Os problemas de programação linear inteira

max f x x( ); ∈S = −min −f x x( ); ∈S .

Demonstração Seja x^*∈S um maximizador global do problema

{ }

max f x x( ); ∈S .

Para todo x∈S temos, pela definição de x^*, max{f(x)} = f(x^*) > f(x), que é equivalente a, ( )

f x

− ≥ −f(x^*) = min

{

−f x( )

}

. Portanto, para todo x∈S, max{ ( )}f x = −min

{

−f x( )

}

, finalizando a demonstração. □

Agora, enunciamos o algoritmo fundamental da otimização combinatória. Considere o problema (OC). Avalie f(x), para todo x∈S. Escolha x^*∈S tal que f(x^*) < f(x), para todo

x∈S.

Na próxima seção vamos enunciar o problema de programação linear inteira que é um problema de otimização combinatória mais modesto. Daí, veremos a dificuldade de implementar esse algoritmo fundamental mesmo com o desempenho dos computadores atuais.

5.2 Os problemas de programação linear inteira

Consideremos os números inteiros m e n, tais que n > m > 0. Dados uma matriz numérica com coeficientes reais A, m×n, e vetores b∈R^m e c∈Rⁿ, o problema de programação linear inteira é o seguinte problema de otimização, usualmente denominado problema primal:

( )

0 . T n P minimizar c x sujeito a: Ax b x x Z ≤ ≥ ∈

Por outro lado, o problema de programação linear inteira 0-1 (binário) é o seguinte problema de otimização:

( )

{ }

0, 1 . T n B minimizar c x sujeito a: Ax b x ≤ ∈

Em ambos os problemas (P) e (B), a função objetivo é definida pela função linear

T

xac x; o valor da função objetivo definido pelo número c x^T ; o conjunto viável definido pelo conjunto

P =

{x∈Zⁿ;Ax≤b x, ≥0}, ou

B =

{x∈{0, 1} ;ⁿ Ax≤b};

um ponto viável definido como um elemento do conjunto viável; o conjunto de soluções ótimas definido pelo conjunto

P

^* = {x^*∈

P

; c^Tx^*< c^Tx, para todo x∈

P

}, ou

B

^* = {x^*∈

B

; c^Tx^*< c^Tx, para todo x∈

B

};

o minimizador global é chamado solução ótima; e o problema (P) é inviável quando

P

é vazio, e o problema (B) é inviável quando quando

B

é vazio.

A proposição a seguir mostra que os problemas de PLI (P) e (B) são equivalentes. A demonstração pode ser encontrada na página 2 em [4]. Denotamos o número  _{ }r como o

maior inteiro menor do que ou igual ao número real r.

Proposição 5.2 Suponha que no problema (P) cada x_j ≤u_j, com u_j >0, j = 1, ..., n. Então, o problema de PLI (P) é equivalente ao problema de PLI 0-1 (B).

Demonstração: considere j = 1, ..., n. Seja o problema (P) com o acréscimo de n restrições

j j

x ≤u . Para cada x , ou substitua-os por _j

1 1 ... 1 , {0, 1} j u j kj j j kj k x t u u t     =   =

∑

≤ + + =_{ }≤ ∈ ,

retirando cada restrição x_j ≤u_j, ou, como todo inteiro pode ser escrito na base 2, substitua-os por

0 2 j l k j kj k x t = =

∑

, {0, 1} kj t ∈ e ¹ 0 min{ ; 2 2 1 } j j l l k j j k l z Z₊ ⁺ u = = ∈

∑

= − ≥ ,

com as novas restrições

0 2 j l k kj j k t u = ≤

∑

no lugar de cada x_j ≤u_j. Portanto, por um lado obtemos (B) e, por outro, x_j∈{0, 1, ..., _{  . Isto finaliza a demonstração.} u_j } _□

A proposição a seguir mostra que pensar em uma relaxação [0, 1] para o problema de PLI (B) pode ser mais interessante do que reescrevê-lo como um problema de PLI (P). a demonstração pode ser encontrada na página 457 em [9]. Denotamos o vetor de uma dimensão apropriada por e.

