Os Problemas Utilizados e sua Análise a priori

Os problemas selecionados para a pesquisa são novamente apresentados, juntamente com sua análise a priori.Também apresentamos algumas estratégias que poderiam ser utilizadas pelos sujeitos durante a resolução dos problemas. As estratégias foram descritas por nós com base em nosso contato diário com nossos alunos em sala de aula.

1º Problema:

A soma de três números consecutivos é 63. Quais são esses três números?

Para a resolução deste problema, os alunos deveriam não só compreender o seu enunciado - aí incluídos os significados das palavras que o compõem – como também ter disponíveis os conhecimentos matemáticos necessários para sua resolução.

Neste problema era importante que os alunos conhecessem o significado da palavra consecutivo quando referida a um contexto (números consecutivos), bem como compreender que três números consecutivos só terão sentido no conjunto dos números inteiros, de tal forma que o segundo número é uma unidade maior que o primeiro e, ao mesmo tempo, uma unidade menor que o terceiro. Uma outra necessidade seria o conhecimento do significado da palavra soma, que os alunos deveriam relacionar à operação adição (ao resultado da operação adição). Neste caso, a não compreensão dos termos “números consecutivos” e “soma” impossibilitaria a resolução deste problema.

Quanto à resolução do problema propriamente dito consideramos que os alunos poderiam recorrer a uma das estratégias seguintes:

Estratégia 01:

O aluno poderia ir tomando os números de três em três, somando-os até chegar aqueles cuja soma é 63, ou seja, poderia resolver o problema por tentativas de forma aleatória, sem qualquer parâmetro a não ser o fato de que a soma dos três números deveria ser 63.

Por exemplo: 15 + 16 + 17 = 48, 23 + 24 + 25 = 72, 19 + 20 + 21 = 60, 20 + 21 + 22 = 63.

Neste caso, os conhecimentos necessários seriam o significado da expressão “números consecutivos” e o algoritmo da adição.

Estratégia 02:

Os alunos poderiam dividir 63 por 3, por compreenderem que, pelo fato de os números serem consecutivos, o resultado estaria próximo do quociente da divisão, de modo que pela divisão obteriam um número que poderia ser um dos números procurados e os outros estariam próximos a ele. 63 3 6 03 21 03 0

Os conhecimentos necessários para o uso desta estratégia, seriam o algoritmo da divisão e o que sucessor e antecessor de um número inteiro.

Estratégia 03:

A terceira estratégia consistiria na utilização da linguagem algébrica para representar a situação problema. Assim os números poderiam ser indicados por x, x + 1 e x + 2 ou x – 1, x, x + 1, e sua soma seria 63.

x + x + 1 + x + 2 = 63 3x = 63 – 1 – 2 3x = 60 3 3 x = 20

Como 20 + 21 + 22 = 63, os três números consecutivos seriam 20, 21 e 23.

Consideramos, que para o uso desta terceira estratégia, os alunos deveriam ter conhecimentos como: saber representar, por meio de linguagem algébrica, os elementos envolvidos no enunciado (representação de números consecutivos), saber o significado de uma equação, saber resolver uma equação de primeiro grau com uma incógnita, bem como ser capaz de interpretar a solução para fornecer a resposta pedida no enunciado.

Entretanto, esta estratégia poderia ser utilizada somente por alunos de 8ªsérie, e não pelos alunos de 5ªsérie, dado que estes ainda não tiveram contato com a linguagem algébrica.

Estratégia 04:

Uma outra estratégia que resolveria a questão seria o uso da soma dos termos de uma Progressão Aritmética Finita (PA), uma vez que o problema trata de uma seqüência numérica cuja razão é uma unidade.

Se conhecida a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética finita, Sn = (a1 + an) . n , a solução seria 2 Resolução: 63 = [a1 + (a1 + 2)] . 3 2 126 = [2a1 + 2] . 3 126 = 6a₁ + 6 126 – 6 = 6a1 120 = 6a1 a₁ = 20

Então, 20 seria o primeiro termo dessa PA e os outros seriam 21 e 22. Logo, os números consecutivos são 20, 21 e 22.

No entanto, consideramos que nenhum aluno, tanto de 5ª série como de 8ª série, fariam uso de tal estratégia pelo fato desta envolver conhecimentos e procedimentos matemáticos que, habitualmente, são abordados somente no Ensino Médio.

2º Problema

Com R$ 8,00, posso comprar dois gibis, três pacotes de figurinhas e ainda sobram R$ 2,00 de troco. O gibi custa R$ 1,00 a mais do que o pacote de figurinhas. Quanto custa o gibi? E cada pacote de figurinhas?

