Os terceiros na Lei n.º 5/2002, de 11 de janeiro janeiro

Catalogue des classes des quotients d’espaces de Julîa

1 Introduction

Dans ce chapitre nous appliquons la théorie des quotients d’espaces de Julia que nous

avons étudiée au chapitre I, nous faisons un catalogue, nous classons certains quotients à

l’aide des propriétés associées à des opérateurs qui déterminent les sous-espaces de Juha

faisant ces quotients.

Soient deux opérateurs linéaires compacts A\, A2 et (Ai (A2,„)„ leurs valeurs propres

respectives, positives non croissantes, nous montrons que les quotients d’espaces de Julia

H\A\{Dai) et H\A2{Da2) sont isomorphes si et seulement si (-^^)n€N et (■Y^)n

^2,n Ai^n ÊN sont

bornées. Nous citons des exemples.

Nous montrons que si un sous-espace de Julia D contient quelques sous-espaces fermés

maximaux. Supposons de plus que D = -f A où A est l’image d’un opérateur

compact. Alors

~ A|A = A{H)\A{H)

où A est l’opérateur compact et A est l’adhérence de A dans H. (A'*’ c:i H Q A). Nous

montrons qu’on peut déterminer un quotient de Julia induit par un opérateur hnéaire

borné par un autre quotient de Julia induit par un opérateur linéaire simplement fermé.

Soient A\ et A2 deux opérateurs linéaires bornés, et s’il existe £ > 0 tel que

sp{A{Ai) n sp{A2A2) D [0,£]

Nous montrons que les quotients de Julia H\A\{DAt) H\A2{Da2) sont isomorphes.

Nous donnons des conséquences de la propriété.

Et enfin, nous étudions quelques propriétés des foncteurs dans la catégorie des quotients

d’espaces de Julia qJul.

2 Des quotients d’espaces de Julia déterminés par

des opérateurs compacts

Définition 2.1. : Soient et A2 deux opérateurs linéciires compacts. Soient (Ai_j),g/ et

(A2,.)«6/ des valeurs propres de Ai et Aj. On dit que les deux opérateurs compacts Ai et

A2 sont équivalents si et sont bornés. Si D un espace de Julia ne contenant aucun

^2,»

Al,,-sous-espace fermé, on sait qu’il existe un opérateur linéaire compact tel que A{H) = D

avec A : H —* H où H est un espace de Hilbert.

Théorème 2.2. : Soient Di et D2 deux sous-espaces de Julia de H tels que :

Di = Ai{H) et Ü2 = A2(^)

avec

Al : H H et A2 : H H-,

[Di et D2 ne contenant aucun sous-espace fermé), deux opérateurs linéaires auto-adjoints

positifs compacts dont les suites des valeurs propres sont non nulles et non croissantes,

alors les deux quotients de Julia Ji = H\Ai{H) et J2 = H\A2{H) sont isomorphes si et

seulement si

e < < M < 00

A2,t

tel que M > \\ui || où Ui est l’application linéaire continue introduisant le pseudo-isomorphisme

U entre les quotients de Julia ci-dessus. Autrement dit Ji est isomorphe à J2 si et seule­

ment si Al est équivalent à A2.

Preuve :

Si les deux quotients Ji = H\Ai{H) et J2 = H\A2{H) sont équivalents alors il existe un

pseudo-isomorphisme u de Ji dans J2 qui est induit par l’application linéaire continue

Ui : H —* H telle que :

«r'(Ai(^)) = a2{h).

Soient u, et Wi des vecteurs propres de Ai et de A2 respectivement tels que Ai,,- est la

valeur propre correspondant à u, et A2,, est la valeur propre correspondant à u;,.

Soient

j=«

Fi = {^XjVj : {xj)j des scalaires }

i=i

et

j=«

W{ = {^2yjWj : {yj)j des scalaires }

j=i

Soit U un vecteur appartenant à l’espace W{ et à l’espace orthogonal à Fi_i dans H]

c’est-à-dire t, € W{ fl = Ei qui est non réduit à l’espace nul donc il existe U G F,- tel

que ti 0, soit Z{ = l|zj|| = 1 et tel que A^Zi = UiA2Zi,

lr«ll

Or

et

ce qui implique que

\\A2ZiW < € F^ti)

IIAi^ill > Ai,(0. € Wi)

et par conséquent

d’où

Al,.- < \\AiZi\\ = ||ui>l22.-|| < ||ui||||A2Z.-|| < ||wi||A2,.-

Al,.- < ||ui||A2,.-

< ||ui|| <M< -1-00

^2,«

car «1 est linéaire continue.

