Os significados e os invariantes combinatórios

O tripé base da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1986) indica como uma importante dimensão para a compreensão de um conceito as situações que dão significado ao conceito. Baseadas na Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1986), Pessoa e Borba (2007) classificam os significados combinatórios num agrupamento único, recomendando que sejam trabalhados ao longo de cada período de escolarização, mas variando o grau de dificuldade das situações propostas, sendo essa variação de dificuldade ligada à grandeza numérica para resolução do problema ou associada à quantidade de escolhas que deve ser realizada para a resolução.

As autoras, ao agruparem numa classificação única os quatro tipos de significados combinatórios, afirmam que há possibilidade do trabalho com todos eles desde os anos iniciais do Ensino Fundamental e baseiam sua afirmativa em resultados de estudos empíricos. Os quatro tipos de significados são:

o Produto cartesiano; o Combinação; o Arranjo; o Permutação.

Geralmente, problemas de produto cartesiano são os únicos trabalhados nos anos iniciais do Ensino Fundamental, enquanto que os demais tipos são vistos, sobretudo, no Ensino Médio.

Borba (2010) destaca também os invariantes de cada tipo de problema, ou seja, a segunda dimensão citada na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1986). A autora ressalta que a natureza do primeiro invariante está relacionado aos conjuntos existentes na situação e, portanto, refere-se à escolha dos elementos de cada possibilidade e a natureza do segundo invariante está ligado à influência, ou não, da ordenação dos elementos dispostos nos subconjuntos formados. Assim, em

problemas de produto cartesiano há dois ou mais conjuntos a partir dos quais são efetuadas as escolhas dos elementos, e nos demais tipos de problemas há um conjunto único a partir do qual as escolhas de elementos devem ser efetuadas. Em problemas de produto cartesiano e combinação a ordem dos elementos não gera novas possibilidades, já nos problemas de arranjo e permutação, a ordem em que os elementos são escolhidos gera novas possibilidades.

Do significado produto cartesiano tem-se como exemplo a seguinte situação: Jane possui quatro blusas (amarela, rosa, laranja e vermelha) e duas saias (preta e

branca). De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir usando uma de suas blusas e uma de suas saias?

No caso do produto cartesiano, têm-se dois ou mais conjuntos distintos, que, ao ser combinado um elemento de cada conjunto, será formado um novo conjunto. Dessa forma, se uma situação de produto cartesiano indica, por exemplo, dois conjuntos, sendo o primeiro conjunto composto por quatro blusas (A, B, C e D) e o segundo conjunto composto de três saias (E, F e G), o novo conjunto será formado pela combinação (escolha) de um elemento de cada um dos conjuntos. Sendo assim, este novo conjunto será formado por todas as possibilidades de combinar blusas e saias, ou seja, blusa ‗A‘ com saia ‗E‘; blusa ‗A‘ com saia ‗F‘; blusa ‗A‘ com saia ‗G‘, blusa ‗B‘ com saia ‗E‘ e assim por diante. Neste caso, a ordem dos elementos não gera novas possibilidades, pois, usar a blusa ‗A‘ com a saia ‗E‘ é o mesmo que usar a saia ‗E‘ com a blusa ‗A‘.

Assim como nas situações de produto cartesiano, nas situações de combinação também não há influência na ordenação dos elementos dos subconjuntos. Entretanto, a principal diferença é que na combinação há apenas um conjunto maior, do qual são escolhidos elementos para serem formados subconjuntos. Assim, estes problemas possuem esta característica em comum, referente à ordenação, mas se diferenciam quanto à escolha de elementos – de conjuntos distintos ou conjunto único, respectivamente.

Um exemplo de combinação é:

Na loja de bichos de estimação há para vender três animais (um cachorro, um passarinho e uma tartaruga). Marcelo quer comprar dois bichinhos. De quantas

No tipo de problema combinação, diferentemente do tipo produto cartesiano, tem-se apenas um conjunto do qual são extraídos subconjuntos. Dessa forma, em uma situação que traz, por exemplo, um conjunto composto por três bichinhos de estimação (H, I e J) em que uma criança quer comprar (escolher) dois destes, os subconjuntos serão formados por todas as possibilidades de dupla de bichinhos que podem ser comprados. Assim, poderá ter a dupla de bichinhos ‗H‘ e ‗I‘; bichinhos ‗H‘ e ‗J‘; e ‗I‘ e ‗J‘. Também, neste tipo de problema, a ordem dos elementos não gera novas possibilidades, uma vez que, a dupla de bichinhos ‗H‘ e ‗I‘ é a mesma que a dupla de bichinhos ‗I‘ e ‗H‘.

