Em 1914, Lewis defende num artigo pioneiro que a implicação material tal qual concebida no Principia Matematica de Russell e Whitehead produzia teoremas alarmantes: (1) uma proposição falsa implica qualquer proposição (2) uma pro- posição verdadeira é implicada por qualquer proposição.2 Em termos formais:
(i) ¬p → (p → q) (ii) p → (q → p)
Segundo Lewis, esses teoremas não são misteriosos, nem grandes descober- tas tampouco enormes absurdos. Eles mostram apenas, em linhas gerais, o sentido de `implica' que tem sido incorporado em álgebra.3 Esse não é, porém,
o sentido usual da palavra implica: dizemos que uma proposição implica ou- tra quando a primeira foi logicamente deduzida da segunda. À primeira vista, Lewis pretendia substituir a implicação material de Russell por aquilo que ele
2startling theorems: (1) a false proposition implies any proposition, and (2) a true propo-
sition is implied by any proposition. [Lew14]. Sobre a história dos sistemas de Lewis, vide [Bal10].
3In themselves, they are neither mysterious sayings, nor great discoveries, nor gross ab-
surdities. They exhibit only, in sharp outline, the meaning of `implies' which has been incor- porated into the algebra. Idem.Ibidem.
denominou implicação estrita. Em seguida, optou por uma abordagem que con- siderava a implicação material como um fragmento de seu novo cálculo. Apenas em 1932 foi formulada uma axiomática de nitiva.4 A fórmula p J q passa a ser
de nida como ¬♦(p ∧ ¬q), em que p e q são variáveis proposicionais, estendendo o cálculo implicativo do Principia Matematica com o novo operador ♦.5
S1, o primeiro dos cinco sistemas da hierarquia de Lewis, é obtido adicionan- do-se o operador J à linguagem do cálculo proposicional clássico e os seguintes axiomas:6 (B1) (p ∧ q) J (q ∧ p) (B2) (p ∧ q) J q (B3) p J (p ∧ p) (B4) (p ∧ (q ∧ r)) J ((p ∧ q) ∧ r) (B6) ((p J q) ∧ (q J r)) J (p J r) (B7) (p ∧ (p J q)) J q
Observe que os axiomas acima dizem respeito apenas a ∧ e J, procurando manter a maior parte das propriedades da implicação material que não envolve negação. Por exemplo, sabemos por (B6) que esperamos valer uma forma de Silogismo Hipotético7 para a implicação estrita enquanto (B7) parece garantir
alguma forma de Modus Ponens. O mesmo acontece com a regra de Inferência Estrita, como podemos conferir abaixo na lista das regras de S1.
Podemos provar que J mantém propriedades convenientes de uma implica- ção. Provaremos, por exemplo, que p J p é teorema em S1:
4Em seu livro A Survey of Symbolic Logic [Lew18].
5Na verdade, Lewis toma os operadores ∧ e ¬ como primitivos e não ∨ e ¬ como conside-
rados por Russell e Whitehead. Vide Seção 1.1.
6Excluímos o axioma (B5) p J ¬¬p, dado que Mckinsey demonstrou em [Mck34] que ele
pode ser deduzido dos demais.
7De acordo com [Bob06], o silogismo hipotético em sua versão original foi estudado por
Theoprastus, seguidor de Aristóteles. Sua versão em linguagem natural é: Se alguma coisa é F , enão é G
Se alguma coisa é G, então é H Logo, Se alguma coisa é F , então é H Em nossa linguagem proposicional, teríamos p → q, q → r ` p → r.
Substituição Uniforme Uma fórmula válida permanece válida se substituirmos uniformemente suas variáveis; proposicionais por outras fórmulas;
Substituição de Equivalentes Duas fórmulas estritamente equivalentes são intercambiáveis;
Inserção da Conjunção Infere-se α ∧ β de α e β; Inferência Estrita Infere-se β de α e α J β.