De plus, l’opérateur Aj est positif (j = 1,2), donc

<AjZi,Z{> > 0;

d’où

^ A j,.- Z{^ Zi — A j^.’ K. Zi, Zi >

= Aj,.-> 0 car ll^ill = 1,

£ < ^ < M

A2,.

Réciproquement : Soit l’application «i de H dans lui-même telle que D\ = A\{H) et

D2 = A2{H)où Al et A2 sont deux opérateurs linéaires compacts auto-adjoints et positifs.

On définit Ui l’application linéaire comme suit :

Ui : Z?i —► D2

avec i4i(xi) = Ai,,x,- et j42(x,) = A2,,x,-. Cette application est linéaire bornée et d’inverse

U 7* telle que

-1 '^2,:

“i -p-x,;

qui est aussi linéaire bornée, donc Ui induit un pseudo-isomorphisme u de H\Di dans

H\D2 d’où H\Di est isomorphe k H\D2 m

Exemple : Soient

t>0

et A l’opérateur hnéaire suivant :

A : /2(N) /^(N)

n -h 1

De même soit

fia:/'(N) /'(N)

1

(2:n) _L 1 ^ ^ ^

OU T t

Les opérateurs A et Ba sont deux opérateurs linéaires compacts (et leurs images sont non

femées), auto-disjoints positifs.

Soit Ayin =--- et Afi n =---les valeurs propres relatives à l’opérateur A

(respec-n -I- 1 on -I-1

tivement à Ba). Donc si on fait leur rapport; on obtient , quand n tend

Afi.n U -|-1

vers l’infini alors tend vers a et son inverse —Ëiü = —tend vers — quand n est

assez grand, d’où

Afi,n Ayi.n on -H 1

PmA{l\N)) - /^(N)|fia(/^(N)).

Contre-exemple :

Si on prend N l’opérateur suivant :

N: /2(N)-»fi(N)

((n-1-1)2"^"^

Alors cet opérateur est linéaire compact, auto-adjoint positif (nucléaire) mais

1

An.h =

et

^N,n

qui tend vers zéro quand n tend vers l’infini

n + 1

{n + 1)2

1

n + 1

= n + 1

qui tend évidemment vers l’infini quand n —>■ +oo et par conséquent les deux quotients

d’espace de Julia /2(N)|^(/^(N)) et /^(N)|iV(/2(N)) ne sont pas isomorphes.

Ces exemples très simples concrétisent certains types de quotients d’espaces de Julia.

Donc on peut classer certains de ces quotients d’espaces de Julia à l’aide des valeurs

propres des opérateurs compacts déterminant ces quotients.

Maintenant, on va étudier d’autres types de quotients, avant d’arriver, nous allons voir

d’abord les classes des sous-espaces fermés d’un espace de Julia.

Sous-espaces fermés d’un espace de Julia

Nous supposons que l’espace de référence est un espace de Hilbert H séparable et de

dimension infinie. Nous conservons aussi la notation D ou J pour le sous-espace de Julia

de H.

Définition 2.3. :

Pour simplifier, nous allons appeler les sous-espaces fermés d’un espace de Julia : les

noyaux de cet espace. Si l’espace D de Julia n’est pas dense, il est intéressant de trouver

des noyaux maximaux au sens de l’inclusion, mais il y a une difficulté car si F est un

noyau de D et F ^ D, pour x appartenant k D et x n’appartenant pas à F, alors on

prend Fi = [F, x] l’espace fermé engendré par F et x, est encore un noyau de D.

Donc on identifie des noyaux F, Fj si :

F=Fi

si et seulement si

dimF/F H Fi < oo

et

On ordonne les classes d’équivalences par FiDF si dimFi/F < +oo; la relation 5 est un

préordre : Dixmier l’appelait relation d’ordre au sens large [8].

