Perspectiva da Mãe

Parmi toutes les s´equences pouvant ˆetre construites `a partir des huit nœuds de la boˆıte min-max, certaines ne mod´elisent pas des formes de relief mais des formes incoh´erentes, soit vis-`a-vis de la boˆıte min-max, soit parce qu’elles correspondent `a des aberrations physiques. Nous d´esignons par s´equences irr´eguli`eres de telles s´equences. Les s´equences r´eguli`eres sont celles susceptibles de mod´eliser une forme de relief.

D´efinition 30 Une s´equence r´eguli`ererenvoie `a une forme de relief physiquement coh´erente et observable. Elle remplit les conditions suivantes :

1. Un motif mod´elis´e par une s´equence r´eguli`ere n’a pas d’auto-intersection (cf. figure 5.11). En effet, une silhouette repr´esente la limite entre le ciel et la terre et n’admet donc pas de cycle. Cette propri´et´e inclut le fait qu’un mˆeme nœud ne peut pas ˆetre pr´esent plus d’une fois dans une s´equence r´eguli`ere ;

Figure 5.11 —Exemple d’auto-intersection dans une s´equence irr´eguli`ere.

2. Afin d’ˆetre coh´erent avec la boˆıte min-max, une s´equence r´eguli`ere inclut au moins un nœud de chacun des quatre cˆot´es (cf. figure 5.12). En effet, par construction, un motif contient pour le cˆot´e gauche (respectivement droit, haut, bas) au moins un point de mesure tel qu’aucun autre point de mesure plus `a gauche, (resp. droite, haut, bas).

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CHAPITRE 5. UN MOD `ELE QUALITATIF POUR LA DESCRIPTION

S ´EMANTIQUE DU RELIEF

Figure 5.12 —Exemple de s´equence irr´eguli`ere qui n’inclut pas au moins un nœud du cˆot´e droit de la boˆıte min-max.

Nous d´eterminons le nombre de s´equences r´eguli`eres par un algorithme r´ecursif qui iden-tifie les s´equences sans intersection, i.e., qui remplissent le premier crit`ere ci-dessus, et qui retire les s´equences qui ne respectent pas le second crit`ere.

Construisons une s´equence de nœuds parmi V ={LT, T, RT, R, RD, D, LD, L}. Le choix du premier nœud restreint le choix du deuxi`eme nœud parmiP₁, l’ensemble des sept nœuds restants (cf. figure 5.13, gauche). Par exemple, une s´equence dont le premier nœud estLT

restreint le choix du suivant parmi T,RT,R,RD,D,LD ouL.

Il faut consid´erer, pour le choix du troisi`eme nœud, deux sous-ensembles diff´erents de nœuds connect´es et ordonn´es P2 et Q2 (cf. figure 5.13, droite). Afin de respecter le crit`ere de non auto-intersection de la s´equence, le choix du troisi`eme nœud dans P<sub>2</sub> ou Q<sub>2</sub> res-treint le choix du quatri`eme nœud dans le sous-ensemble choisi. Cette restriction s’applique r´ecursivement pour le choix des nœuds restant. Ainsi, le nombre de s´equences qui peuvent ˆ

etre construites une fois effectu´e le choix du second nœud est ´egal au nombre de s´equences qui peuvent ˆetre construites si le troisi`eme nœud est choisi dans P2 plus le nombre de s´equences qui peuvent ˆetre construites si le troisi`eme nœud est choisi dans Q₂.

Figure 5.13 —Choix du premier et du deuxi`eme nœud.

Consid´erons le cas o`u le troisi`eme nœud est choisi dans P₂. Puisque P₂ est ordonn´e, ses nœuds sont ´enum´er´es de v₁ `a v<sub>n</sub> avec n la cardinalit´e de P<sub>2</sub>. Notons k le rang du troisi`eme

5.4. MOD ´ELISATION DES CAT ´EGORIES 101

nœud dansP2. Alors,P2 est `a son tour s´epar´e en deux sous-ensembles connect´es et ordonn´es

P₃ etQ₃ dont les cardinalit´es respectives sont k−1 et n−k avec 1≤k≤n. La figure 5.14 illustre ce m´ecanisme dans le cas o`u n= 6 etk= 3.

Figure 5.14 —Choix du nœudvket d´erivation de deux nouveaux sous-ensembles connect´es et ordonn´es, pourn= 6 etk= 3.

Ainsi, le nombre not´eµnde s´equences sans auto-intersections que nous pouvons construire en choisissant le i^`eme nœud parmi lesnnœuds restant est la somme de trois termes, issue du constat suivant :

1. nous pouvons construire ns´equences si on d´ecide de s’arrˆeter aui^`eme nœud ;

2. nous pouvons construire µk−1 s´equences en choisissant le (i+ 1)<sup>`eme</sup> dans Pn,k variant de 1 `an;

3. nous pouvons construire µ_n−k s´equences en choisissant le (i+ 1)<sup>`eme</sup> dans Q<sub>n</sub>, kvariant de 1 `an.