Proposição 5.3 Toda solução viável para o problema de PLI 0-1 (B) é um ponto extremo do

conjunto

{ ⁿ; , }.

T = ∈x R₊ Ax≤b x≤e

Demonstração: Suponha por contradição que x não é um ponto extremo de T. Então, por

definição de ponto extremo, para

1 2

1 1

2 2

x= x + x ,

com x x¹, ²∈T e x¹≠x², segue-se que 0<x_j <1 para algum j, j = 1, ..., n, isto é, x∉{0, 1}ⁿ; contradição. Isto finaliza a demonstração. □

Na capa do livro de Les Foulds [5] tem uma figura (errada!) cujo enunciado é o seguinte, conforme página 83 de seu livro:

maximizar x1 + x2 sujeito a: 15x1 + 12x2 < 85

5x1 > 11

x1, x2 > 0

Relaxando esse problema para obtermos um problema de programação linear, isto é, substituímos as variáveis de valores inteiros por valores reais, obtemos a solução ótima para o problema de programação linear

(

1 2

)

11 13 , , , 5 3 x x   =   

com valor da função objetivo igual a ⁹⁸

15^{. Observe que se conseguíssemos uma solução inteira} teríamos resolvido o problema de programação linear inteira em tempo polinomial (o que seria uma maravilha!). Uma pergunta natural, mas não intuitiva: por que não arredondar? Porque se assim o fizermos obteremos as possíveis soluções, baseadas em

1 11 2, 2 5 x = = e ₂ ¹³ 4, 3 3 x = = , que são (2, 4), (3, 4), (2, 5) ou (3, 5), mas as soluções ótimas são

(3, 3) e (4, 2),

com valor ótimo da função objetivo igual a 6. Quer dizer, arredondamento nem sempre funciona.

A propósito, para esse problema simples, mas bastante ilustrativo, temos oito soluções viáveis para duas variáveis. Tudo bem, testá-las de acordo com o algoritmo fundamental não é nem difícil e nem demorado, mas imagine um número bem maior, de acordo com problemas práticos, utilizando um computador atual. Definitivamente não é operacional.

CAPÍTULO VI CONCLUSÕES

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre programação linear contínua e inteira. Vimos que o método simplex, para solução de problemas de programação linear apresenta complexidade de tempo exponencial para o pior caso, e portanto não é um “bom” algoritmo. Todavia, não nos atentamos à complexidade de tempo média deste algoritmo. Por isso, geralmente, na prática, o método simplex efetua um número de iterações menor do que o efetuado no exemplo de Klee e Minty. Para demonstração que o método simplex não tem tempo polinomial no pior caso usamos três lemas e um teorema, conforme Papadimitriou e Steiglitz.

Problemas de programação linear inteira e programação linear inteira 0-1 também são difíceis de serem resolvidos, mesmo com o desempenho dos computadores atuais.

Este estudo contribuiu não apenas para o meu aprendizado, enquanto estudante, mas também para o meu amadurecimento como pesquisador, mesmo que ainda nos primeiros passos.

Finalmente, a banca para defesa deste trabalho foi composta pelos professores: professor Dr. Marco Antonio Figueiredo Menezes (Orientador), professor Esp. Jeová Martins Ribeiro e a professora Ma. Bercholina Honorato Alves.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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10. PAPADIMITRIOU, C. H. and STEIGLITZ, L. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. New Jersey: Prentice-Hall, 1982.

11. RAVINDRAN, A.; PHILLIPS, D.T. and SOLDBERG, J.J. Operations research: principles and practice. 2. ed. John Wiley and Sons, 1987.

12. SALKIN, H. M. and MATHUR, K. Foundations of Integer Programming. New York: Elsevier, 775 p., 1989.

13. TOSCANI, Laira V. e VELOSO, P. A. S. Complexidade de Algoritmos. Porto Alegre: Sagra-Luzzato, 1^a edição, 2001.

No documento UM PEQUENO ESTUDO SOBRE OTIMIZAÇÃO LINEAR (páginas 45-51)