Para fins de otimização, será usado o qui-quadrado para minimizar a dispersão entre os dados experimentais da grandeza de interesse exp
i
, com os valores da mesma grandeza obtidos por simulação sim
i :
Np i i sim i i 1 2 2 exp 2 1 , (3.90)70 onde, exp
i
é o valor experimental da variável medido no ponto “i” e sim i
é o valor obtido por simulação da mesma variável no mesmo ponto. Np é o número de pontos
experimentais e 1i2 é o peso estatístico do ponto “i”. Se, por exemplo, os pesos estatísticos não forem medidos no experimento, todos deverão ter o mesmo peso, por exemplo, 1. Pela Equação (3.90) observa-se que o qui-quadrado depende de sim
i
, que depende do parâmetro Se o processo de difusão envolver uma série de , na qual .
é considerado variável, o valor de no ponto nodal é obtido por uma função do tipo,
a b
f , ,
. (3.91)
No processo de otimização, será usada uma nova abordagem de minimização denominada OREP (optimal removal of experimental points), para minimizar os erros na determinação de parâmetros termo-físicos em processos de difusão, descritos por pontos experimentais, e uma solução analítica representada apenas pelo primeiro termo da série, para a condição de contorno do terceiro tipo. O algoritmo, proposto por Silva et al. (2012), é baseado na determinação da melhor remoção de pontos experimentais antes do ajuste da solução analítica ao conjunto de dados. Entretanto, Silva et al. (2012) concluíram que tanto os erros no cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção, h , quanto os erros no cálculo da difusividade térmica, , aumentam quando o número de Biot aumenta. Para o número de Biot menor que 2,0 os erros na determinação destes parâmetros são desprezíveis. Mas se o número de Biot for maior do que 7,0, tais erros são significativos e, consequentemente, o algoritmo proposto falha. Investiga-se, neste trabalho, se para a condição de contorno do primeiro tipo (número de Biot infinito), uma adaptação do algoritmo produziria bons resultados, já que o algoritmo original falha neste caso. O algoritmo proposto está baseado na obtenção do melhor ajuste, o que significa minimizar o qui-quadrado definido como (BEVINGTON e ROBINSON, 1992; TAYLOR, 1997),
p N i i sim i i σ T T χ 1 2 2 exp 2 1 , (3.92)71 onde exp
i
T é a i-ésima temperatura experimental (oC) medida em um ponto dentro do cilindro, Tisim é a i-ésima temperatura simulada correspondente (oC) obtida a partir da solução analítica, Np é o número de pontos experimentais e 1/σ é o peso estatístico do i2
i-ésimo ponto.
A Equação (3.92) é uma particularização da Equação (3.90), quando a grandeza estudada é a temperatura do sistema. O algoritmo adaptado para a solução analítica da equação de difusão para a condição de contorno do primeiro tipo deve obedecer aos passos propostos a seguir.
3.8.1 Caso analítico unidimensional
Passo 1 – A partir das Equações (3.9) e (3.8) determinar, respectivamente, as raízes n e os coeficientes An (por exemplo, para os primeiros 200
termos da série);
Passo 2 – Usar regressão não-linear para determinar o valor do expoente A, a partir do conjunto de dados experimentais e da Equação (3.88), que tem apenas um termo, e a partir da Equação (3.78);
Passo 3 – Tomar os mesmos tempos que foram usados para os dados experimentais e calcular, através da Equação (3.86), as temperaturas
) , ( * r t
T . Note que T*(r,t)Tisim. No somatório, foram usados os números de termos para os quais se conheciam as raízes da função de Bessel (neste caso, 200). Calcular, a partir da Equação (3.92), o qui- quadrado;
Passo 4 – Remover um ponto experimental (da região inicial) e, usando regressão não-linear na Equação (3.88), calcula-se o novo valor de A e, em seguida, o valor de , pela Equação (3.78). Uma vez calculado o novo valor de , repetir o procedimento do passo 3 envolvendo todo o conjunto de dados;
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Passo 5 – Comparar o último valor de 2 com o anterior. Retornar ao passo 4
enquanto o último valor de 2 for menor do que o anterior.