Appliqu´e r´ecursivement, cela nous donne l’expression suivante deµn.

µ_n=n+

n

X

k=1

(µ_k−1+µ_n−k)

Avecµ₀ = 0,µ_n est obtenu par it´eration pour 0≤n≤7.

µ₀ = 0 µ1 = 1 µ₂ = 4 µ3 = 13 µ₄ = 40 µ₅ = 121 µ6 = 364 µ₇ = 1093

Le premier nœud est choisi librement parmi les huit nœuds de la boˆıte min-max, puis le deuxi`eme est choisi dans le sous-ensemble connect´e et ordonn´e de sept nœuds. Par cons´equent, nous pouvons construire 8.(1 +µ₇) = 8752 s´equences sans auto-intersection.

Nous avons impl´ement´e (en Java) le m´ecanisme d´ecrit dans cette section pour identifier chacune des s´equences sans auto-intersection. Parmi les 8752 s´equences identifi´ees, nous avons

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CHAPITRE 5. UN MOD `ELE QUALITATIF POUR LA DESCRIPTION

S ´EMANTIQUE DU RELIEF

v´erifi´e que 756 n’avaient pas d’intersection avec au moins un des cˆot´es de la boˆıte min-max, i.e., elles n’incluaient pas un nœud dans chacun des sous-ensembles{LT, L, LD},{LT, T, RT},

{RT, R, RD} et{LD, D, RD} (cf. figure 5.15).

Figure 5.15 —Les quatres cˆotes de la boˆıte min-max et les nœuds correspondants.

Nous avons conserv´e quatre s´equences particuli`eres que nous consid´erons comme r´eguli`eres bien que notre programme nous ait indiqu´e qu’elles n’intersectaient pas les quatre cˆot´es de la boˆıte min-max. Il s’agit des quatre s´equences repr´esentant un segment vertical (du haut vers le bas ou du bas vers le haut) ou horizontal (de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche). Par convention, nous choisissons de mod´eliser les deux segments verticaux par les deux s´equences (T, D) et (D, T) et les segments horizontaux par les s´equences (L, R) et (R, L). Les diff´erentes s´equences mod´elisant les segments verticaux ou horizontaux sont list´ees dans le tableau 5.5.

Segment ^{Vertical, de} haut en bas Vertical, de bas en haut Horizontal, de la gauche vers la droite Horizontal, de la droite vers la gauche repr´esentation sch´ematique s´equences possibles (T,D) (LT, LD) (RT, RD) (D,T) (LD, LT) (RD, RT) (L,R) (LD, RD) (LT, RT) (R,L) (RD, LD) (RT, LT)

Tableau 5.5 — Les diff´erentes s´equences mod´elisant les segments verticaux et horizon-taux. La premi`ere s´equence (en gras) correspond `a la mod´elisation que nous privil´egions par convention. Les fl`eches repr´esentent le sens de parcours de la silhouette de fa¸con `a ce que la

5.4. MOD ´ELISATION DES CAT ´EGORIES 103

Nous pouvons remarquer que, lorsque dans une s´equence un segment relie deux coins non diagonalement oppos´es, il passe n´ecessairement par un nœud interm´ediaire. Les s´equences (LT, RT), (RT, RD), (RD, LD), (LD, LT), (LT, LD), (LD, RD), (RD, RT) et (RT, LT)) passent respectivement par le nœud T, R, D, L,L, D, R et T. A notre sens, les s´equences (LT, T, RT) et (LT, RT) sont ´equivalentes. Nous consid´erons en effet que ce qui diff´erencie les segments de la figure 5.16 rel`eve des d´etails morphologiques et ne saurait donc ˆetre mis en ´evidence par des saillances qui visent `a rendre compte de la forme dans sa globalit´e. Par cons´equent, nous ne conservons pas dans l’ensemble des s´equences r´eguli`eres, les s´equences qui contiennent les sous-s´equences (LT, T, RT), (RT, R, RD), (RD, D, LD), (LD, L, LT), (LT, L, LD), (LD, D, RD), (RD, R, RT) et (RT, T, LT).

Figure 5.16 —Ambigu¨ıt´e de l’interpr´etation de la s´equence (LT, RT).

En prenant en compte ce dernier crit`ere, nous obtenons 5400 s´equences r´eguli`eres. Ce nombre peut paraˆıtre excessif mais il a l’avantage de rendre compte de la complexit´e et de la vari´et´e des reliefs. Les s´equences r´eguli`eres sont les primitives de notre mod`ele, au sens o`u nous l’avons ´evoqu´e dans le chapitre 4 (p. 69). Il est donc l´egitime de construire les cat´egories, et `a travers elles, le processus de cat´egorisation, autour des s´equences r´eguli`eres.