Os problemas em que a ordem dos elementos gera novas possibilidades são arranjo e permutação. Esses tipos de problemas se assemelham, assim, quanto à ordenação dos elementos, mas se diferenciam em termos de escolha dos mesmos.

Um exemplo de uma situação de arranjo é:

Três crianças (Pedro, Márcia e Léo) estão disputando uma corrida no Play Station. De quantas maneiras diferentes pode-se ter o 1º e 2º lugares?

Nessas situações tem-se um conjunto do qual são extraídos subconjuntos. Assim, por exemplo, em um conjunto de três alunos (L, M e N) que disputam uma corrida no vídeo game, podem ser extraídas (escolhidas) todas as possibilidades para primeiro e segundo colocados. Então, poderão ser encontrados, por exemplo, as seguintes possibilidades: criança ‗L‘ e criança ‗M‘; criança ‗L‘ e criança ‗N‘; e assim por diante. Neste caso, a possibilidade criança ‗L‘ e criança ‗M‘ é diferente da possibilidade criança ‗M‘ e criança ‗L‘, uma vez que na primeira a criança ‗L‘ está em primeiro lugar e na segunda a criança ‗L‘ está em segundo lugar.

Uma situação em que se tem o significado da permutação é:

De quantas maneiras diferentes três pessoas (Maria, Luís e Carlos) podem posicionar-se numa fila do banco?

Nas situações de permutação, tem-se um conjunto e utiliza-se todos os elementos desse conjunto para formar subconjuntos diferentes. Os subconjuntos se diferenciam quanto à disposição dos elementos. Por exemplo, em um conjunto composto por três pessoas (O, P e Q) intenciona-se saber de quantas maneiras diferentes elas podem posicionar-se numa fila do banco. Assim, uma possibilidade

seria ‘O‘ em primeiro lugar, ‗P‘ em segundo e ‗Q‘ em terceiro da fila; ou o subconjunto poderia ser ‗O‘ em primeiro, ‗Q‘ em segundo e ‗P‘ em terceiro lugar da fila e assim por diante. Neste caso, a possibilidade ‗O, P, Q‘ é diferente da possibilidade ‗O, Q, P‘, uma vez que a posição das pessoas da fila é diferente e, portanto, a ordem dos elementos influencia no número de casos possíveis da situação.

Entende-se que, matematicamente falando, permutação é um caso particular do arranjo, porém, sob o ponto de vista psicológico, levando em consideração a teoria de Vergnaud, os dois problemas são diferentes, uma vez que os invariantes mobilizados são distintos, mas especificamente o invariante de escolha. Assim, defende-se, neste estudo, que problemas de permutação são diferentes de problemas de arranjo, pois no primeiro é necessário que a criança perceba que, para formar subconjuntos, é preciso utilizar todos os elementos existentes no conjunto, enquanto que, no segundo tipo de problema são escolhidos apenas alguns elementos a serem utilizados na formação de subconjuntos.

Diante do exposto, destaca-se que as questões de Combinatória são especialmente desafiadoras, uma vez que possuem distintas relações e podem mobilizar variadas estratégias de resolução. Dentre as estratégias de resolução, pode-se citar o uso de diversas representações simbólicas. Pessoa (2009) menciona algumas representações utilizadas na resolução de situações combinatórias, como o desenho; a listagem; o diagrama/quadro; o princípio fundamental da contagem e a árvore de possibilidades.

Diante disso, no presente estudo, pretende-se estudar de que modo uma ação reflexiva, baseada na representação simbólica de árvores de possibilidades com foco nos significados e nos invariantes das situações, pode influenciar na compreensão de problemas combinatórios. Antes disso, porém, serão examinados, em estudos anteriores, como são levados em consideração os distintos significados da Combinatória, seus invariantes e possíveis representações simbólicas.