Un noyau F est dit maximal si sa classe est maodmale; s’il n’existe aucun noyau Fi, non

équivalent à F tel que F C F\, donc un noyau F est maximal si et seulement s’il n’existe

aucun noyau F\ D F tel que Fp^ (l’orthogonal à F dans F\ ) eût une dimension infinie.

La définition entreûne que si un noyau équivalent à un noyau maximal est maximal. (Nous

ne donnons pas d’exemples pour ces noyaux maintenant mais nous donnerons des exemples

dans le dernier paragraphe de ce chapitre).

Tout espace fermé de dimension infinie contenu dans un noyau maximal est un noyau

maximal. D’où l’existence de ces classes d’espaces de Julia :

a) Les espaces de Julia fermés de dimension infinie.

b) J un espace de Julia non fermé mais qui a des sous-espaces fermés de dimensions

infinies (noyaux).

c) Aucun noyau n’est maximal dans J.

d) Certains sous-espaces sont des noyaux maximaux.

e) L’espace J n’a aucun noyau.

Théorème 2.4. : Soient H un espace de Hilbert et D un sous-espace de Julia de H.

Alors le quotient H\D est isomorphe F-^ © F\D où F est un sous-espace fermé de H

contenant D.

Démonstration :

Si D est fermé, on prend F = D (cas trivial).

Si D n’est pas fermé, soit D l’adhérence de D dans H. D’après le théorème d’isomorphjsme

[L.W] si K contenu dans F et F contenu dans G {F fermé), on a :

G\K\F\K ~ G/F

Si on prend G = H,K = DetF = , on a

H\D\D^\D est isomorphe à HjD^

donc

H\D:^{D^)^®d”\D

-r=rW

il suffit donc de prendre F = D , qui répond à la question.

Théorème 2.5. :

Soit D un espace de Julia dense dcins H et D contient quelques sous-espaces fermés

maximaux tels que : D = Fma* + A où F^ax est un noyau maximal et A l’adhérence de

A qui est le domaine des valeurs d’un opérateur compact autrement dit A ne contient

pas des sous-espaces fermés de dimension infinie.

Alors les deux quotients de Julia D\D sont isomorphes à A|A (A = l’orthogonal de

Fmax dans H).

Démonstration ;

En effet, l’adhérence de D est D, de plus on a :

D = Fmax ® ^ puisque A = F^^^^.

Donc

D\D ~ F^®F^\Fm^®A

^ (F„mx/i^max)©(F^|A),

~ {0}©A|A

D’où

D|D~ A|A

où A = A{H) tel que A est compact.

Proposition 2.6. ;

Soit A un opérateur linéaire fermé. Supposons que son domadne et son image A{Da)

soient denses. A* est l’opérateur adjoint de A. Alors les quotients de Julia J a = H\Da

et J A» = H\Da^ sont isomorphes.

Démonstration :

En effet, si A est un opérateur linéaire fermé dont le domaine Da et l’image ImA = A{Da)

sont denses, on sait qu’il existe deux opérateurs linéaires; U unitaire et W auto-adjoint

positif tels que A = WU; ce qui entraîne que :

A* = {wuy = u*w = WW (1)

Nous montrerons que J a — Ja

Or d’après (1) on a :

Da, = Dw = U(Da) car A = WU,

donc

U~\Da») = Da (car £/-* = [/•)

d’où il suffit de prendre le pseudo-isomorphisme s induit par l’application linéaire U. ■

Remarque :

L’opérateur linéaire borné qui induit un pseudo-isomorphisme entre deux quotients de

Julia ne peut être compact car s’il est compact, il n’est pas surjectif : c’est une conséquence

du théorème de F. Riesz.

3 Lien entre un quotient d’espace de Julia détermi­

né par un opérateur fermé et un autre quotient

déterminé par l’inverse d’un opérateur borné

Théorème 2.7. :

Si D est un espace de Julia dense dans H un espace de Hilbert. Soit R un opérateur

linéaire borné tel que son domaine d’existence Dr et son domaine des valeurs R{Dr) sont

denses avec R{Dr) = D.

Soit B un opérateur linéaire fermé tel que Dr = R{Dr).

Alors les deux quotients de Julia Jr et Jr-i sont isomorphes où Jr = H\B{Dr) et

Jr-, = H\R-'(,Db).

