Os critérios de Mitchelmore

Michael Charles Mitchelmore é professor do Departamento de Educação da Macquarie University, Sidney, Austrália e até dezembro de 2009 assumiu a função de diretor do CRiMSE – Centre for Research in Mathematics and Science Education.

Segundo Mitchelmore (1980), embora os professores percebam as dificuldades dos alunos em desenhar figuras do espaço, esse fato recebe pouca atenção do sistema educacional, possivelmente devido à falta de um adequado quadro avaliativo dos desenhos dos alunos.

Mitchelmore (197814, apud MITCHELMORE, 1980), dando continuidade às investigações de Lewis e Livson (1967)15, descreve um sistema de classificação dos desenhos em perspectiva de determinadas figuras do espaço (cubo, paralelepípedo, cilindro, pirâmide de base quadrada) em estágios de desenvolvimento. Em sua pesquisa, Lewis e Livson (1967, apud MITCHELMORE, 1980) usaram um procedimento de grupo com crianças californianas para obter desenhos de um cubo, uma pirâmide triangular, um prisma pentagonal e um cilindro. Mitchelmore (1978, apud MITCHELMORE, 1980) usou testes individuais com alunos jamaicanos, trabalhando com desenhos de prisma retangular, cilindro, pirâmide de base quadrada e cubo. As duas investigações independentes chegaram a sistemas muito semelhantes para a classificação de desenhos em estágios de desenvolvimento (MITCHELMORE, 1980).

Em seu trabalho, Mitchelmore (1978, apud MITCHELMORE, 1980) descreve um sistema de classificação dos desenhos, feitos em perspectiva das figuras do espaço supracitadas (cubo, paralelepípedo, cilindro, pirâmide de base quadrada), em estágios de desenvolvimento. O investigador propõe a existência de quatro estágios de desenhos representativos de imagens em profundidade.

Estágio 1 – Esquemático plano. A figura 3D é representada por uma de suas faces desenhada ortogonalmente. Não se percebe profundidade alguma nas representações.

Estágio 2 – Esquemático espacial. Várias faces das figuras são representadas ortogonalmente no desenho e, às vezes, as faces ocultas são incluídas. As representações continuam não dando a sensação de profundidade.

Estágio 3 – Pré-realista. Os desenhos mostram tentativas de representar os corpos 3D de

uma maneira realista e dotá-los de profundidade, ainda que sem consegui-lo plenamente. Esse estágio está dividido em dois subestágios, cuja diferença está na perfeição dos desenhos quanto à sua tridimensionalidade.

14 _{Mitchelmore, M. C. Developmental stages in children's representation of regular solid}

figures. Journal of Genetic Psychology, 1978, p.229-239.

15 _{Lewis, H. P., & Livson, N. Correlates of developmental level of spatial representation in}

Estágio 4 – Realista. Arestas paralelas no espaço são representadas por linhas quase paralelas no papel. Os desenhos são bastante corretos e seguem, ainda que seja aproximadamente, regras de desenhos em perspectiva.

Alguns desenhos típicos de cada estágio são mostrados na Figura 13.

Figura 13. Desenhos típicos dos estágios de desenvolvimento representacional (MITCHELMORE, 1980, p. 84)

Podemos perceber que no Estágio 1, o sujeito desenha como se não percebesse que uma figura 3D apresenta diferentes aspectos em diferentes posições no espaço (propriedade projetiva). Os desenhos representam apenas uma das faces do sólido. Já a produção de um desenho no Estágio 2 indica que a pessoa passou a aceitar que a natureza sólida de uma figura espacial exige a representação de diversas faces. Inicia-se a representação de propriedades projetivas, mas faces ocultas são mostradas e desenhadas ortogonalmente. No Estágio 3, ocorre o acesso final ao espaço projetivo: apenas faces visíveis aparecem no desenho e algumas faces são distorcidas de sua forma ortogonal, a fim de mostrar a profundidade. Finalmente, no Estágio 4,

[...] os alunos aprendem que o método mais fácil para se fazer um desenho satisfatório de figuras do espaço é representar todas as arestas paralelas por linhas paralelas no papel e representar uma face ortogonalmente somente se for no plano frontal [...] . Nenhuma das figuras do espaço representadas na Figura 13 requer o uso de uma perspectiva verdadeira para sua representação fiel, e tais desenhos são, de fato, raramente feitos. Seja qual for o método utilizado, um desenho do Estágio 4 indica que o sujeito estabeleceu um quadro de referência Euclidiano dentro do qual representa relações tridimensionais espaciais (MITCHELMORE, 1980, p.85).

Dando continuidade ao seu trabalho e tendo como objetivo testar a generalidade de classificação elaborada em 1978, Mitchelmore (1980) realiza novo estudo, agora com alunos de um centro urbano no meio oeste dos Estados Unidos. Para tal, foi utilizada “(a) validação cruzada do sistema de classificação original em amostra culturalmente diferente e (b) previsão de estágios que seriam observados nos desenhos de diferentes figuras regulares no espaço” (p.86).

Definiu-se que o sistema de classificação teria adequada validação cruzada se ele pudesse ser aplicado com segurança aos desenhos a partir de uma nova amostra e se a consistência interna se mantivesse elevada. Os estágios previstos para a nova figura seriam considerados confirmados se seus desenhos pudessem ser classificados com segurança por referência ao desenho previsto e a descrição geral de cada estágio. Assim, em seus estudos com os alunos americanos, Mitchelmore (1980) introduziu o trabalho com prisma triangular. Os desenhos típicos previstos por Mitchelmore para cada estágio de representação do prisma triangular são apresentados na Figura 14.

Figura 14: Desenhos previstos para os estágios de representação do prisma triangular (MITCHELMORE, 1980, p.88)16

Os resultados mostraram que a maioria dos desenhos enquadrou nos tipos identificados no estudo anterior e mostraram, também, adequada validade intercultural no sistema de classificação original.

No que diz respeito à nova figura espacial escolhida, o prisma triangular, os resultados mostraram que as classificações para os desenhos representativos desse sólido geométrico podiam ser consideradas como provenientes do mesmo domínio que as classificações dos outros quatro sólidos, validando assim a sequência de estágios prevista (Figura 14).

Os resultados das pesquisas sugerem que os alunos têm maior facilidade em desenhar o cilindro e maior dificuldade em desenhar o paralelepípedo, ficando o cubo, a pirâmide e o prisma em uma faixa intermediária de dificuldade, apresentando esses três últimos uma diferença insignificante entre os graus de dificuldade.

Posteriormente, outras investigações e experimentos confirmaram os resultados de Mitchelmore, como por exemplo, Gaulin (1985), Bem-Chaim, Lappan e Houang (1989), Woodrow (1991) e Guillén et al. (1992) (cf. GUTIÉRREZ, 1998a). A Figura15 mostra exemplos, apresentados por Gutiérrez (1998a), de representações de pirâmide quadrangular, paralelepípedo, cubo e octaedro feitas por outros alunos nos experimentos mencionados neste parágrafo, confirmando os resultados de Mitchelmore.

16 _{Acrescentamos o desenho do triângulo no Estágio 1, pois, apesar de não aparecer na ilustração}

original (MITCHELMORE, 1980, p.88), no texto é explicitado que “era previsível que os desenhos do Estágio 1 mostrassem um triângulo ou um retângulo [...]” (p.88).

Figura 15. Desenhos de experimentos que confirmam os resultados de Mitchelmore (GUTIÉRREZ, 1998a, p.205)