1. p J (p ∧ p) [(B3)] 2. (p ∧ p) J p [Substituição Uniforme em (B2)] 3. (p J (p ∧ p)) ∧ ((p ∧ p) J p) [Inserção da Conjunção em 1 e 2] 4. ((p J (p ∧ p)) ∧ ((p ∧ p) J p)) J (p J p) [Substituição Uniforme em (B6)] 5. p J p [Inferência Estrita em 3 e 4] Logo, `S1p J p.8
Considere, agora, os demais axiomas: (B8) ♦(p ∧ q) J ♦p
(A8) (p J q) J (¬♦q J ¬♦p) (C10) ¬♦¬p J ¬♦¬¬♦¬p (C11) ♦p J ¬♦¬♦p
Para Lewis, (B8) procura interpretar ♦ como consistente, axioma que ao adicionarmos a S1 obtemos S2. (A8) é uma forma de contraposição para J. Se interpretarmos ¬♦¬ como demonstrável,9 (C10) estabelece que se demons-
tramos p, então necessariamente demonstramos que demonstramos p. Por m, (C11) diz que se p é consistente, então demonstramos a consistência de p. S3 é S1 mais (A8), enquanto temos S4 acrescentando-se (C10) a S1 e temos S5 acrescentando-se (C11) a S3.
Lewis mostra que S1 ⊆ S2 ⊆ S3 ⊆ S4 ⊆ S5, por meio da seguinte estraté- gia: apresenta tabelas-verdades que satisfazem os axiomas de S1 mas não (B8);
8Esse teorema de S1 será importante no Teorema de Incompletude de Dugundji, tal como
será mostrado na Subseção 2.2.1.
9 Boolos sugere que Lewis tinha em mente a noção de demonstração para interpretar
¬♦¬. Conferir [Boo93]. Lemmon defende todavia em [Lem57] que o sistema mais fraco S0.5 seria apropriado para interpretar que uma fórmula é demonstrável em PC. Já em [CP13] argumenta-se que para fragmentos de PC, é apropriado tomar o sistema ainda mais fraco S0.50 para respresentar essas noções. Veremos a axiomática de S0.5 e de S0.50na Subseção
em seguida, tabelas que satisfazem os axiomas de S2 mas não (A8), e assim por diante. Para isso, Lewis utiliza tabelas-verdade com quatro valores de verdade. É importante ressaltar que Lewis não oferece nenhuma semântica para esses sistemas: por exemplo, suas tabelas para S1 validam todos os teoremas de S1, mas nada garante que elas validem apenas esses teoremas. É razoável supor que foi com a intenção oferecer uma semântica para sistemas modais que ukasiewicz propôs a seguinte tabela para o operador ♦:10
p ♦p
0 0
1 2 1
1 1
Aqui, se 1 é verdadeiro e 0 é falso, o terceiro valor 1
2 pode ser visto como
indeterminado.11 Uma fórmula é possivelmente verdadeira quando é verdadeira
ou apenas indeterminada, mas uma fórmula é tautologia apenas se recebe o valor 1 em que 1 é o único valor designado.
Na verdade, ukasiewicz construiu uma hierarquia de n sistemas, para n > 3. O primeiro desses sistemas é 3 e tem as tabelas:
p ¬p 0 1 1 2 1 2 1 0 ∧ 0 12 1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 1 2 1 0 12 1 ∨ 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 → 0 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 2 1
10Assim defende Ballarin em [Bal10]. As tabelas em questão estão em [uk30].
11What is this third value? I have no suitable name for it. But after the preceding
explanations it should not be di cult to understand what I have in mind. I maintain that there are propositions which are neither true nor false but indeterminate. (O que é esse terceiro valor? Eu não tenho um nome apropriado para ele. Mas depois das explanações acima não seria difícil compreender o que eu tinha em mente. Eu continuo defendendo que há proposições as quais não são verdadeira tampouco falsas mas indeterminadas) Em [uk61].