Démonstration :

Si R est un opérateur linéaire borné; Dr et R{Dr) sont denses tels que

IHDr) = D; (1)

D est un sous-espace de Julia de H avec

Dr = R{Dr) (2)

Alors il existe un opérateur linéaire borné C tel que :

B = CR-^

car les opérateurs R et B vérifiant (1) et (2) sont liés par cette relation.

Pour montrer que H\B{Dr) est isomorphe à H\R~^{Dr); il faut trouver un pseudo­

isomorphisme entre Jr et Jr-i. Comme on a l’égalité B{Dr) = CR~^{Dr)

où

C est

linéaire continue donc

C-‘(B(Db)) = R-'(Db)

On prend donc le pseudo-isomorphisme s qui est induit par l’application linéaire bornée

C entre J g et

.

Donc, d’après le théorème 1.27. du ch. I (sur qjul) J b est isomorphe à Jr-^ ■

Conclusion : on a réduit l’hypothèse forte; la continuité à l’hypothèse faible : la fermeture

d’un opérateur.

4 Quotients d’espaces de Julia déterminés par des

opérateurs dont le spectre contient l’intervalle [0,a]

Définition 2.8. : Soit A un opérateur linéaire fermé; ImA = A{Da)

où

Da est le

domaine de A. On dit que l’espace A[Da) est à multiplicités infinies si la multiplicité des

valeurs propres de A est infinie.

Lemme 2.8’. : Soit (/fn)n€N une suite de sous-espacœ fermés orthogonaux l’un à l’autre

tels que : Vn,= -foo. Soit A = c’est-à-dire A\h„{x) = A„x„; pour

n>0

Xn 6 Un et A„ la valeur propre associée à Alors

= A{Da)

= {Ax = A„x„ : X € Da ei Xn € Hn\ lA„nix„||^ < oo}

n>0 n>0

est un espace à multiplicités infinies.

Démonstration :

Soit (6i,n, •••) une base orthonormale de //„, (àj,n)(j,n)€NxN forment une base de

avec les valeurs propres (A„) correspondantes à (x„) de (Hn) telles que :

Xn =

»6N

Les valeurs propres sont à multiplicités infinies d’où est à multiplicités infinies. ■

et

Lemme 2.8”. ; Soient A{Da) un espace à multiplicités infinies et

AiiÜAi) = D\ C. A{Da)\ Di un espace de Julia et A2 un opérateur linéaire tel que

A2{xk) = ockXk pour Xk e Dk = = "*}•

i

Démonstration

:Soit

= {Ax/Ax = ^XiXi,Xi € Hi et A|//.(a;,) = A.xJ

t

Soit (6„)„ une base orthonormale de A2{Da2), (o!n)n une suite de valeurs propres associées

à la base

(6„)n

de A^. Soit Dk le sous-espace = = Ok (réel) } c’est-à-dire si

i

Xk £ Dk alors A2{xk) = ockXk. Soit Ek = Hk ® Dk donc

Ai{DaJ + A2{Da2) = {ye H/y = à* + 4 et ^ M'^UPe^vW'^ < 00}

k

OÙ Pe^ est la projection sur Ek.

Or Hk est à multiplicités infinies {dimHk = -|-oo) donc à fortiori dimDk = -|-oo et

A\{Dai) + A2{Da2) est de multiplicités infinies.

Lemme 2.9. : Soit A{Da) de multiplicités infinies et dimF finie; F un sous-espace de

H. Alors A{Da)+ F est de multiplicités infinies.

Démonstration :

Soit H° = {Ax\x € Da) = ^ = +00, soit F,- = PniF où Pff.

3

est la projection sur Hi donc dimFi est finie car dimF est finie. Soit F, = Fi^^' donc

dimEi = 00; l’orthogonal de Fi dans

E = {y € H/y = Ça.r/./y,- € F,- et tel que < 00}

Soit

__ 00

G = {y e H/y = € F,-, 7.- des scalaires tels que l7.Pll^F,y||^ < 00}

i t=l

Comme F est à multiplicités infinies, on a donc + F = E + {G + F). Or G + F est

contenue dans H + E, donc d’après le lemme 8”, -|- F est un espace à multiplicités

infinies. □

Théorème 2.10. [8] :

Si A un opérateur auto-adjoint tel que le spectre de l’opérateur linéaire; spA contient un

segment fermé [0,a] où a est un réel strictement positif. Alors A{Da) est un espace à

multiplicités infinies.