Para a resolução deste problema, os alunos teriam que, em primeiro lugar, compreender qual foi o valor efetivamente gasto, uma vez que de oito reais sobraram dois reais de troco. Assim

sendo a quantia realmente utilizada para a compra dos gibis e dos pacotes de figurinhas foi R$ 6,00.

Uma outra questão com que os alunos teriam de lidar é com a compreensão lingüística (o significado) da informação: “cada gibi custa um real a mais que o pacote de figurinhas”. Eles teriam que compreender que há uma comparação entre os preços dos gibis e dos pacotes de figurinhas e que, como os 5 objetos não têm o mesmo valor, não se poderia fazer uma divisão por 5.

Para poder dividir por 5 seria necessário que a diferença entre os preços fosse eliminada, ou seja, que o valor pago a mais para cada gibi fosse tirado da quantia gasta. Este é o raciocínio de vários problemas mais simples e com a mesma estrutura de resolução que são propostos aos alunos em sala de aula.

Em todas as tentativas o aluno não poderia perder de vista que há uma diferença entre os preços do gibi e das figurinhas e que só poderiam gastar R$ 6,00.

Para sua resolução os alunos poderiam fazer uso de uma das estratégias aqui colocadas:

Estratégia 01:

Após subtrair os dois reais de troco e perceber que tinham R$ 6,00 para comprar 5 objetos (os dois gibis e os três pacotes de figurinhas), eles deveriam dividir R$ 6,00 por 5, de modo que o quociente obtido na divisão servisse como ponto de partida para se chegar ao resultado esperado. Para o uso da Estratégia 1, o aluno deveria saber usar o algoritmo da divisão, em um caso em que quociente não é um número inteiro.

6,00 5 5 1,20

10 10 00

A partir desse resultado e reconhecendo que os objetos não têm todos o mesmo preço (R$ 1,20), o aluno iria retirando centavos do preço das figurinhas e acrescentado no preço do gibi, e controlando o resultado (somando o preço de dois gibis com o de três pacotes de figurinhas) até chegar a valores que resolvem, de fato, o problema.

GIBI R$ 1,20 FIGURINHAS R$ 1,20 GIBI R$ 1,35 FIGURINHAS R$ 1,10 GIBI R$ 1,50 FIGURINHAS R$ 1,00 GIBI R$ 1,65 FIGURINHAS R$ 0,90 GIBI R$ 1,80 FIGURINHAS R$ 0,80

Por certo esta estratégia, requer do aluno grande atenção e controle sobre essa ação de retirada e acréscimos, principalmente pelo fato de que o número de gibis não é igual ao número de pacotes de figurinhas. Uma outra dificuldade vai residir no fato de que os valores dos objetos não são números inteiros.

Estratégia 02:

Os alunos também poderão resolver o problema, subtraindo no início os dois reais a mais que custam os dois gibis, considerando a partir daí que cada objeto comprado custe o mesmo preço.

6,00 GIBI FIGURINHA - 2,00 4,00 4,00 5 0,80

Como o gibi custa um real a mais, então o preço de cada gibi será:

Preço = 1,00 + 0,80

Logo, o preço de cada gibi é igual ao preço de um pacote de figurinhas mais um real ou R$ 1,80.

E o preço de cada pacote de figurinha:

E cada pacote figurinhas custa R$ 0,80.

Esta é uma estratégia que pode ser utilizada quando a criança faz ligação desta questão com a seguinte, por exemplo, “Comprei uma camisa e um par de meias por R$ 30,00 Se a camisa

custou R$ 10,00 a mais que o par de meias, quanto custou cada peça?”, pois ambas tem a ambas têm a mesma estrutura de resolução.

Estratégia 03:

Os alunos poderiam também utilizar procedimentos algébricos, representando os dados por meio de uma equação de 1º grau com uma incógnita ou de um sistema de equações;

Se x representa o preço do pacote de figurinhas e x+1, o de um gibi, poder-se-ia representar a situação problema por

3x + 2(x + 1) = 6,00. Resolvendo a equação: 3x + 2x + 2 = 6,00 5x = 6,00 – 2,00 5x = 4,00 5 5 x = 0,80

Para o uso desta estratégia, além, é claro do conhecimento da linguagem matemática, o aluno ainda deveria saber interpretar o resultado obtido na resolução da equação, ou seja saber quem ele designou por x no início da resolução.

Qualquer que seja a estratégia utilizada, a familiaridade do aluno com representações pictóricas poderia ser um apoio a mais para a compreensão e a resolução do problema.

