neares com Estrutura OBF
5.2.5 Outros Sistemas
60 70 80 90 100
Identificação Subsistema Umidade Relativa Interna
Amostras
Umidade Relativa Interna (%)
Sistema Modelo
Figura 5.30: Identifica¸c˜ao do Subsistema Umidade
5.2.5 Outros Sistemas
Um estudo de caso envolvendo a sele¸c˜ao de p´olos em um sistema MISO ´e apresentado. O sistema tem trˆes entradas e uma sa´ıda, e as fun¸c˜oes transferˆencia relacionando cada entrada com a sa´ıda s˜ao dadas por:
y(z) = 0.1459z 3 + 0.1313z2 + 0.02771z − 0.00423 z4− 1.7z3+ 1.753z2− 1.068z + 0.3161 u1(z) +−0.2548z 2 + 0.1911z + 0.1822 z3− 1.4z2+ 0.6724z − 0.1539u2(z)+ −0.6155z4 + 1.323z3 − 0.7309z2 − 0.02993z + 0.09752 z5− 1.96z4+ 1.552z3− 0.7342z2+ 0.2091z − 0.02205u3(z) +ξ(z)
onde y(z) ´e o sinal de sa´ıda e ui(z), i = 1, 2, 3 s˜ao os sinais de entrada. ξ(z) ´e um sinal de perturba¸c˜ao, com distribui¸c˜ao normal, m´edia zero e desvio padr˜ao igual a 0.1. Um conjunto de trˆes sinais de entrada (sinais aleat´orios, com 100 amostras, distribui¸c˜ao normal, m´edia zero e desvio padr˜ao igual a 1) juntamente com a sa´ıda do sistema s˜ao os dados necess´arios para a sele¸c˜ao dos p´olos. Para fins de ilustrar a aplicabilidade do m´etodo em diferentes bases, fixou-se que a rela¸c˜ao entre u1 e y ´e modelada utilizando-se
5.2 Sistemas T´ermicos 74
Tabela 5.1: Resultados para Diferentes Estruturas de Modelos
N´umero de Bases ´ındice (×10−2)
Kautz Lag. GOBF MSE FPE
10 6 12 0.639 1.14 8 8 8 0.678 1.11 10 7 8 0.695 1.16 10 6 8 0.703 1.15 8 7 8 0.725 1.16 8 6 8 0.727 1.14 6 4 9 1.11 1.64 6 4 8 1.17 1.69 6 4 6 1.46 2.01 4 3 8 1.97 2.66 4 3 6 2.15 2.80
a base de Kautz, entre u2 e y a base de Laguerre e entre u3 e y a base GOBF com 4 p´olos reais (com possibilidade de serem distintos). Cada uma das trˆes bases foi constru´ıda com oito fun¸c˜oes.
Os p´olos das trˆes bases foram selecionados utilizando-se o m´etodo proposto em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2007a). Os valores obtidos para os p´olos s˜ao: 0.17 + 0.58i para a base de Kautz, 0.45 para a base de Laguerre e −0.3, 0.88, 0.13, 0.12 para base GOBF. O MSE entre a sa´ıda do sistema e a do modelo, utilizando-se previs˜ao livre ´e 6.78 × 10−3
.
Adicionalmente, na Tabela 5.1 encontram-se resultados da aproxima¸c˜ao do modelo utilizando bases ortonormais com diferentes n´umeros de fun¸c˜oes.
Para a valida¸c˜ao do modelo, outro conjunto de dados foi gerado. Os novos sinais de entrada possuem as mesmas caracter´ısticas daqueles utilizados para gerar os dados de identifica¸c˜ao. Para a valida¸c˜ao, o MSE entre a sa´ıda do sistema e a do modelo (tamb´em utilizando previs˜ao livre) ´e 7.78 × 10−3
. A Fig. 5.31 cont´em os sinais de sa´ıda e a previs˜ao modelo, assim como o erro absoluto entre estes sinais. Estes resultados mostram que o modelo obtido, com poucos parˆametros devido a sele¸c˜ao inicial adequada de p´olos para as bases, ´e v´alido para representar o sistema. Mais detalhes sobre esta identifica¸c˜ao foram publicadas em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2008a).