Démonstration :

a > 0.

Soit Hb = ImE[o^b]’ Posons £„ = HK : l’orthogonal à dans H& pour tout n Ç N*

OO

(on remarque que le projecteur Pn{o) = -Ê'io.i] “ ^ POur somme Pn{o) =

-^'[o.a])-n>l

Soit E = ^ En ei E-^ est l’orthogonal de E dans H\ dimEn = oo, pour tout n > 1. Soit

n>l

y un élément de A{Da) si et seulement si ^ l-^nniPenî/lP < +°o donc A{Da) H E est

n>l

à multiplicités infinies et comme A{Da) = A{Da) H + A{Da) H E^ alors A{Da) est à

multiphcités infinies. ■

Théorème 2.11. : Si i4i et /I

2

deux opérateurs linéaires bornés tels que A

i

{D

a

^) et

A2{Da^) sont denses et s’il existe a, réel positif tel que [0, a] soit contenu dans sp(y4Jv4i) D

sp(^2^2)-Alors les quotients d’espaces de Juha H\A\{Dai) et H\A2{Da2) sont isomorphes.

Démonstration : ____

On sait que si A est un opérateur linéaire borné alors ||\/A*A|| = ||/1||, donc si [0, a] est

contenu dans sp{A\Ax) H sp{A\A2) alors [0, est contenu dans sp-\jA\Ai D spy/^^A^,

donc l’espace y/A’Ai(DAi) (pour i = 1,2) est à multiphcités infinies d’après précédement.

Comme Ai = Uiy/AIAi où Ui est l’opérateur unitaire donc Ai{DAi) = Uiy/A*Ai{DAi)\

ceci implique que A,(D^J est à multiplicités infinies.

Il existe V un opérateur linéaire unitaire sur A2(D^j) et l un opérateur linéaire borné

bijectif d’inverse borné défini sur H tel que Ai = VA2I, Ai{Dai) = VA2(D^j) donc

V-\Ai{Da,)) = A2{Da,).

Comme on cherche à trouver un pseudo-isomorphisme entre H\Ai{Dai) et H\A2{Da^),

il suffit de prendre le pseudo-isomorphisme u : H\Ai{DAi) H\A2{Da2) induit par

l’apphcation linéaire continue V. Donc d’après le théorème 1.27. des quotients d’espaces

de Julia et des pseudo-isomorphismes on a H\Ai{Dai) — H\A2{DAi)- ■

Théorème 2.12. : Soient L‘^[e,b] et L^[0,6] les deux espaces de Hilbert avec e et 6

deux nombres réels positifs tels que e est inférieur à 6; strictement; (on sait que L^[e,b]

est contenu dans L^[0,6]). Soient Mx l’opérateur de multiplication par x de L^[e,b] dans

De même M'x : L‘^[0,b] —* Z-^[0,6]; l’opérateur de multiplication par x.

Alors les deux quotients d’espaces de Julia L^[0, b]\Mx{L^[e, 6]) et L^[0, b]\M'x{L'^[0,6]) ne

sont pas isomorphes.

Démonstration :

de Julia.

En effet : l’opérateur de multiplication —» L^[0,6] est un opérateur linéaire

borné (inversible), son spectre spM^ = [s,

f>]-De même, l’opérateur de multiplication par x sur L^[Q,b] :

f xf

est linéaire borné (non inversible), son spectre spM'j. = [0,6].

Donc le fait que les deux quotients sont des quotients d’espaces de Julia vient de la

fermeture de Mx et de A/' (ils sont continus).

Le fait qu’ils ne sont pas isomorphes est la conséquence du théorème précédent 2.11.

puisque spMx H spM' = [e, 6] qui ne contient pas l’intervalle (0, a], pour a > 0.

D’où L^[0, 6]|Mx(Z^[£, 6]) n’est pas isomorphe à L^[0,6]|A/^(L^[0,5j).

Théorème 2.13. : Soit B un opérateur Unéaire fermé tel que Db et B{Db) sont denses

dans H et, ni B, ni B~^ (l’inverse de B) n’est compact. Soient Fi un sous-ensemble fermé

de Db (resp. F2 fermé de B{Db)), dimF\ = dimF2 = -t-00.