3º Problema

Todos os dias José faz um percurso de 850m. Desse percurso, 45% está asfaltado.

a) Quantos metros estão asfaltados?

b) Quantos por cento do percurso não estão asfaltados?

c) Quantos metros não estão asfaltados?

Para resolver este problema, os alunos deveriam conhecer, além do significado da palavra percurso, algumas noções sobre porcentagem (implicitamente de proporção), conteúdo este abordado desde a terceira série do Ensino Fundamental. Seria também fundamental que os alunos compreendessem que o percurso inteiro corresponde a 100% (de que se segue que 850

corresponde a 100% do percurso).

Colocamos aqui algumas estratégias de resolução que poderiam ser usadas na busca da solução da primeira questão deste problema, uma vez que, compreendida e respondida esta, bastaria o aluno usar a resposta encontrada para responder as demais, pois entre elas há uma relação de dependência.

Estratégia 01:

Para a resposta à primeira questão do problema, os alunos poderiam calcular a metade de 850 metros, dividindo-o por dois, que representaria 50% do percurso e perceber que 50% estaria bem próximo de 45%, uma vez obtido o 50% de 850 metros, bastaria calcular 5%. Para isso, calculariam primeiramente quanto é 10% de 850 metros e dividiram o resultado ao meio que representaria os 5%; em seguida, diminuiria o valor referente 5% do valor que representa os 50%, encontrado anteriormente. 850 2 Cálculo de 10% de 850 -8 425 05 - 4 10% de 850 = 85,0 10 -10 85,0 2 00 -8 42,5 04 -4 0 Cálculo da subtração 425,00 (50%) - 42,50 (5%)

382,50 m

Então 45% de 850 metros é 328,50 metros.

Estratégia 02:

Poderiam transformar 45% em fração :

45% = 45 100

e fazer o seguinte cálculo

45 de 850 = 850 : 100 = 8,50 x 45 = 382,50 100

encontrando a resposta da primeira questão: 382,50 metros.

Para usar esta estratégia os alunos deveriam saber que a porcentagem pode ser expressa em forma de fração, de modo que a questão se resumiria a calcular a parte do todo correspondente.

Estratégia 03 :

Poderiam também resolver a primeira questão deste problema usando o conhecimento matemático da porcentagem transformando 45% em um número escrito na forma decimal 45% = 0,45 em seguida fazer a multiplicação de 0,45 por 850, observe:

850 x 0,45 4250 3400 + 382,50

Nesta estratégia os alunos precisariam compreender que quarenta e cinco centésimos representa a mesma quantia que 45% de um inteiro e dominar o algoritmo da multiplicação com números decimais.

Estratégia 04 :

Os alunos poderiam também calcular 10% de 850 metros e soma-lo 4 vezes compreendendo que 45% é o mesmo que 4 vezes os 10% mais uma vez 5% que é a metade dos 10% já calculado. Calculando teriam: 10% d 850 = 85,0m 40% de 850m: 85 + 85 85 85 340

340 mais a metade de 85 que representa os 5% 85 2 8 42,5 05 4 10 10 00 então, 340 + 42,5 382,5 metros

Para utilizarem esta estratégia, os alunos precisam compreender que 45% é o mesmo que 4 vezes os 10% mais a metade de 10% ou seja decompor 45% em: 10% + 10% + 10% + 10% + 5%, além de saber como calcular 10% do todo.

Estratégia 05:

De forma semelhante à estratégia 04,os alunos poderiam calcular, primeiramente, 45% de 100m e multiplicar por 8 (ou somá-lo oito vezes); em seguida, dividir o valor correspondente a 45% de 100m por dois, para achar os 45% de 50m e, ao fim, somar os dois valores encontrados, como mostra o exemplo:

45% de 100m = 45m 45% de 50m = 45/ 2 = 22,50m

45 360,00 + 22,50 = 382,50 x 8

360

Assim chegariam ao resultado da questão, obtendo que 45% de 850m é igual a 382,50m.

Estratégia 06:

Poderiam também resolver a questão proposta usando regra de três, da seguinte forma:

Porcentagem Percurso 100 850 45 x 100 = 850 45 x 100x = 38250 100 100 x = 382,5 metros.

Consideramos que o uso da regra de três, só está ao alcance dos alunos de 8ª série uma vez que os alunos de 5ªsérie normalmente, ainda não tiveram acesso a este tipo de cálculo.

Estratégia 07:

Há também a possibilidade de resolução do problema usando a idéia de proporção.Como segue o exemplo: 45% = 100% x 850 100%x = 38250% 100% 100% x = 382,50 metros

Nestas duas últimas estratégias os alunos deveriam ter um maior conhecimento sobre proporção e regra de três e, portanto, poderiam ser utilizadas pelos alunos de 8ª série, uma vez que esses temas não são trabalhados nas séries iniciais.

