Otimiza¸cão unidimensional: Método da Se¸cão ´ Aurea

3.10 Resultados num´ericos

4.1.3 Otimiza¸cão unidimensional: Método da Se¸cão ´ Aurea

eficientes quando a fun¸cão a ser minimizada é cont´ınua na primeira derivada. Vários outros métodos, como o método de Newton, são somente apropriados quando a segunda derivada é facilmente calculada.

4.1.2 Otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes

Na otimiza¸cão com restri¸cões, o objetivo geral é transformar o problema em um conjunto de subproblemas que podem ser resolvidos usando um processo iterativo. Uma grande parte dos métodos transformam um problema com restri¸cões em um problema sem restri¸cões. Nestes casos o problema com restri- ¸cões é resolvido usando uma seqüência de otimiza¸cão sem restri¸cões parame- trizadas, a qual, no limite, converge para um problema com restri¸cões. Atu- almente estes métodos são considerados relativamente ineficientes e tem sido trocados por métodos que estão focados em solu¸cões de equa¸cões de Kuhn- Tucker (KT). As equa¸cões de KT são condi¸cões necessárias para otimizar problemas com restri¸cão. A solu¸cão das equa¸cões de KT forma a base para muitos algoritmos de programa¸cão não-linear. Estes algoritmos esfor¸cam-se para calcular os Multiplicadores de Lagrange diretamente.

4.1.3 Otimiza¸cão unidimensional: Método da Se¸cão

´

Aurea

O método da Se¸cão Áurea estima o máximo, m´ınimo ou zero de uma fun¸cão de uma variável. É uma técnica popular por várias razões: primeiro, se a fun¸cão assumida for unimodal, ou seja, possui somente um ponto de máximo ou de m´ınimo no intervalo de busca, esta não precisa ter derivadas cont´ınuas (Bazarra et al., 1993). Segundo, ao contrário das técnicas polinomiais ou

outras baseadas no ajuste de curvas, a razão de convergência para o método da se¸cão áurea é conhecida.

Para ilustrar os fundamentos do método, considere como problema de- terminar o m´ınimo de uma fun¸cão f , sendo f uma fun¸cão de uma variável independente x. Assumindo que os limites maior e menor de x são xl e xu,

respectivamente, e as fun¸cões calculadas em cada um dos limites são, respec- tivamente fl e fu (Figura 4.2), escolhe-se dois pontos intermediários x1 e x2,

sendo x1 < x2, e avalia-se as fun¸c˜oes nestes pontos, dadas como f1 e f2,

respectivamente.

Como foi assumido que a fun¸cão é unimodal, x1ou x2 são os novos limites.

Neste caso, f1 é maior que f2. Então, como foi assumido que só existe um

m´ınimo no intervalo, este n˜ao estar´a entre xl e x1. Deste modo, x1 forma o

novo limite menor e tem-se um novo intervalo limitado por x1 e xu.

Como pr´oximo passo, precisa-se escolher um ponto adicional, x3, no qual

´e avaliado f3. No nosso exemplo, comparando f2 e f3, pode-se ver que f3

é maior, e então x3 é trocado por xu como o limite maior. Repete-se este

processo at´e encontrar a tolerˆancia desejada.

Precisa-se determinar um m´etodo para escolher os pontos interiores x1, x2,

x3, ..., para reduzir o limite rapidamente. Como, depois da escolha inicial xl,

xu e x1 a fun¸cão é avaliada em cada itera¸cão, é mais eficiente um algoritmo

que reduza os limites a uma mesma razão em cada itera¸cão. É preciso escolher cada x1 que será o novo limite menor ou x2 que será o novo limite maior para

que estes valores sejam sim´etricos sobre o centro do intervalo, assim:

Assumindo que a raz˜ao:

r = x2− x1 xu− xl

(4.2) ´e constante ao longo das itera¸c˜oes, tem-se, substituindo (4.1) em (4.2):

r = x2− x1 xu− xl

= xu+ xl− 2x1 xu− xl

(4.3) Na próxima itera¸cão, se x1 se tornar o novo limite menor xl, então x2 se

tornar´a x1 e a raz˜ao (4.3) se torna:

r = xu+ x1− 2x2 xu− x1 (4.4) Igualando-se (4.3) e (4.4), tem-se: xu+ xl− 2x1 xu − xl = xu+ x1− 2x2 xu− x1 (4.5) Após algumas manipula¸cões algébricas, tem-se:

x1− xl

xu− xl

= x2− x1 xu− x1

(4.6) Por conveniˆencia, assuma que: xl = 0, e xu = 1. Agora x2 = 1 − x1 e a

equa¸c˜ao (4.2) ´e escrita como:

x1 = 1 − 2x1

1 − x1

(4.7) Simplificando:

x2₁− 3x1+ 1 = 0 (4.8)

Da equa¸c˜ao (4.8), tem-se duas ra´ızes: x1 =

3 ±√5

2 ⇒ {

x1 = 0.38197

Ignora-se a segunda ra´ız porque neste caso x1 ´e maior que o limite maior.

