Perspectivas sobre o processo de generalização

A generalização desempenha um papel crucial na actividade de qualquer matemático, é uma capacidade inerente ao pensamento matemático. Particularizando para o contexto curricular, podemos ainda afirmar que é um objectivo chave na aprendizagem da Matemática:

A generalização é o coração da Matemática. Se os professores não têm consciência da sua presença e não têm por hábito propor que os alunos generalizem e expressem as suas generalizações, então não está a ocorrer pensamento matemático (Mason, 1996, p. 65).

A generalização é um objectivo fundamental no ensino e na aprendizagem da matemática, tanto como um processo como um produto. No entanto, constitui ainda um veículo para a construção de novo conhecimento, agindo como um catalisador para potenciar a aprendizagem, principalmente, no campo da álgebra.

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Tratando-se de um dos grandes focos da Matemática e da educação matemática, muitos investigadores têm evidenciado interesse em caracterizar generalização, surgindo, deste modo, na literatura diferentes propostas de caracterização deste processo. Uma das descrições mais comuns sublinha que a generalização de padrões obriga qualquer indivíduo a centrar-se em ou chamar a atenção para uma possível propriedade ou relação invariante, compreender a regularidade, ou aquilo que é comum, e tomar consciência que se aplica a um contexto mais lato (Lobato, Ellis & Muñoz, 2003; Mason, Johnston-Wilder & Graham, 2005; Radford, 2006). O procedimento de aplicar um argumento, que se adequa a um conjunto restrito de elementos, a outro conjunto mais alargado que contém o anterior, torna possível definir uma expressão directa que caracteriza a propriedade identificada. Nesta perspectiva, Radford (2006) explica que a generalização algébrica de um padrão assenta na identificação de uma regularidade local que é posteriormente alargada a todos os termos da sequência e serve de garantia à construção de expressões de elementos da sequência que se mantêm para além do campo perceptual. Salientando a relevância da procura de padrões, para Kaput (1999) generalizar significa continuar a linha de raciocínio para além do caso ou casos considerados, identificando de forma explícita a regularidade entre casos, ou elevando o raciocínio a um nível onde o foco deixa de estar nos casos ou na situação iniciais passando a centrar-se nos padrões, procedimentos, estruturas e relação entre eles. Embora nestas perspectivas se enfatize, como principal objectivo, a descoberta de uma regra geral, outros autores (e.g. Davydov, 1990; Mason, 1996) sublinham a importância do movimento cíclico entre o particular e o geral durante o processo de generalização, referindo que envolve, por um lado, a identificação da generalidade em casos particulares, mas também a identificação de casos particulares na regra geral.

A generalização tem sido um tema de investigação recorrente, tanto na psicologia experimental como na Didáctica da Matemática. Uma das vertentes, associadas a este tema, que emergiu em diversos trabalhos, relaciona-se com a identificação de diferentes tipos ou níveis de generalização.

Dörfler (1991) faz uma distinção entre generalização empírica e teórica. A generalização empírica baseia-se no reconhecimento de elementos ou qualidades comuns aos objectos analisados. Segundo este autor, a procura de qualidades relevantes para a generalização pode ser considerada problemática ou ambígua em educação matemática.

Isto leva a que a generalização empírica seja criticada por falta de uma orientação específica na decisão do que é essencial para generalizar e também por se basear apenas em casos particulares. Contrastando com estas ideias, a generalização teórica é considerada simultaneamente intencional e abrangente. Centra-se no que Dörflerdenomina de sistema de acção, o que significa que depois de identificados os invariantes essenciais, é feita a sua substituição por protótipos. A generalização é assim construída através da abstracção desses invariantes. Neste caso, as qualidades abstraídas são relações entre objectos em vez de objectos propriamente ditos.

Por sua vez, Harel e Tall (1991) subdividem a generalização em três categorias: (1) expansiva, quando o raio de aplicabilidade de um determinado esquema é expandido sem se proceder à reconstrução desse esquema; (2) reconstrutiva, quando o esquema existente é transformado, de forma a alargar o seu raio de aplicabilidade; (3) disjuntiva, quando é construído um novo esquema decorrente da mudança de contexto. Numa primeira análise, a generalização disjuntiva parece conduzir a uma generalização bem sucedida mas, uma vez que não são considerados exemplos anteriores como casos particulares do procedimento geral, não se encaixa no perfil da generalização cognitiva. De facto, este tipo de generalização pode ser exaustiva para os alunos com mais dificuldades, levando à construção de uma variedade de casos, em vez de procurarem um caso geral. A generalização expansiva é cognitivamente mais fácil do que a reconstrutiva mas, a longo prazo, pode ser considerada insuficiente.