4º Problema

O perímetro de um retângulo é 72cm. Sabendo que o lado maior é o dobro do menor encontre as medidas dos lados do retângulo.

Este problema tem, em seu enunciado, palavras que têm significados precisos no contexto matemático: perímetro, dobro, retângulo e medidas. Se esses significados não forem conhecidos, a resolução fica impossibilitada, ou seja, é necessário que o aluno tenha conhecimentos prévios em relação a esses significados para ele representar, de alguma forma, a relação quantitativa entre os elementos matemáticos que fazem parte do enunciado.

Além disso, o fato de o problema apresentar apenas um número no enunciado poderia dificultar sua resolução, uma vez que os alunos deveriam retirar dos dados os outros números a serem utilizados no cálculo.

A resolução deste problema requer que os alunos consigam representar, de alguma forma, a relação quantitativa entre os elementos matemáticos que fazem parte desse enunciado. Na resolução, poderiam utilizar apenas operações básicas da aritmética ou recorrer ao repertório algébrico para chegar à resposta solicitada.

Consideramos que os alunos poderiam recorrer a uma das estratégias para sua resolução:

Estratégia 01:

O aluno poderia dividir 72 por 4, e depois, por tentativas, procurar os números que obedecessem aos critérios do problema.

_ 72 4 4 18 _ 32 32 00 Lado maior: 18+18= 36 Lado menor: 9 + 9 = 18 54 Lado maior: 20+20= 40 Lado menor: 10+10= 20 60 Lado maior: 22+22= 44 Lado menor: 11+11= 22 66 Lado maior: 24+24= 48 Lado menor: 12+12= 24 72 Logo, o lado maior do retângulo mede 24 cm e o menor 12cm.

Para o uso desta estratégia o aluno deveria compreender que um retângulo tem 4 lados, sendo que dois deles possuem medidas que são iguais ao dobro da medida dos outros dois lados e dominar o algoritmo da divisão e da adição.

Estratégia 02:

Os alunos também poderiam fazer a representação do retângulo e, aleatoriamente, ir distribuindo os 72 cm nos lados, de maneira que a medida do lado maior tenha o dobro da medida do menor. 30 10 15 15 5 5 10 30 10 + 10 = 20 5 + 5 = 10 30 + 30 = 60 30 cm 15 + 15 = 30 90 cm 20 24 10 10 12 12 12 20 20 24 20+20 = 40 24 + 24 = 48 10 + 10 = 20 12 + 12 = 24 60 cm 72 cm

Logo, o lado maior mede 24 cm e o menor 12 cm.

Para o uso desta estratégia, os alunos deveriam conhecer a forma geométrica de um retângulo, bem como saber o que significam as palavras dobro e perímetro, dominar o algoritmo da adição e estar atentos para o controle do fato do lado maior ter medida igual ao da medida do lado menor.

Estratégia 03:

Há ainda a possibilidade de resolver este problema utilizando-se da linguagem algébrica, ou seja, os alunos precisariam representar a situação problema na forma de equação do 1º grau com uma incógnita e resolvê-la.

x 2x Lado maior: 2x Lado menor: x 2x + 2x + x + x = 72 6x = 72 6 6 x = 12

Desta forma, também chegariam ao resultado esperado: As medidas dos lados do retângulo são 24 e 12 cm.

No entanto, para o uso desta estratégia, os alunos deveriam saber representar a situação por meio da linguagem algébrica, saber resolver uma equação e saber interpretar o resultado obtido, para fornecer a resposta solicitada na questão.

A compreensão das mensagens escritas dos problemas e as conseqüentes abordagens adequadas (aqui chamadas de estratégias ou procedimentos) são dependentes do contexto verbal (lingüístico) e do contexto real (situação real subjacente), bem como dos conhecimentos prévios daqueles que tentam resolvê-lo.

Dessa forma, a complexidade envolvida no ato da resolução de problemas extrapola a questão da mera utilização ou não de certas estratégias. As origens das dificuldades maiores enfrentadas adentram outras esferas cognitivas.

4 OS RESULTADOS DA PESQUISA

Nesta seção apresentamos a descrição e a análise dos resultados¹⁰ obtidos na pesquisa, inicialmente para o Grupo I – alunos que cursam a 5ª série do Ensino Fundamental - e, depois, para o Grupo II – formado pelos alunos da 8ª série. Finalmente, apresentamos uma análise comparativa dos resultados de ambos os grupos.