Desta forma, tem-se, finalmente:

x1 =

3 −√5

2 = 0.38197 (4.10)

x2 = 1 − x1 = 0.61803 (4.11)

A razão destas solu¸cões é o número conhecido como Se¸cão Dourada: x2

= 1.61803 (4.12)

que é empregado desde a idade antiga em constru¸cões e desenhos. Da´ı o nome do método.

A se¸cão dourada proporciona uma seqüência ideal para dividir o intervalo e encontrar o valor m´ınimo de f . Pode-se definir os pontos interiores x1 e

x2 em termos de xl, xu e τ , onde: τ = 3 − √ 5 2 = 0.38197 = x1 (4.13) x1 = (1 − τ )xl+ τ xu (4.14) x2 = τ xl+ (1 − τ )xu (4.15)

O método da seçcão áurea se baseia na técnica de limita¸cão da busca a um intervalo, isto é, consiste em reduzir os limites do universo da busca até que o intervalo formado pelos limites seja menor que um erro admiss´ıvel (Vanderplaats, 1999).

Como em um processo iterativo, precisa-se definir um critério para a identificar quando o processo converge para a solu¸cão aceitável. Assumindo

um intervalo inicial de incerteza, xu − xl, deseja-se reduzir o intervalo para

algum ε do intervalo inicial, chamado de tolerância relativa, ou para algum ∆x que é uma tolerância absoluta. O valor de ε será encontrado da seguinte forma:

ε = ∆x

xu− xl

(4.16) Pode-se converter a tolerância relativa ε para o número máximo de fun¸cões avaliadas. Assim, requer-se três fun¸cões para serem avaliadas: fl, f1 e fu,

para que o intervalo seja reduzido de τ (38%) em cada itera¸cão. A tolerância espec´ıfica ε será:

ε = (1 − τ )N −3 _(4.17)

onde N é o número total de fun¸cões a serem avaliadas, incluindo as três iniciais, fl, f1 e fu. Da equa¸cão (4.17) tem-se:

N = ln(ε)

ln(1 − τ ) + 3 = −2.078ln(ε) + 3 (4.18)

Por exemplo, se desejar reduzir o intervalo para 1% do intervalo inicial, ε = 0.01. De (4.18) tem-se:

N = 9.6 + 3 = 12.6 = 13 (4.19)

ou seja, 13 é o número de fun¸cões avaliadas.

Pode-se usar N como critério de convergência para terminar o processo de itera¸cão. A tabela (4.1) mostra a tolerância relativa para o número de fun¸cões N avaliadas.

O fluxograma 4.1 mostra como o algoritmo da se¸c˜ao ´aurea deve ser im- plementado.

xl_{, f}l_{, x}u_{, f}u_{, N} _{τ = 0.381966} x1= (1 −τ )xl+_{τ x}u f1=f (x1) x2=τ xl+ (1 −τ )xu f2=f (x2) k = 3 k = k + 1 k ≥ N f1> f2 xu=_x₂ fu=_f₂ xl=x1 fl=_f₁ fl=f2 xl=_x₂ fl=_f₁ xl=x1 x2=τ xl+ (1 −_{τ )x}u x1= (1 −τ )xl+_{τ x}u f2=f (x2) f1=f (x1) Fim Sim Sim N˜ao N˜ao Iniciar

x

₁

x

₂

x

₃

f

₃

f

₁

f

₂

Intervalo inicial

Depois do primeiro passo

Depois do segundo passo

N ε N ε N ε 3 1 9 0.05573 15 0.00311 4 0.61803 10 0.03444 16 0.00192 5 0.38197 11 0.02129 17 0.00119 6 0.23607 12 0.01316 18 0.00073 7 0.14590 13 0.00813 19 0.00045 8 0.09017 14 0.00503 20 0.00028

Tabela 4.1: Razão de convergência para o método da se¸cão áurea.

4.1.4 Otimiza¸c˜ao multi-dimensional: M´etodo Simplex

1. O m´etodo simplex b´asico

O método Simplex (Spendley et al., 1962) é um método seqüencial de otimiza¸cão que pode ser empregado tanto para maximizar como minimizar uma resposta. Um simplex é uma figura geométrica em n dimensões, cons- titu´ıdo de n + 1 pontos. Cada dimensão corresponde a uma variável a ser otimizada. Um simplex em duas dimensões é um triângulo, em três dimensões é um tetraedro, e assim sucessivamente. O método pode ser estendido para maiores dimensões, mas não será fácil a visualiza¸cão do simplex. Apesar disto, o método Simplex pode ser aplicado, teoricamente, para a otimiza¸cão de qualquer número de variáveis.