3.8.2 Caso analítico bidimensional
Passo 1 - A partir das Equações (3.30) e (3.33) para determinar, respectivamen- te, as raízes n,1 e m,2; as Equações (3.31) e (3.34) para determinar os coeficientes A e n,1 A (por exemplo, para os primeiros 200 m,2 termos da série);
Passo 2 – Usar a regressão não-linear, determinar o valor de a partir do con- junto de dados experimentais e das Equações (3.89) e (3.81);
Passo 3 – Tomar os mesmos tempos que foram usados para os dados experimen- tais, calcular através da Equação (3.87), as temperaturas T*(r,y,t).
Note que sim
i
T t y r
T*( , , ) . No somatório, foram empregados os números de termos para os quais se conheciam as raízes da função de Bessel (neste caso, 200). Calcular, então, a partir da Equação (3.92), o qui-quadrado;
Passo 4 – Remover um ponto experimental (da região inicial) e, para realizar a regressão não-linear, usa-se a Equação (3.89) para calcular o novo valor de . Uma vez calculado o novo valor de se repete o procedimento do passo 3 envolvendo todo o conjunto de dados;
Passo 5 – Comparar o último valor de 2 com o anterior. Retornar ao passo 4
enquanto o último valor de 2 for menor do que o anterior.
3.8.3 Algoritmo de otimização usando solução numérica
Os parâmetros a e b podem ser determinados através da minimização da função objetivo, Equação (3.91), a qual é realizada em ciclos envolvendo os seguintes passos:
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Passo 1 - Informar o valor inicial do parâmetro “a” e “b” da Equação (3.91). Resolver a equação de difusão e determinar o qui-quadrado;
Passo 2 - Apresentar o valor para a correção de “a”;
Passo 3 - Corrigido o parâmetro “a” e, mantendo-se o parâmetro “b” com um valor constante, resolve-se a equação de difusão e se calcula o qui- quadrado;
Passo 4 - Comparar o último valor calculado do qui-quadrado com o valor anterior. Se o último for menor, volte para o passo 2; caso contrário, diminua a última correção do valor de “a” e proceda ao passo 5; Passo 5 - Informar o valor para a correção de “b”;
Passo 6 - Corrigir o parâmetro "b" e manter o parâmetro "a" com um valor constante. Resolva a equação de difusão e calcule o qui-quadrado; Passo 7 - Comparar o último valor calculado do qui-quadrado com o anterior. Se
o último valor for menor, retorne para o posso 5; caso contrário, diminua a última correção do valor de “b” e proceda ao passo 8; Passo 8 - Começar um novo ciclo, voltando ao passo 2, até que a convergência
estipulada para os parâmetros “a” e “b” seja alcançada.
Em cada ciclo, a correção de cada parâmetro pode ser inicialmente pequena, compatível com a tolerância da convergência imposta ao problema. Para um dado ciclo, que se retorne ao passo 2 ou 5, a nova correção pode ser multiplicada pelo fator 2. Se a correção informada não minimizar a função objetiva, então, no próximo ciclo, a correção pode ser multiplicada pelo fator -1. Com este procedimento, o algoritmo permite aumentar ou diminuir o valor do parâmetro, sempre diminuindo a função objetiva. Note que, mesmo começando-se cada ciclo com um valor corretivo pequeno para o parâmetro, tais correções crescem geometricamente, assegurando-se um processo de otimização rápida. Outro aspecto importante para a duração do processo de otimização é o valor inicial de cada parâmetro a ser determinado. Os valores iniciais dos parâmetros podem ser estimados dos valores obtidos de produtos similares já
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disponíveis na literatura ou através de alguma correlação empírica. Por outro lado, se
for suposta constante, os passos 5, 6 e 7 não serão necessários.