Os problemas de estrutura aditiva e multiplicativa presentes nos instrumentos de

Referente aos procedimentos de solução adotados pelos estudantes conforme se pode observar nas Tabelas 9 e 10, os participantes deste estudo, em sua grande maioria, fizeram uso de uma das quatro operações aritméticas como principal estratégia para solucionar os problemas. Entretanto, observa-se também que alguns alunos se valeram de outros procedimentos e representação gráfica (não numérica) na solução dos problemas, tais como, a representação pictográfica, a icônica e o uso de esquemas.

Salienta-se novamente que na aplicação dos instrumentos de avaliação (pré-teste e pós- teste) não houve interferência do pesquisador e o recurso da comunicação (linguagem oral) para que os estudantes pudessem expressar e/ou justificar verbalmente a maneira escolhida

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para solucionar o problema, exprimir suas dúvidas, trocar informações e pontos-de-vista. Portanto, as análises aqui adotadas possuem limitações, pois tão importante quanto à análise dos procedimentos de solução e suportes de representação gráfica são as justificativas dos estudantes sobre suas ações.

Como pontuou Vergnaud (1979, p. 264), quando o aluno usa um certo procedimento para solucionar um problema, ela está usando um “teorema-em-ação”o qual ainda não é ainda um teorema. Quando o aluno é capaz de repertir verbalmente um teorema, isto não é necessariamente um teorema em ação. Segundo o autor, “não existe pensamento operacional sem a coordenação desses dois critérios”.

Ainda, para Vergnaud (1990b) o funcionamento cognitivo do sujeito em situação depende do estado de seus conhecimentos, implícitos ou explícitos. Segundo o autor, é necessário portanto conceder uma grande atenção ao desenvolvimento cognitivo, a suas rupturas, a complexidade relativa a classe de problemas, procedimentos, representações simbólicas, a análise dos principais erros e das principais descobertas.

Além disso, em relação ao tipo de procedimentos e formas de representação gráfica adotados pelos participantes, é preciso considerar que os problemas apresentados no pré-teste e pós-teste possuíam números relativamente de valores baixos25, o que pôde ter influenciado na escolha de determinado procedimento pelo aluno.

Neste sentido, Moreno (2006) assinalou que, para quantidades de valores baixos, procedimentos icônicos e pictográficos são absolutamente funcionais. Em contrapartida, o autor ressaltou que se aumentasse a quantidade em jogo, o aluno, com os limites de seu conhecimento, poderia buscar outros procedimentos.

Nesta investigação, notou-se que, alguns estudantes além de usar símbolos para representar quantidades utilizaram também, para solucionar o mesmo problema, o uso de um

sistema simbólico, o sistema de numeração, para quantificar, calcular e por fim definir a

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Neste estudo, e de acordo com Vergnaud (1979), as análises apresentadas se portam, principalmente, ao cálculo relacional e não a ao cálculo numérico. Entretanto, isto não significa que a “habilidade do cálculo numérico”, ou a “técnica operatória” não sejam importantes na solução correta dos problemas. Ressalta-se que, em relação às dificuldades apresentadas pelos participantes deste estudo, as mesmas estão diretamente relacionadas à compreensão do enunciado dos problemas, a escolha da operação correta e ao cálculo relacional e não necessariamente ao cálculo numérico em questão.

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resposta numérica que responderia adequadamente ao problema.

Nesse sentido, Nunes et al. (2002), pontuaram que nos estudos de Vigotski percebe-se claramente a importância atribuída por ele à coordenação entre este tipo de atividade prática desenvolvida pelo aluno (o uso dos símbolos) e os sistemas simbólicos convencionais adotados socialmente em determinada cultura.

Sabe-se que os estudantes fazem uso de diversos tipos de representação, não somente para comunicar para outros a maneira como solucionaram o problema. As representações também ajudam os alunos a pensar, a lembrar, a guardar informação e a calcular. Neste sentido, Panizza (2006, p. 25) salientou que “as representações são um meio para a resolução do problema e desempenham funções diferentes da função de comunicação para outros de algo pensado anteriormente”.