5.2 Sistemas T´ermicos 75 0 20 40 60 80 100 −2 −1 0 1 2 3
Saídas do Sistema e do Modelo Sistema Modelo 0 20 40 60 80 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Amostras Erro Absoluto
76
6 Conclus˜ao
A id´eia de utilizar bases de fun¸c˜oes ortonormais na representa¸c˜ao de sistemas ´e um campo antigo, por´em teve grande repercus˜ao ap´os a d´ecada de 90. Apesar de ter conheci-mento amplo, ainda ´e explorado por poucos grupos de pesquisa no Brasil. Este conceito vem sendo utilizado na representa¸c˜ao e modelagem de sistemas em diferentes ´areas da engenharia.
Aliada `as caracter´ısticas e vantagens das bases de fun¸c˜oes ortonormais formadas por fun¸c˜oes internas com v´arias dinˆamicas descritas neste documento, estudos apresentados visam analisar e melhorar o desempenho dos modelos em quest˜ao. As frentes de estudo foram divididas em duas partes: dom´ınio do tempo e dom´ınio da freq¨uˆencia. O desen-volvimento matem´atico referente a ambos os dom´ınios foi ent˜ao descrito.
A fim de facilitar a aplicabilidade, por terceiros, dos resultados em sistemas reais e de interesse atualmente nos processos, foram desenvolvidas interfaces gr´aficas e rotinas computacionais que trabalham em conjunto, facilitando a aplica¸c˜ao desta estrutura de modelos para sistemas dinˆamicos. O essencial para a obten¸c˜ao dos modelos foi encapsu-lado em um ambiente computacional.
De fato, um passo importante na identifica¸c˜ao de um sistema dinˆamico usando bases ortonormais ´e a sele¸c˜ao dos p´olos das fun¸c˜oes. Isto ´e devido ao fato que as fun¸c˜oes de transferˆencias geradas por tal m´etodo necessitam que seus p´olos sejam adequadamente alo-cados para que a s´erie de fun¸c˜oes que represente o sistema possua uma boa convergˆencia. Neste sentido, um algoritmo h´ıbrido, baseado em inteligˆencia artificial, foi utilizado para que a aloca¸c˜ao dos p´olos fosse feita de maneira mais precisa e de forma a obter baixas dimens˜oes para os sistemas estudados. Por fim, diversos exemplos mostraram a aplica-bilidade e validade da teoria, algoritmo e software propostos em diversas ´areas, tanto no dom´ınio do tempo, quanto no da freq¨uˆencia. Todos os modelos (que s˜ao de previs˜ao livre) obtidos permitem a aplica¸c˜ao GOBF em sistemas el´etricos, em particular linhas de transmiss˜ao e transformadores, em sistemas SISO e MISO, em sistemas eletro-mecˆanicos
6.1 Trabalhos Futuros 77
e sistema t´ermicos s˜ao descritos, evidenciando a aplicabilidade dos resultados obtidos.
6.1 Trabalhos Futuros
Trabalhos futuros na ´area de identifica¸c˜ao de sistemas usando bases de fun¸c˜oes ortonor-mais incluem:
1. Compara¸c˜ao de desempenho entre modelos GOBF e outras estruturas para identi-fica¸c˜ao de sistemas j´a propostas.
2. Compara¸c˜ao entre o m´etodo de sele¸c˜ao de p´olos GOBF proposto e os j´a abordados na literatura.
3. Estudo da influˆencia, na sele¸c˜ao de p´olos, dos parˆametros pertinentes aos algoritmos utilizados para as otimiza¸c˜oes.
4. Flexibilidade para que possa ser utilizada a previs˜ao um passo a frente nas identi-fica¸c˜oes, o que pode ser desej´avel em alguns casos.
5. Sele¸c˜ao de p´olos na freq¨uˆencia com base na an´alise dos seus respectivos espectros, de forma a pelo menos obter parˆametros iniciais para os algoritmos de otimiza¸c˜ao.
6. Apesar de conclu´ıdo para a finalidade `a qual foi proposto, o software pode agre-gar mais interfaces, como as apresentadas nas figuras 6.1, 6.2, 6.3. S˜ao interfaces semi-acabadas e com linhas de c´odigo j´a embutidas, que necessitam ter seus parˆametros corre-tamente lidos, formatados e enviados `as respectivas rotinas.
6.1 Trabalhos Futuros 78
6.1 Trabalhos Futuros 79
6.1 Trabalhos Futuros 80
81
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