Como observado pelo seu aluno Tarski em 1921, pode-se de nir o operador modal ♦p como ¬p → p.12
A lógica 3 não é, entretanto, uma extensão do sistema minimal que tra-
tamos no capítulo anterior, a saber, ICI. Seja v a função de valoração que respeita as tabelas acimas. De fato, se v(p) = 1, v(q) = 1
2 e v(r) = 0 então v(p → q) = 1 2, v(p → r) = 0 e v(q → r) = 1 2. Daí temos v(p → (q → r)) = 1 2
e v((p → (q → r) → (p → r)) = 0 o que implica que v(Ax2) = 1
2, que não é
distinguido.
Por outro lado, 3 pode ser entendida como um modelo para os axiomas
modais de Lewis. Até então vimos apenas axiomas e tabelas para ♦ e J. Gödel, porém, foi o primeiro a introduzir o operador como equivalente a ¬♦¬. Sua intenção era mostrar que IPC poderia ser interpretada em S4. Para isso, propôs a seguinte versão:13
(K) (p → q) → (p → q) (T) p → p
(4) p → p
Introdução da Necessitação Se uma fórmula α é teorema
então a fórmula α também é teorema. E para obtermos S5, basta adicionarmos:
(5) ♦p → ♦p
Para efeitos de simpli cação, denominaremos a regra Introdução da Neces- sitação simplesmente de (Nec). Na versão de Gödel, p J q é equivalente a (p → q). Veremos que essa notação será muito e ciente para provar os resul- tados de completude e incompletude modal.
Podemos provar concomitantemente que as condições (i) e (ii) da implica- ção estrita não valem tanto na hierarquia de Lewis quanto na de ukasiewicz, reforçando a tese de que ukasiewicz almejava que sua semântica fosse usada para sistemas modais. Voltemos à 3 e de namos p com equivalente a ¬♦¬p.
Teremos então a seguinte tabela para :
12De acordo com [uk53]. A de nição de em termos de ♦ está em [uk30].
13A axiomática abaixo bem como a intepretação de IPC em S4 podem ser encontradas em
p p
0 0
1 2 0
1 1
Basta agora comprovar que as tabelas de 3são um modelo para os axiomas
modais de S5, ou seja, que todos os seus axiomas modais recebem o valor designado 1, o que é veri cado abaixo:
(p → q) → (p → q) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 12 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 12 12 0 1 0 1 0 1 12 1 12 1 0 1 0 1 12 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 12 12 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 p → p 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 p → p 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 ♦ p → ♦ p 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
Como vimos, 3 é um modelo para os axiomas modais de S5, ou seja, to-
dos esses axiomas tomam o único valor designado 1 e a Regra de Necessitação preserva o valor designado. Além disso, não é difícil veri car que 3 invalida
as condições (i) e (ii) de Lewis. Interpretando à maneira de Gödel p J q como (p → q), temos:
Teorema 2.1.1: (i) 2L3¬p J (p J q)
Demontração: Seja v a função de verdade que associa a cada proposição modal um valor de verdade do conjunto {0, 1
2, 1}respeitando as tabelas de 3.
Tome v(p) = 1
2e v(q) = 0. Pelas tabelas de →, ¬ e , sabemos que v(p → q) = 1 2
e então temos que v((p → q)) = 0, enquanto v((¬p → (p → q))) = 1 2,
que não é um valor designado. Analogamente, se v(p) = 1
2 e v(q) = 1, então
v(q → p) = 1
2 e ainda v(p → (q → p)) = 1
2 o que nos força a concluir
v((p → (q → p))) = 0.
Por outro lado, visto S5 ser uma extensão de PC, então as tabelas de 3
não são um modelo para S5, pois invalidam (Ax2). Por outro lado não sabemos se algum outro conjunto de matrizes de três ou mais valores de verdade é capaz de ser uma semântica apropriada para S5 e os demais sistemas de Lewis. Essa pergunta foi respondida por Dugundji em 1940, como veremos na próxima seção.