Nesta mesma direção, Vergnaud (1998) afirmou que a representação não é uma coisa estática, mas um processo dinâmico, já que pode demonstrar como o caminho da ação é organizado. Assim sendo, além de expressar a forma de pensar do estudante, a representação pode fazer parte do próprio raciocínio, facilitando também a compreensão do problema.

Como assinalaram Spinillo e Lautert (2006, p. 68) “a representação é, portanto, uma via de mão dupla que pode tanto expressar como constituir as formas de raciocinar das crianças na resolução de uma dada situação”.

Na análise dos protocolos, verificou-se que, para uma mesma tarefa, os alunos fizeram uso de uma variedade de procedimentos de solução. Como salientou Vergnaud (1979), não existe um único caminho para se chegar à resposta, entretanto, os diferentes procedimentos, errados ou certos, não são equivalentes do ponto de vista cognitivo.

Assim, por meio dos diversos exemplos apresentados, evidenciou-se que existem inúmeras maneiras de solucionar problemas matemáticos, os quais nem sempre correspondem a aqueles privilegiados pela escola. Os professores, cientes de tamanha diversidade de “modos de pensar”, poderão propor diferenciadas situações que permitam aos alunos expressar seus conhecimentos, sendo ponto de partida para discussão, retomada e ensino de conceitos complexos inseridos no campo das estruturas aditivas e multiplicativas.

Quanto às operações aritméticas necessárias na solução dos problemas, por meio das análises dos dados dos instrumentos de avaliação do pré-teste e pós-teste, constatou-se que,

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em geral, os estudantes não tiveram dificuldade quanto à realização do cálculo numérico. Para os participantes deste estudo, notou-se que, em geral, as dificuldades apresentadas pelos alunos referem-se ao cálculo relacional (relativo à compreensão das relações numéricas envolvidas) e não ao cálculo numérico (relativo ao uso do algoritmo).

Segundo Pessoa (2002) a solução correta dos problemas exige do estudante a competência para a realização do cálculo relacional o qual capacita o aluno na escolha da operação adequada ao que o problema propõe para que depois possa haver a realização do

cálculo numérico correspondente, ou seja, descobrir um caminho eficaz para solucionar os

problemas e, quando necessário, no percurso da solução, identificar a operação aritmética a ser utilizada de acordo com o contexto ou situação e realizar a mesma.

Enfim, no que diz respeito ao cálculo e a realização correta dos algoritmos das operações, percebe-se que elas só fazem sentido se associadas à competência para identificar qual, ou quais são as operações necessárias para solucionar um determinado problema. Em última instância, pode-se dizer que é o problema que justifica a escolha ou a necessidade de uma determinada operação, ou seja, uma situação problema que precisa ser solucionada é que gera a necessidade de um procedimento matemático capaz de solucioná-la.

Ainda, na solução dos problemas pelos estudantes, é preciso considerar a necessidade de compreensão do enunciado. Neste sentido, Brito (2006) salientou que este tipo de tarefa exige tanto a habilidade verbal (necessária à leitura e à compreensão do problema) quanto à habilidade matemática (compreender a natureza matemática do mesmo) já que, a primeira etapa da solução é, basicamente, ligada à compreensão verbal do enunciado do problema. Para a autora, somente após a compreensão do enunciado o estudante consegue entender a estrutura matemática subjacente à história, a linguagem, ao revestimento ou envoltório do problema.

Assim, e de acordo com Brito (2006), a habilidade verbal é essencial para a compreensão do envoltório do problema, enquanto que a habilidade matemática é necessária para a percepção do espaço do problema, quais algoritmos são exigidos e quais os resultados são admitidos.

Desta forma, na solução dos problemas, uma leitura compreensiva do enunciado pode favorecer a execução da tarefa de forma eficaz.

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