Alors il existe deux quotients d’espaces de Julia triviaux :

HfB{Fi) ~ (B(Fi))'*’; l’orthogonal à B{Fi) dans H.

HfB{F2) ^ (B{F2))^; l’orthogonal à ^(Fj) dans H.

Autrement dit, il existe deux sous-espaces fermés de ImB tels que F[ = B{F\) et B{F2) =

Fj. Donc B est continue dans Fi et son inverse B~^ est continue dans Fj.

Démonstration :

Si ni B, ni B~* n’est compact alors Db et B{Db) sont des espaces vectoriels fermés ou

ils contiennent des sous-espaces fermés. Soient Ai = Db H F^^ et A2 = B{Db) H F^^

avec Fi,F2 deux sous-espaces fermés de Db et de B{Db) respectivement (Fi C Dr et

F2 C B{Db)).

Soient B\ et B2 deux opérateurs linéaires bornés bijectifs tels que :

Db^ — Fl et Bi(Bbj) = A2

respectivement

on obtient donc

Db2 = F2 et B2{Db2) = Al,

B = BiBf, -I- Bj

Cas où Al et Aa ont des sous-espaœs fermés, on peut trouver dans F\, deux sous-espaces

fermés orthogonaux et complémentaires K\ et A'a {dimKi = -t-oo) de telle façon que

= H[ et B2{K2) = sont deux sous-espaces fermés avec Aa = -f/J -f H'^ et

H[ C\ H'2 = {0}, de même, on peut trouver dans F2 deux sous-espaces fermés K[ et

K2 orthogonaux et complémentaires {dimK- = -foo) de telle façon que B2{K[) = Hi,

BiiK^) = H2 et Ai=Hi + H2.

On a alors

De même

Br{K^+H,) B{K^) + B{H^)

B,{K^)-\-B2\H,)

H[ -h K[

B{K2^H2) = B{K2) + B{H2)

= B,{K2) + B2\H2)

= H'2 + K'2

Or K\ et H\ sont orthogonaux donc F\ = K\-\- Hi est fermé.

De même

F2 = K2 + H2,

Fi = K[ + H[,

F' = K'2 + W2.

Ainsi Fl, Fa, F[ et FJ répondent aux conditions du théorème et on a des quotients d’espaces

de Julia triviaux :

/f/5(Fi) ~ (F(Fi))^

///F(Fa) - (F(Fa))^D

Remarque :

Le théorème montre simplement qu’on peut trouver des quotients triviaux (fermés) mais

il y a d’autres cas.

Exemple :

Soit H = F^[0,1] l’espace de Hilbert et A l’opérateur linéaire

A:L"[0,1] I,2[0,l]

H\A.H est un vræ quotient de Julia; A est fermé (même continu). Soit A^i = A.H et T

l’opérateur défini par :

T :H ® ù, A -*•

f ® Ag -+ Af ® g

T est fermé, à domaine dense, son image aussi dense, et on a H ® H\H ® ~ H\ù.a

qui est un vrai quotient de Julia : on sait que ni T, ni T ^ n’est compact.

Remarques :

• Soit 7= U[2-"-^2-"]U{0}.

n>0

f xf

Alors L2[o, \]\M^L\I) çé ^^[o, 1]|M^L'[0,1]

• Si A un opérateur linéaire borné alors

H\A{Da)^H\ \A\{D^AÙ

où |A| = y/A*A.

Mais soit 7' = M

Alors L\r)\Mj.\r) 9É

L^[0,l]\M^L^0,l]-Pour voir cela, il suffit de montrer qu’il n’existe pas d’opérateur linéaire borné

A : L^{I') —»• 7/^[0,1] équivalent à Mx.

Soit H ~ ^77n; sur chaque Hn : A = A\n^ ; i„ —> avec ||A„|| < A„ et

n

M

IIA'^II < —. (77 et 77„ des Hilbert). Les opérateurs ® A„7d|//„ ~ ® A„.

Ara

Id.

Supposons que Mx sur L^{I') est équivalent à et Mx est équivalent à

ra!

On aurait donc ~ Mais 2’* 9É ra!; contradiction.

_ 2*' 2** ra!