O procedimento de otimiza¸cão, no método Simplex, come¸ca pela escolha dos n + 1 pontos onde será feita a avalia¸cão da resposta. Na Figura 4.3 temos um exemplo do processo para o qual a otimiza¸cão come¸ca com os pontos P0,

P1 e P2. Esses formam um triângulo e através da análise da figura, o ponto

P0 mostra ter a pior resposta dos três. Uma conclusão lógica é que a melhor

resposta está na dire¸cão oposta a este ponto. Portanto, o simplex é refletido de modo que o ponto P3, oposto ao ponto P0, seja obtido. Os pontos P1,

P2 e P3 juntos formam um novo simplex. O procedimento ´e repetido suces-

sivamente, descartando-se a pior resposta. Portanto, o objetivo do método seqüencial Simplex é for¸car o simplex a mover-se para a região de resposta ótima. As decisões requeridas para que isso aconte¸ca constituem as chamadas “regras” do procedimento simplex.

2. O m´etodo simplex modificado

Em 1965, Nelder e Mead propuseram modifica¸cões no procedimento o- riginal de movimenta¸cão do simplex básico, que permitiu obter um ponto ótimo estacionário com suficiente precisão e clareza, além de permitir um desenvolvimento mais rápido do simplex em dire¸cão ao ótimo, originando o denominado Método Simplex Modificado (MSM). A principal diferen¸ca do Método Simplex Modificado em rela¸cão ao método que lhe deu origem é que podem ser alterados o tamanho e a forma do simplex. As regras de movimenta¸cão do método Simplex básico são válidas e a estas foram acrescidas, por Nelder e Mead, outras que caracterizam o método simplex modificado.

Considera-se inicialmente, a minimiza¸cão de uma fun¸cão de n variáveis, sem restri¸cões. P0, P1, ..., Pn são os (n+1) pontos no espa¸co de n dimensões

definindo o simplex.

Escreve-se yi para o valor da fun¸c˜ao em Pi, e define-se:

yh = max(yi)

yl = min(yi)

A seguir, é definido P como sendo o centróide dos pontos com i 6= h, e escrevemos [PiPj] como sendo a distância de Pi até Pj. A cada estágio do

P

₀

P

₁

P

₂

P

₃

P

₄

P

₅

x

₁

x

₂

processo Ph é trocado por um novo ponto, onde são usadas três opera¸cões:

reflexão, contra¸cão e expansão.

A reflexão de Ph é denotada por P∗, e suas coordenadas são definidas pela

rela¸c˜ao:

P∗ = (1 + α)P − αPh (4.20)

onde α ´e uma constante positiva chamada de coeficiente de reflex˜ao, de forma que:

[P∗_{P ] = α[P}

hP ] (4.21)

Se y∗ _{est´a entre y}

h e yl, ent˜ao Ph ´e trocado por P∗ e come¸ca novamente

com um novo simplex. Se y∗ _{< y}

l, isto é, se a reflexão definiu um novo m´ınimo, então expande-se

P∗ _{para P}∗∗ _{atrav´es da rela¸c˜ao:}

P∗∗= γP∗+ (1 − γ)P (4.22)

onde γ é o coeficiente de expansão, o qual é maior que 1, e é a razão entre as distâncias [P∗∗_{P ] e [P}∗_{P ].}

Se y∗∗_{< y}

l, troca-se Ph por P∗∗ e reinicia-se o processo. Mas se y∗∗> yl,

ent˜ao tem-se uma falha de expans˜ao, e troca-se Ph por P∗ antes de reiniciar.

Se na reflex˜ao de P para P∗ _{encontrar y}∗ _{> y}

i para todo i 6= h, ou seja, se

trocando P por P∗ _{tornou y}∗ _{o ponto de m´aximo, ent˜ao, define-se um novo}

Ph no lugar do antigo Ph ou de P∗, qual dos dois tiver o valor menor de y.

Em seguida calcula-se P∗∗ _{a partir da equa¸c˜ao:}

P∗∗_{= βP}

onde β é o coeficiente de contra¸cão que está entre 0 e 1 e representa a razão entre as distâncias [P∗∗_{P ] e [P P ]. Aceita-se P}∗∗ _{no lugar de P}

h e reinicia,

a n˜ao ser que y∗∗ _{> min(y}

h, y∗), ou seja, o ponto contra´ıdo ´e pior que o

melhor entre Ph e P∗. Para tal falha de contra¸c˜ao, troca-se todos os Pi por

(Pi+ Pl)/2 e reinicia o processo (Nelder e Mead, 1965).

Como crit´erio de parada, tem-se a restri¸c˜ao

r_X

(yi− y)2/n < ε (4.24)

onde ε é um valor pequeno, maior que zero, previamente definido. O método completo é dado no fluxograma (4.4).

4.2 Otimiza¸c˜ao de estruturas de materais com-

No documento Criterios de falha e otimização de estruturas de materiais compositos usando o metodo dos elementos de contorno (páginas 102-113)