2.2 A Hist´ oria da Matem´ atica nos PCN, PCNEM e PCN+e PCN+
2.3.3 Outros estudiosos que se dedicaram ao problema
Liu Hui
Liu Hiu nasceu na China em 220 a.C. Foi um matem´atico chinˆes de renome. O matem´atico acima citado, solucionou problemas apresentados no livro famoso de ma-tem´atica da China, em sua produ¸c˜ao tamb´em contam alguns problemas relacionados a medi¸c˜ao de distˆancias. Segundo Ferreira (2010) o matem´atico Liu Hiu tamb´em con-tribuiu para os estudos do Problema da Quadratura do C´ırculo.
Alhazen
Alhazen nasceu em 965 e morreu em 1040. Foi um matem´atico e f´ısico ´arabe. O legado deixado por Alhazen ´e bastante vasto. No campo da f´ısica foi o pioneiro da ´optica, seguido de Ptolomeu.
Figura 2.13: Alhazen (905-1040)
Dispon´ıvel em: http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/LensOptics/LensOptics.html. Acesso em abril de 2016.
Um problema matem´atico estudado por Alhazen foi o problema da quadratura do c´ırculo. Ele escreveu um trabalho sobre ´areas de lunares, crescentes formados pela intersec¸c˜ao de dois c´ırculos, e ent˜ao escreveu o primeiro de dois tratados acerca da quadratura do c´ırculo usando lunares. Contudo, ele deve ter percebido que n˜ao conse-guiria resolver o problema, posto que o segundo tratado nunca apareceu.
Francon de Li`ege
Francon de Li`ege foi um matem´atico do s´eculo XI. Francon era Belga. Ele ´e parti-cularmente conhecido por seu trabalho em geometria euclideana, deixando uma grande contribui¸c˜ao sobre a quadratura do c´ırculo.
2. Recorte Te´orico do Tema
Francon apresentou em seu trabalho trˆes contribui¸c˜oes que para ele eram conside-radas defeituosas. O matem´atico disse que o valor de 78 para o lado do quadrado e 108 para o diˆametro da diagonal do c´ırculo nos davam aproxima¸c˜oes pobres para o valor
de⇡. E consegue uma melhor aproxima¸c˜ao para o valor de ⇡⇡3,14159 .
Em sua solu¸c˜ao ele divide o c´ırculo em 44 setores iguais e estes setores colados, formam um retˆangulo de 11 por 14.
Figura 2.14: Solu¸c˜ao de Francon de Li`ege
Nicholas de Cusa
Nicholas de Cusa era Italiano e nasceu em 1401 e morreu em 1464. Nicholas foi matem´atico, fil´osofo e eclesi´astico. Sua contribui¸c˜ao na discuss˜ao do problema da quadratura do c´ırculo ´e not´oria, visto que ele reativou tal discuss˜ao naquela ´epoca.
Figura 2.15: Nicholas de Cusa (1401-1464)
Dispon´ıvel em: http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/LensOptics/LensOptics.html. Acesso em abril de 2016.
O matem´atico Nicholas de Cusa, em seus estudos ao problema, disse que o c´ırculo poderia ser quadrado construindo pol´ıgonos inscritos com o n´umero de lados cada vez maior.
2. Recorte Te´orico do Tema
Johannes Muller Von Konigsberg
Johannes Muller Von Konigsberg nasceu em 1436 e morreu em 1476. Foi um famoso matem´atico alem˜ao daquela ´epoca, al´em de ser astr´ologo e cosm´ografo. Ele fez renascer na Europa os estudos do problema da quadratura do c´ırculo.
Figura 2.16: Johannes Muller Von Konigsberg (1436-1476)
Dispon´ıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes-%C3%BCller-von-K%C3%B6nigsberg. Acesso em abril de 2016.
Johannes publicou o livro intituladoTriangulis omnimodis,em portuguˆes quer dizer: Forma Triangular, esta obra foi dividida em 5 livros, apresentando apˆendices. Em um destes apˆendices estavam as ideias de Nicholas de Cusa, onde logo depois de descrevˆe-las ele refuta e mostra os erros cometidos por Nicholas.