5 Foncteurs dans qJul

Théorème 2.14. :

alors F est prolongeable d’une manière unique par un foncteur F qui est exact à droite

de la catégorie qjul —» et F est exact si F est un foncteur exact. Ceci résulte de [35]

et [36].

Proposition 2.15. : Soient F\ et F2 deux foncteurs exacts de qJul —»

est abélienne.

<f> : Fl F2 \in épimorphisme de foncteurs, c.à.d. : Fi{H\D) F2{H\D) est

épique pour tout quotient de Julia H\D où Ih\d est le morphisme de H\D dans lui-même

induit par l’identité de H; Ih

)-Alors le morphisme noyau de <j> définit un foncteur exact de qJul dans cat.

Démonstration :

Si on prend une suite exacte dans qJul :

0 Ho\Do Hi\Di H2\D2 -> 0,

on obtient le diagramme 3x3 commutatif suivant :

0

i

0 —> ker<f>Ho\Do

l

0 Fi{Ho\Do)

i

0 —> F2{Ho\Do)

i

0

0

i

—> ker<f>Hi\Di —*

i

-4 Fi{Hi\Di) —>

i

_ F2(Hi\Di)

i

0

0

i

ker<i>H,\D2 —» 0

i

Fi{H2\D2) —^ 0

i

F2{H2\D2) 0

i

0

La deuxième, la troisième lignes et les trois colonnes sont exactes, d’un lemme 3x3

[28]; la première ligne est exacte.

Donc ker(j> transforme une suite exacte de qJul en une suite exacte de çof et par conséquent

ker<j> est un foncteur exact.

Soit H\D un quotient d’espace de Julia. On note Lat{H\D) = {D' : sous-espace de Julia

de H contenant le sous-espace £)}.

Remarques :

L’ensemble Lat{H\D) est un treilhs.

On dit que Di\D est un sous-quotient de Hilbert de H\D tel que D\ € Lat{H\D) et on a

un morphisme : D\\D H\D induit par l’inclusion D-i —+ H.

On peut associer à tout quotient d’espace de Julia son espace vectoriel sous-jacent qui est

l’espace vectoriel H\D_.

De même si s : H\D —» Hi\Di un morphisme, on peut associer une application ünéaire

qui est bijective si s est un pseudo-isomorphisme. Ce qui nous amène à définir un foncteur

P :

P

:

qjul —

>

E^.où E^.est la catégorie des espaces vectoriels

H\D p{H\D) = H\D

où P est le foncteur sous-jacent vectoriel.

Si H\D un quotient d’espace de Julia tel que D est non fermé dans H. Si on prend

l’adhérence de D dans H notée D donc on peut associer k H\D \e quotient H\D qui

est isomorphe à un espace fermé de H, ce qui nous permet de définir un foncteur; Adh :

Adh : qJul —* EMh

H\D Adh{H\D) = H\d”

Nous l’appelons le foncteur “Hilbertisation”.

Graphe relevé d’un opérateur de Julia

Soient Hi\Di et ^^21^2 deux quotients d’espaces de Julia, pour tout morphisme

s : Hi\Di —» H2\D2, on définit l’espace suivant :

Gr(s) = {(x,y) E Hi x H2 : y € s{x + Di)}

On appelle Gr{s) le graphe relevé de s. Le graphe de s sera noté flfr(s) et Gr{s) C H\X H2.

Cette définition est équivalente à celle de F.H Vasilescu [ ].

Si s est un opérateur de Julia, c’est-à-dire gr{s) est un espace de Julia, alors on dit que

Gr{s) est le graphe relevé de l’opérateur de Julia.

Remarque :

gr{s) ~ Gr{s)\Di x D2’,

le morphisme s est complètement déterminé par son graphe relevé Gr(s).

(respectivement Ims) le noyau (resp. l’image) de s, on a les ensembles :

Soit K ers

Xm{s) = {y G H2\y + <^2 £ Jfns avec € D^}

Lemme 1.34. :

Les ensembles Gr(s), fCer{s) et Xm{s) sont des espaces vectoriels.

Théorème 1.35. :

Soient Hi\D\, H2\D2 deux quotients de Julia et a : H\\Di —* H2\D2 alors Adh{s) est

linéaire continue;

Adh{s) : Adh{H^\Di) Adh{H2\D2).

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