CAPÍTULO 5 FATORES DE ATRITO
5.3.6 Perfil de velocidades no escoamento laminar, isotérmico e plenamente desenvolvido de fluido HB
As distribuições de velocidade foram obtidas para uma variedade de índices de comportamento (0,2 ≤ n ≤ 2,0), relação de raios do espaço anular (0,01≤ κ ≤ 0,99) e valores de
0
T (0,02 ≤T0 ≤ 0,5). As velocidades locais para qualquer posição radial foram obtidas resolvendo as Eqs. (5.72) e (5.73). A função adimensional da vazão volumétrica Ωhb
(
T0,n,κ)
foi estimada pela Eq. (5.71) e os valores de λ(
T0,n,κ)
foram calculados com a Eq. (5.61). A especificação de κ , n e T define exclusivamente os valores 0 λ , λ e 1 λ , e consequentemente os de 2 Ω , hb v e z v . zOs resultados numéricos são apresentados a seguir na Figura 5.10, incluindo as faixas testadas nos experimentos de perda de carga. Sendo assim, os perfis numéricos de velocidade são apresentados
em função da posição radial, para κ = 0,23 (T0 = 0,0475, 0,1053 e 0,2054).
Sabe-se que para escoamento laminar de fluidos HB em tubos, o perfil de velocidade axial é caracterizado por uma região empistonada, conforme discutido exaustivamente, o famoso plug flow. NOUAR et al. (1994) mostraram que o raio desta região, correspondente ao local de máxima velocidade do fluido, depende do índice de comportamento do modelo da Lei da Potência e do número de Herschel-Bulkley, definido como Hb=
(
τ0 K)(
Dh 2vz)
n. Com o aumento da vazão, as forças viscosas se elevam, reduzindo o raio da zona tampão. O perfil de velocidade axial fica, então, menos achatado e a razão entre a velocidade na zona tampão e a velocidade média aumenta. Assim, para um valor de n fixo, a elevação de Hb provoca um aumento da dimensão da zona empistonada, diminuindo a velocidade e tornando o perfil mais achatado. Para fluxo anular, um comportamento similar é observado. Com o aumento do parâmetro T0, o perfil de velocidade axial torna-se maisachatado, aumentando, portanto, o raio da região empistonada. O parâmetro T0 representa
justamente a relação entre a tensão residual e a tensão na parede, ou seja, T0 = τ0 τp = rp R. Sendo assim, quanto maior a vazão volumétrica, maiores serão a perda de carga e a tensão na parede e, portanto, o raio do escoamento pistonado (r ) diminui. Por outro lado, quanto menores as p
vazões, menores serão o ∆ e a P τ , portanto, o raio da zona tampão aumenta. p
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 κ = 0,23 τ0 = 4,074 Pa n = 0,556 T0 = 0,0475 T0 = 0,1053 T0 = 0,2054 vz local / vz méd ia r*
Figura 5.10. Perfis de velocidade isotérmicos para fluidos HB nas condições experimentais obtidas durante as medições de perda de carga do suco de maracujá a 39,9 ºBrix escoando em regime laminar, permanente, isotérmico e plenamente desenvolvido por ânulos concêntricos.
O caso limite em que n = 1 e T0 = 0 corresponde ao fluxo Newtoniano em ânulos e
obviamente não apresenta uma região de escoamento tampão. A combinação das Eqs. (5.72) e (5.73) para n = 1 e T0 = 0 leva à solução exata de fluxo Newtoniano em ânulos, sendo que os
resultados numéricos para os perfis de velocidade foram similares aos resultados analíticos. Adicionalmente, a combinação das Eqs. (5.72) e (5.73) para n > 1 e T0 = 0 conduz ao caso
pseudoplástico, assim como o rearranjo destas equações para n = 1 e T0 > 0 (plástico de Bingham),
sendo ambos os casos apresentados por FREDRICKSON e BIRD (1958a). De acordo com a Figura 5.11(a) e (b), quando o índice de comportamento aumenta, mantendo-se os outros parâmetros fixos, ocorre um aumento no valor da velocidade na linha central do espaço anular e o perfil de velocidade
z z v
v se torna menos achatado, o que é justificado pela redução dos gradientes de velocidade distantes da parede do tubo. Por outro lado, conforme o parâmetro T0 é aumentado, um alargamento
correspondente da região empistonada ocorre e o perfil de velocidade fica mais achatado devido a uma diminuição nos gradientes de velocidade nas proximidades da parede do tubo, principalmente na parte interna do tubo. Como o parâmetro n é fixo pela reologia do fluido e κ é fixado pela geometria de um ânulo particular, T0 torna-se um parâmetro de trabalho, essencialmente refletindo o
efeito de τ0 (HANKS, 1979). Em relação ao efeito da geometria do sistema no perfil de velocidade,
observa-se que quanto maiores os valores da relação de raios do ânulo, mais simétrico torna-se o perfil de velocidade (VIANA et al., 2001), como pode ser observado a seguir na Figura 5.11(a) e (b). 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 κ = 0,2, n = 0,1, T0 = 0,00 - PL κ = 0,2, n = 0,1, T0 = 0,35 - HB κ = 0,2, n = 1,0, T0 = 0,00 - Newtoniano κ = 0,2, n = 1,0, T0 = 0,35 - Bingham vz lo cal / vz méd ia r* 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 κ = 0,5, n = 0,1, T0 = 0,00 - PL κ = 0,5, n = 0,1, T0 = 0,35 - HB κ = 0,5, n = 1,0, T0 = 0,00 - Newtoniano κ = 0,5, n = 1,0, T0 = 0,35 - Bingham vz lo cal / vz méd ia r* (a) (b)
