiu fortemente para que a teoria das probabilidades viesse a ser uma das preocupações científicas de Laplace. Afinal, era preciso, entre outras coisas, determinar a probabilidade de erros em dados de observações experimentais. Mas outros tópicos, como por exemplo a demografia, também o levaram para esse campo. Assim, de um conjunto de memórias ligadas ao tema, a primeira de 1774, resulta em 1812 o clássico

Théorie analytique des probabilités.

Esta obra, além de reunir e sistematizar boa parte do que era previamente conhecido sobre o assunto, traz contribuições próprias de Laplace, muitas das quais serviram de fonte até para avanços em outros campos da matemática, como a idéia de Função Geradora e a Transformada de Laplace. Um dos pontos altos do livro é a aplicação da probabilidade ao método dos quadrados mínimos, justificando a conveniência de seu uso.

Como astrônomo, a teoria das probabilidades não era um fim para Laplace, mas apenas um meio. Mesmo assim ele é, sem dúvida, um dos grandes nomes desse campo que com tanto talento ajudou a criar.

Laplace acreditava num determinismo absoluto: “Uma coisa não pode começar a ser sem uma causa que a produza” e afirma que “a probabilidade é relativa em parte à nossa ignorância, em parte aos nossos conhecimentos”. De acordo com Coutinho:

Laplace desenvolveu seu modelo matemático baseando-se em dez princípios dispostos como axiomas e definições, traduzindo sua visão “pascaliana” e, utilizando os dois primeiros, corrigiu o exercício de D’Alembert, “Cruz ou Cunho” ("cara ou coroa") com dois lançamentos. Vejamos então os dois princípios.

Primeiro princípio: (a probabilidade) é a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Segundo princípio: mas isto supõe os diversos casos igualmente possíveis. Se não o são, determina-se primeiro suas possibilidades respectivas, cuja justa apreciação é um dos pontos mais delicados da teoria do acaso. Então, a probabilidade será a soma das possibilidades de cada caso favorável.

Em seu sexto princípio, Laplace reflete sobre as probabilidades condicionais e enuncia a fórmula impropriamente devida a Bayes. Com Laplace e sua Teoria Analítica da Probabilidade, tem impulso o desenvolvimento do cálculo probabilístico que, no entanto, se deparou com os mesmos paradoxos já existentes além de outros novos devidos à larga utilização, pelos matemáticos, do infinito e das passagens ao limite sem embasamento suficiente. (COUTINHO, 1994).

A teoria das probabilidades deve mais a Laplace que a qualquer outro matemático. Segundo Laplace, a teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números, mas sua obra Théorie analytique mostra a mão de um mestre da análise que conhece seu cálculo avançado.

Entre as muitas coisas a que Laplace chamou a atenção em sua Théorie

Analytique foi o cálculo de π através do problema da agulha de Buffon que tinha sido praticamente esquecido por trinta e cinco anos. Esse problema é conhecido às vezes como problema da agulha de Buffon-Laplace, pois Laplace estendeu o problema original a um reticulado de duas coleções perpendiculares entre si de retas paralelas eqüidistantes.

Laplace também tirou do esquecimento o trabalho de Thomas Bayes sobre probabilidade inversa. Em Théorie Analytique também se encontra a teoria dos mínimos quadrados, estudada por Legendre, juntamente com uma

prova formal que Legendre não dera. Essa obra contém ainda a Transformada de Laplace, muito útil no estudo das equações diferenciais.

2.2. A visão freqüentista: A lei dos Grandes Números

Importantes campos novos da matemática, como o Cálculo, a Geometria Analítica e a Teoria das Probabilidades, despontaram em sua forma moderna no século XVII. Mas, obviamente, considerando inclusive o estágio da matemática na época, de maneira incipiente e até meio tosca. Explorar as potencialidades desses campos e fundamentá-los seria uma tarefa longa. E já no século XVII esse trabalho se inicia revelando nomes de grande talento matemático, como os irmãos Jacques Bernoulli (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748), da Basiléia, na Suíça. (BOYER, 1996, p. 306).

Dentre as múltiplas contribuições de Jacques Bernoulli à Matemática, tal -vez a que o tenha tornado mais conhecido seja seu livro Ars conjectandi (A arte de conjecturar) no qual trabalhou cerca de 20 anos.

A obra Ars conjectandi está dividida em quatro partes. Na primeira, reproduz a breve introdução de Huygens ao assunto. A segunda é um apanhado geral dos resultados básicos sobre permutações e combinações. Nela figura inclusive a primeira demonstração correta (por indução) do teorema binomial para expoentes positivos. A terceira parte da obra apresenta 24 problemas sobre jogos de azar muito populares na época. A última termina com o célebre “Teorema de Bernoulli” ou “Lei dos grandes números” (Jacques não viveu para incluir nela as aplicações à economia e à política que tinha em vista).

A terceira e a quarta partes da Ars conjectandi são dedicadas principalmente a problemas que ilustram a teoria das probabilidades. Em nosso estudo histórico, pudemos observar como Bernoulli apresenta a definição freqüentista de probabilidades (capítulo IV – p.38), a "Lei dos Grandes Números" de Bernoulli, que em linguagem moderna pode ser traduzida por:

"Se p é a probabilidade de um evento, se m é o número de ocorrências do evento em n experiências, se ∈∈∈∈ é um número positivo arbitrariamente pequeno, e se P é a probabilidade de que a desigualdade | m/n – p | < ∈∈∈∈ esteja satisfeita, então lim P = 1." (B0YER, 1996, p. 308)

Convém salientar ainda que à Ars conjectandi está anexado um longo artigo sobre séries infinitas.