Sumário 1 Introdução
C. Parâmetros Térmicos 293 1 Geometria de Setor Anular
C.2. Geometria de Setor Circular ... 342 C.3. Geometria Anular Concêntrica ... 349 C.4. Geometria Bicônica ... 355
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Introdução
1.1. Considerações Gerais
Desde os primórdios da humanidade, o homem sempre buscou retirar suas concepções e idéias em relação ao seu habitat, a partir da observação e compreensão dos fenômenos naturais. Graças ao espírito inquiridor de pensadores que defendiam arduamente uma descrição quantitativa e dedutiva desses fenômenos em detrimento às descrições apenas qualitativas e factuais da natureza, as ciências físicas progrediram substancialmente.
A Mecânica é um ramo das ciências físicas que está associada com o estado de inércia de corpos submetidos à ação de forças. Ela é a mais antiga e importante das ciências físicas. Suas origens históricas se confundem com o surgimento da Engenharia. Pesquisas científicas e avanços tecnológicos na área de ciências exatas estão fortemente vinculados aos princípios básicos da Mecânica. Estes princípios incorporam o rigor da Matemática e da Física, das quais são altamente dependentes, e são empregados em muitas áreas da Engenharia.
Neste contexto, uma importante linha de pesquisa no meio científico-tecnológico é a obtenção de técnicas e procedimentos que possibilitem a interpretação mais realista possível
dos fenômenos naturais, proporcionando assim, resultados precisos e confiáveis. Em particular, a solução de problemas difusivos e difusivo-convectivos sempre representou
um grande desafio à Engenharia Mecânica, uma vez que, as equações diferenciais fundamentais que regem os princípios de conservação são, via de regra, de difícil solução.
Com a evolução dos equipamentos e das ferramentas computacionais ocorrida nas últimas décadas, diversas técnicas e metodologias numéricas foram propostas e desenvolvidas para a obtenção de soluções mais precisas de problemas que apresentavam estruturas complexas. Entretanto, essas técnicas apresentam certas desvantagens, tais como: um esforço computacional muito grande, longo tempo de processamento, instabilidade numérica, convergência mais lenta e dificuldades na elaboração de algoritmos numéricos.
Recentemente, as técnicas híbridas analítico-numéricas vêm ganhando destaque em diversas áreas de interesse da Engenharia por garantirem precisão e confiabilidade nos resultados por elas obtidos. Em particular, a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG (COTTA, 1998), é uma ferramenta com estas características e vêm demonstrando ser eficaz na solução de problemas de Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor e Massa, os quais, geralmente, não possuem solução pelas técnicas analíticas clássicas. A TTIG permite um tratamento analítico elegante e formal proporcionando um menor esforço numérico- computacional para a obtenção de solução de problemas.
1.2. Motivação
Como mencionado anteriormente, as técnicas numéricas apresentam, de maneira geral, uma estrutura que permite a obtenção de resultados, mesmo que aproximados, para problemas mais complexos. Apesar das dificuldades decorrentes do enorme esforço computacional, da instabilidade numérica e da convergência mais lenta, estas técnicas se desenvolveram rapidamente, uma vez que atendem satisfatoriamente as necessidades do engenheiro e/ou do projetista. Porém, diversos pesquisadores estão concentrando seus esforços no desenvolvimento de estruturas analíticas e/ou híbridas analítico-numérica que permitam a solução destes problemas com um alto grau de confiabilidade e um menor esforço computacional.
Neste contexto, propõe-se para o presente trabalho, a composição de duas ferramentas matemáticas para a obtenção de solução de uma classe de problemas difusivo-convectivos de difícil solução. Mais precisamente, analisa-se o problema de escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento de fluidos Newtonianos em dutos cuja seção transversal apresenta um contorno de geometria não-convencional (bicônica e setor anular). Para facilitar a aplicação das condições de contorno, proceder-se-á uma mudança de variáveis através de um sistema de coordenadas que seja resultado de uma Transformação Conforme – TC. Este procedimento simplifica o tratamento dos operadores Laplacianos no novo sistema de coordenadas. Para a obtenção de solução das equações diferenciais que caracterizam os problemas hidrodinâmicos e térmicos utiliza-se a Transformada Integral.
Sendo assim, a grande motivação deste trabalho, reside justamente nesta composição, visto que permite um tratamento analítico formal e elegante e os resultados numéricos podem ser obtidos rapidamente, através de computadores pessoais comuns, com pouco esforço computacional.
1.3. Objetivos
O presente trabalho tem como objetivo a obtenção de solução de uma classe de problemas difusivo-convectivos em domínios de geometrias não-convencionais através da aplicação da Transformada Integral e da Transformação Conforme. Para tal, analisam-se os seguintes problemas:
1.3.1. Problemas Hidrodinâmicos
Determinação do perfil de velocidades, do fator de atrito de Fanning, do fator de Hagenbach, do número de Poiseuille, do comprimento de entrada hidrodinâmico e da queda de pressão, para o escoamento laminar interno hidrodinamicamente desenvolvido de fluidos Newtonianos.
1.3.2. Problemas Difusivo-Convectivos
Determinação da distribuição de temperatura, dos números de Nusselt local e médio e do comprimento de entrada térmica, para escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento, para fluidos Newtonianos no interior de dutos submetidos a condições de temperatura prescrita na parede e perfil de temperatura de entrada uniforme.
1.4. Organização do Trabalho
No Capítulo 2 apresenta-se um breve histórico da Transformada Integral e, uma revisão da literatura citando alguns trabalhos publicados recentemente referentes à aplicação da TTIG na solução de problemas na Engenharia.
O Capítulo 3 se dedica à apresentação dos fundamentos e formalismos matemáticos empregados na aplicação da TTIG e da Transformação Conforme.
No Capítulo 4, analisam-se os problemas hidrodinâmicos de escoamento laminar plenamente desenvolvido de fluidos Newtonianos no interior de dutos de geometrias não- convencionais.
O Capítulo 5 trata do estudo dos problemas difusivo-convectivos relacionados à transferência de calor do escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento de fluido Newtonianos no interior de dutos de geometrias não-convencionais submetidos a condições de contorno de Dirichlet e perfil de temperatura de entrada uniforme.
No Capítulo 6 efetuam-se as conclusões do trabalho e sugestões para futuras investigações.
No Apêndice A apresentam-se as tabelas provenientes da análise da taxa de convergência das séries resultantes da aplicação da TTIG na equação governante dos problemas estudados.
O Apêndice B fornece os resultados numéricos obtidos para o fator de atrito de Fanning, o número de Poiseuille, as velocidades adimensionais média e máxima, a posição da velocidade máxima, o fator de Hagenbach e o comprimento de entrada hidrodinâmico.
E, finalmente, no Apêndice C apresentam-se os resultados numéricos obtidos para a temperatura adimensional média de mistura e os números de Nusselt médio e local.