Figura 5.11. Perfis de velocidade isotérmicos para fluidos Newtoniano (n = 1,0 e T0 = 0), PL (n = 0,1 e T0 =
0), Bingham (n = 1,0 e T0 = 0,35) e HB (n = 0,1 e T0 = 0,35) escoando em regime laminar e plenamente
5.4 CONCLUSÕES
Valores experimentais de perda de carga foram obtidos no escoamento laminar e permanente dos sucos de maracujá e de graviola em regiões circulares e anulares concêntricas. A partir das medidas de queda de pressão, os fatores de atrito experimentais foram calculados e comparados com os fatores de atrito estimados através de equações analíticas e semi-analíticas. Para ambos os sucos investigados, o perfil de velocidades estava plenamente desenvolvido na entrada das seções de teste. Os ensaios com o suco de maracujá foram realizados em condições isotérmicas, enquanto que para o suco de graviola, os testes de escoamento foram não-isotérmicos. Neste caso, observou- se que, devido ao aquecimento do suco, os índices de consistência sofreram ligeira variação entre a entrada e a saída das seções de teste, sendo a diferença máxima encontrada para os valores de K entre a entrada e a saída inferior a 20,0 %, para ambas as geometrias consideradas. Provavelmente, a diminuição do índice de consistência provocou a alteração do perfil de velocidades ao longo das seções de teste, o que pode representar uma fonte de erros na estimativa do fator de atrito isotérmico. No entanto, este evento parece não ter sido expressivo no cálculo das perdas de carga, pois as comparações entre os dados experimentais e teóricos foram razoáveis (RMS = 10,4 %).
Para o caso do suco de graviola (Lei da Potência) escoando em tubos, as comparações entre os dados experimentais e teóricos foram satisfatórias (RMS = 10,4 %), validando, assim, o protótipo experimental para as medidas de perda de carga e confirmando a veracidade das medidas reológicas apresentadas no Capitulo 4. Para o caso do suco de maracujá, representado pelo modelo de Herschel-Bulkley, escoando em dutos circulares, as relações teóricas de HANKS (1978) mostraram-se aceitáveis para o cálculo do fator de atrito (RMS = 8,0 %) e, além de serem validadas através dos resultados experimentais, indicaram que o modelo reológico HB é definitivamente o mais adequado para descrever o comportamento reológico do suco de maracujá, visto que as expressões para fluidos PL resultaram em somatória quadrática de resíduos ligeiramente superior (RMS = 13,6 %) na comparação entre os fatores de atrito experimentais e teóricos. De acordo com HANKS (1978), o fator de atrito é estimado pela Eq. (5.22), as funções ψ1 e ψ são calculadas,
respectivamente, pelas Eqs. (5.21) e (5.23), enquanto a relação entre tensão residual e tensão de cisalhamento na parede (ζ0) é avaliada por iteração da Eq. (5.24), com o número de Hedstrom dado
pela Eq. (5.25). De qualquer forma, o modelo PL pode ser utilizado para as predições da perda de carga em dutos circulares, porém com uma margem de erro em torno de 15 %.
Para o suco de graviola (Lei da Potência) escoando em regiões anulares, várias metodologias foram testadas (FREDRICKSON e BIRD, 1958b; KOZICKI et al., 1966, TUOC e MCGIVEN,
1994 e DELPLACE e LEULIET, 1995) e proporcionaram boa precisão, além de resultados similares entre si (RMS≅ 10,4 %). Concluiu-se que a maneira mais simples e rápida para obter o fator de atrito é dada por DELPLACE e LEULIET (1995). Neste caso, o fator de atrito é dado pela Eq. (5.51), o número de Reynolds pela Eq. (5.52) e as funções φ(n,κ), ξ(κ) e υ(κ) são estimadas pelas Eqs. (5.53), (5.54) e (5.57), respectivamente. A concordância satisfatória entre os dados experimentais e os valores teóricos de fator de atrito pode ser vista como um indicativo de confiança no protótipo experimental utilizado para as medidas de perda de carga nas regiões anulares concêntricas.
Para o suco de maracujá, representado pelo modelo de Herschel-Bulkley, escoando em ânulos concêntricos, observa-se que as expressões teóricas, dadas pelas Eqs. (5.74) e (5.75), as quais foram obtidas a partir do desenvolvimento da equação de momento, proporcionam melhores resultados (RMS=10,7 %) em relação àqueles utilizando o conceito do raio hidráulico (RMS=17,1 %). No entanto, a estimativa do número de Reynolds pela Eq. (5.75) requer a solução numérica das funções λ(T0,n,κ) e Ωhb(T0,n,κ) através das Eqs. (5.61) e (5.71), respectivamente, assim, propõe-se a
Tabela A.1 para estimativa do parâmetro Ωhb(T0,n,κ). Portanto, o fator de atrito para escoamento
isotérmico, laminar, incompressível e plenamente desenvolvido de um fluido HB em ânulos concêntricos poderá ser obtido de forma rápida e precisa, utilizando diretamente as Eqs. (5.74) e (5.75) e os valores de Ωhb(T0,n,κ) extraídos da Tabela A.1 para uma série de valores de n, T0 e κ.
Finalmente, observou-se que a metodologia de DELPLACE e LEULIET (1995), válida para escoamento de fluidos PL em ânulos, também pode ser utilizada para a estimativa do fator de atrito teórico do suco de maracujá, no entanto, a precisão neste caso é de aproximadamente 16,0 %.