Oronce Fine
Oronce Fine nasceu em 1494 e morreu em 1555. Ele foi um grande matem´atico, astrˆonomo e cart´ografo francˆes. As obras de Oronce s˜ao de grande importˆancia para a Hist´oria da Matem´atica, em suas publica¸c˜oes este matem´atico escreveu da geometria a aritm´etica, bem como quest˜oes relacionadas a cosmografia, astronomia e a constru¸c˜ao de instrumentos.
Uma das obras mais significativas foi a chamada Protomathesis, onde s˜ao tratados problemas de aritm´etica, geometria e astronomia. Em uma parte desta obra, Oronce dedica-se ao problema da quadratura do c´ırculo, ele conseguiu uma melhor aproxima¸c˜ao para o valor de⇡ = 22
7 .
Pedro Nunes Salaciense
Pedro Nunes Salaciense nasceu em 1502 e morreu em 1578. Foi um matem´atico Portuguˆes. Pedro Nunes ´e considerado um dos maiores matem´aticos da ´epoca e ´e bastante conhecido por suas contribui¸c˜oes para o dom´ınio t´ecnico da navega¸c˜ao.
2. Recorte Te´orico do Tema
Figura 2.17: Oronce Fine (1494-1555)
Dispon´ıvel em: http://www.wikiwand.com/en/Hac%C4%B1-Ahmet. Acesso em maio de 2016.
Figura 2.18: Pedro Nunes Salaciense (1502-1578)
Dispon´ıvel em: http://pedronunes.fc.ul.pt/biography.html. Acesso de maio de 2016.
Salaciense tamb´em contribuiu com o problema da quadratura do c´ırculo, onde na sua obra,De erratis Orontii Finaei , critica e explicita as solu¸c˜oes de Oronce Fine para a poss´ıvel solu¸c˜ao dos trˆes problemas cl´assicos da geometria, em especial o problema da quadratura do c´ırculo.
Gregorie de Saint-Vicentet
Gregorie de Saint-Vicentet nasceu em 1584 e morreu em 1667. Foi matem´atico e fil´osofo. No mundo da matem´atica produziu in´umeros trabalhos que contribu´ıram para o desenvolvimento da integra¸c˜ao. O trabalho principal de Gregorie foi o Opus geometricum quadraturae circuli sectionum, este trabalho tinha como principal objetivo a quadratura do c´ırculo.
2. Recorte Te´orico do Tema
Figura 2.19: Gregorie de Saint-Vicentet (1584-1667)
Dispon´ıvel em: http://serge.mehl.free.fr/chrono/GregoireStVincent.html. Acesso em maio de 2016.
Para mostrar que a quadratura do c´ırculo era poss´ıvel, ele tentou usando uma sequˆencia de progress˜ao geom´etrica, ou seja, uma soma infinitamente geom´etrica que produzia ´areas de superf´ıcies planas.
James Gregory
James Gregory nasceu em 1638 e morreu em 1675. Foi um dos matem´aticos mais not´aveis do s´eculo XVII. Ele teve v´arias contribui¸c˜oes no universo matem´atico. Uma de suas publica¸c˜oes foiVera circulli et hip´erboles quadratura. Segundo Ferreira (2010):
(...) James Gregory desenvolveu uma prova usando uma sequˆencia infi-nita convergente, e a id´eia de sequˆencia de ´areas de pol´ıgonos inscritos. Sua prova essencialmente se ap´oia na conjectura de que ⇡ ´e um n´umero transcendente, isto ´e, n˜ao ´e raiz de uma equa¸c˜ao polinomial de coeficientes racionais, contradizendo o matem´atico Huygens que achava que ⇡ era um n´umero alg´ebrico (FERREIRA, 2010, p. 201).
Como vimos, muito tempo se passou na busca de provar a possibilidade da quadra-tura do c´ırculo. Apenas depois de v´arias tentativas de tantos matem´aticos e estudiosos do mundo inteiro, a busca de provar a impossibilidade de solu¸c˜ao abriu espa¸co para grandes pesquisas. O percussor desta busca foi o matem´atico James Gregory.
