Lord Brouncker (1620-1684), o primeiro presidente da Royal Society, converteu o resultado de Wallis na fração contínua
Em 1671, o matemático escocês James Gregory obteve a série
... 11 9 7 5 3 11 9 7 5 3 x x x x x x
arctgx , que para |x|d1 é convergente.
Talvez tenha passado desapercebido a Gregory que, para x 1, tem-se ... 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4 S
1674. Gregory tentava provar que é impossível uma solução euclidiana12 do problema da quadratura (EVES, 2004, p. 144).
Em 1777, o conde de Buffon concebeu seu famoso problema da agulha, pelo qual pode-se aproximar S por métodos probabilísticos. O problema consiste no seguinte: suponhamos que se trace num plano horizontal um grande número de retas paralelas equidistantes entre si. Representando por a distância entre duas retas vizinhas quaisquer, Buffon mostrou que a probabilidade de que uma agulha de comprimento caia
cortando uma das retas, quando lançada ao acaso sobre o plano, é dada por
d d l d l p S 2 .
Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e contando quantas caem sobre as retas e quantas caem entre os espaços, ou seja, sem tocar as retas, podemos calcular um valor para experimentalmente. p
Realizando esse experimento um grande número de vezes, obtém-se um valor empírico de p que podemos usar para calcular uma aproximação de S. (EVES, 2004, p. 145).
De fato, essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta numa aproximação bastante aceitável para o valor de S. Alguns pesquisadores se dedicaram a esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximação de 3,1415929 para S após 3408 lançamentos (MACHADO e outros, 2008, p. 43).
Muitos matemáticos, ao longo da História, trataram o S como racional, ou seja, passível de ser transformado em uma fração. Para os egípcios, o valor de S era equivalente a
81 256
, que, na forma decimal, equivale a 3,16. Na Mesopotâmia, esse valor
era 8 25
, ou 3,125. Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III
d.C., conseguiu calcular o valor de S como 120 377
, que é aproximadamente igual a 3,1416,
uma aproximação muito boa para a época.
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12
Solução euclidiana é aquela obtida por meio de construções fundamentadas nos três primeiros postulados de Euclides utilizando apenas uma régua sem escala e um compasso um número finito de vezes.
Em 1768, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), um matemático suíço-alemão, provou a irracionalidade do número S, ou seja, provou que não existem números inteiros
e , tais que
a bz0 S
b a
(MAOR, 2006, p. 247). Sua representação decimal é, então,
infinita e não periódica. Em nosso trabalho não apresentaremos a demonstração da irracionalidade do S, uma vez que a prova de sua irracionalidade não está diretamente relacionada com o problema da quadratura do círculo. Uma prova da irracionalidade do número S pode ser vista em Figueiredo (1985, p. 15) ou em Spivak (v. 2, p. 415).
Segundo Eves (2004, p. 148), no cálculo do S com muitas casas decimais, há outras questões além do desafio envolvido. Antes de 1768, quando se provou que S é irracional, uma das razões era verificar se os dígitos de S começavam a se repetir e, se esse fosse o caso, obtê-lo como um número racional, talvez com um denominador muito grande.
O cálculo do S com o maior número possível de algarismos tem sido um desafio para os matemáticos. A evolução desse cálculo foi surpreendente com a introdução do uso de computadores e algoritmos computacionais, possibilitando determinar um número cada vez maior de casas decimais da representação decimal do número S . Um dos últimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor aproximado de Scom mais de um trilhão de casas decimais.
Atualmente a busca por novos métodos de cálculo de valores aproximados de S
também é outro campo de pesquisas. Quanto mais eficiente for o método, mais rapidamente será possível calcular determinada quantidade de dígitos.
Outra linha de pesquisa consiste em estudar a estatística da distribuição dos dígitos de S, de modo a verificar se eles aparecem aleatoriamente ou se há algum tipo de padrão. Os cálculos já realizados tendem a confirmar a aleatoriedade dos dígitos de S. Examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do S, Kanada e Takahashi obtiveram a seguinte distribuição:
Tabela 3
Algarismo Freqüência Porcentagem
0 20.000.030.841 10,00002% 1 19.999.914.711 9,99996% 2 20.000.136.978 10,00007% 3 20.000.069.393 10,00003% 4 19.999.921.691 9,99996% 5 19.999.917.053 9,99996% 6 19.999.881.515 9,99994% 7 19.999.967.594 9,99998% 8 20.000.291.044 10,00015% 9 19.999.869.180 9,99993% Total 200.000.000.000 100%
Observando a Tabela 3, é possível notar que a freqüência relativa dos algarismos se aproxima muito de 10%, o que evidencia um equilíbrio entre os algarismos, e indica a aleatoriedade dos dígitos de S (MACHADO e outros, 2008, p. 18).
Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o cálculo do S é usado para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir uma computação intensa e precisa, o cálculo de milhões de casas decimais do S pode servir de parâmetro para verificar a velocidade e a confiabilidade dos novos computadores.
Na prática, não é necessário conhecer o valor de S com tantas casas decimais. Na maioria das aplicações, uma aproximação do valor de S com quatro casas decimais, ou seja, S |3,1416, é suficiente para os cálculos envolvendo projetos de construções, desenhos, cálculo de comprimentos, áreas e volumes.
As tentativas de resolver o problema da quadratura do círculo geraram a produção de muitas teorias em diversas áreas da matemática, várias delas envolvendo o número S.
Com o objetivo de apresentar a impossibilidade de se construir um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado, veremos no próximo capítulo a definição de número algébrico e as demonstrações de importantes resultados sobre esses números, que serão utilizados na demonstração da transcendência do número S .