Johann Heinrich Lambert
Johann Heinrich Lambert nasceu em 1728 e morreu em 1777. Lambert foi ma-tem´atico, f´ısico, astrˆonomo e fil´osofo francˆes. Uma das contribui¸c˜oes mais importantes de Lambert foi a prova da irracionalidade do n´umero ⇡. Outras contribui¸c˜oes deste
2. Recorte Te´orico do Tema
Figura 2.20: James Gregory(1638-1674)
Dispon´ıvel em: http://serge.mehl.free.fr/chrono/GregoireStVincent.html. Acesso em maio de 2016.
Figura 2.21: Vera Circuli et Hyperoble e quadratura
Dispon´ıvel em: https://en.wikipedia.org/wiki/James-Gregory-(mathematician. Acesso em maio de 2016.
matem´atico foram o desenvolvimento da geometria hiperb´olica, conjecturas a respeito do espa¸co n˜ao euclidiano, teoremas sobre as sec¸c˜oes cˆonicas que resultavam o c´alculo das ´orbitas dos cometas.
Segundo Boyer (1974):
A primeira prova, apresentada `a Academia de Berlim em 1761, de que ⇡ ´e um n´umero irracional. (Euler em 1737 tinha mostrado que e´e irracional.) Lambert mostrou que se x´e um n´umero racional n˜ao-nulo ent˜ao tanx n˜ao pode ser racional. Como tan⇡4 = 1, um n´umero racional, segue- se que ⇡4 n˜ao pode ser racional, portanto ⇡ t˜ao pouco (BOYER, 1974, p. 340).
Vale ressaltar que apesar deste grande avan¸co da matem´atica, essa descoberta de Lambert n˜ao resolvia a quest˜ao da quadratura do c´ırculo, pois irracionalidades podem ser constru´ıdas com r´egua e compasso por exemplop
2. Recorte Te´orico do Tema
Figura 2.22: Johann Heinrich Lambert (1728-1777)
Dispon´ıvel em: http://desciclopedia.org/wiki/Johann-Heinrich-Lambert. Acesso em maio de 2016.
Augustus De Morgan
Augustus De Morgan nasceu em 1806 e morreu em 1871. De Morgan foi matem´atico e l´ogico indiano e deixou v´arias contribui¸c˜oes para a matem´atica, dentre as quais podemos citar Elements of Arithmetic, Induction (Mathematics), Trigonometry and
double ´algebra e Budget of Paradoxes. Esta ´ultima publica¸c˜ao foi ap´os sua morte
e segundo Ferreira (2010) nela h´a v´arias hist´orias muito interessantes da tentativa de solu¸c˜ao do problema da quadratura do c´ırculo, declarando assim a morte da quadratura do c´ırculo.
Figura 2.23: Augustus De Morgan(1806-1871)
Dispon´ıvel em: http://ecalculo.if.usp.br/historia/morgan.htm. Acesso em maio de 2016.
Ferdinand von Lindemann
Lindemann nasceu em 1852 e morreu em 1939. Foi um matem´atico alem˜ao e destaca-se na hist´oria da matem´atica pela brilhante prova que o n´umero ⇡ ´e trans-cendente, isto ´e, n˜ao ´e raiz de qualquer equa¸c˜ao alg´ebrica com coeficientes racionais.
2. Recorte Te´orico do Tema
Figura 2.24: Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Dispon´ıvel em: http://apprendre-math.info/portugal/historyDetail.htm?id=Lindemann. Acesso em maio de 2016.
A prova da transcendˆencia do n´umero⇡ dada pelo matem´atico Lindemann foi feita atrav´es das contribui¸c˜oes de Euler, que j´a havia provado que o n´umero ⇡ era solu¸c˜ao da equa¸c˜ao eix+ 1 = 0 . Segundo Oliveira (2013), Lindemann prova que esta equa¸c˜ao n˜ao podia ser satisfeita para qualquer valor alg´ebrico, concluindo assim que ⇡ era um n´umero transcendente e consequentemente a quadratura do c´ırculo era imposs´ıvel.