No que refere à generalização, Stacey (1989) distingue entre generalização

próxima e distante, tendo por base a ordem de grandeza do termo da sequência e as

estratégias que estão implicadas na sua descoberta. Quando é possível determinar, de forma rápida e eficaz, um termo da sequência recorrendo a desenhos ou ao método recursivo, a generalização diz-se próxima. Se, pelo contrário, dificilmente as abordagens descritas anteriormente permitem o cálculo de um dado termo da sequência, implicando a compreensão e descoberta de uma regra geral, a generalização em causa é distante.

A pesquisa feita por García-Cruz e Martinón (1997) permitiu-lhes identificar diferentes níveis de generalização. As acções desenvolvidas pelos alunos e a forma como descobrem o invariante ao longo do processo de generalização de um padrão linear são importantes na caracterização de cada nível. Estes autores explicam detalhadamente a forma como os processos anteriores influenciam a generalização, propondo uma

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estratificação em três categorias. No nível 1, actividade procedimental, o aluno reconhece e utiliza o carácter recursivo do padrão linear, centrando-se na componente mais evidente e procedimental do padrão, a identificação da diferença constante entre termos consecutivos. Este tipo de abordagem permite resolver de forma bem sucedida questões de generalização próxima, através de um desenho ou através de cálculos, no entanto estas acções não são generalizáveis. No nível 2, compreensão procedimental, é estabelecida uma generalização

local, ou seja, é utilizada a mesma regra na resolução de questões de generalização próxima e distante, dentro do mesmo problema. Neste caso é estabelecido o mesmo

invariante para todas as questões colocadas, sendo normalmente expresso verbalmente. No

nível 3, compreensão conceptual, o comportamento do aluno é consistente em problemas

da mesma natureza, generalizando a estratégia empregue. Perante problemas diferentes mas com uma estrutura comum o aluno aplica as mesmas acções.

Para Radford (2006) a generalização algébrica desenvolve-se em três níveis: (1)

factual, quando o foco da generalização se mantém no plano concreto, através da execução

de acções numéricas que conduzem à formação de um esquema mental associado a números particulares, o que significa que o discurso não vai para além da referência a casos específicos; (2) contextual, quando a generalização é expressa com base em termos mais descritivos, como por exemplo a figura seguinte, sendo utilizadas referências claras ao contexto e aos objectos que o integram; e (3) simbólico, quando a generalização é descrita a partir de notação algébrica. Em síntese, a generalização factual surge de acções numéricas, enquanto a generalização contextual abstrai também os objectos dessas acções. A generalização simbólica envolve a compreensão e a utilização de linguagem algébrica.

Analisando atentamente as ideias de Dörfler e Radford pode-se estabelecer um paralelismo entre o significado de generalização empírica e generalização factual. Apesar de haver fortes críticas a esta forma de generalização, por ter na sua base o estudo de casos particulares, Radford (2006) sugere que a generalização factual pode ser um contributo fundamental para a construção de formas mais sofisticadas de generalização.

Polya (1965) também considera que normalmente a generalização não é um processo imediato mas sim gradual. Começa com tentativas, um esforço para tentar entender os factos observados, para fazer analogias e testar casos especiais. Estas tentativas iniciais poderão conduzir a uma generalização mais apurada embora nenhuma generalização seja considerada definitiva sem uma demonstração matemática sólida. Na

mesma linha de raciocínio, Mason (1996) acrescenta que há dois processos complementares que estão no centro do pensamento matemático, a generalização e a

particularização¹, ou seja, ver o geral no particular e ver o particular no geral. O processo de particularizar é fundamental para o pensamento matemático. Significa analisar casos especiais ou particulares de uma afirmação geral e está normalmente associado a exemplos concretos. Pode cumprir diferentes objectivos. Numa fase inicial pode ser usado para tentar perceber o significado de uma expressão ou questão mas também pode contribuir para dar sustentabilidade à generalização. Essencialmente, pretende-se clarificar o significado de uma questão ou afirmação e depois encontrar exemplos que tenham propriedades em comum, de forma a interiorizar essas mesmas propriedades. O processo de generalizar está relacionado com a identificação de padrões e propriedades comuns a várias situações e tentar expressá-los verbalmente ou simbolicamente. Generalizar envolve o estabelecimento de conexões e a sua caracterização numa afirmação sucinta a partir da qual podem ser extraídos casos particulares através da particularização. Apesar de estes processos,

particularização e generalização, serem tratados isoladamente é difícil mantê-los

separados. A razão de se particularizar é permitir e promover a generalização. As generalizações carecem de validação em casos particulares antes de se procurar um argumento convincente. Os exemplos têm assim um papel importante na familiarização com técnicas, resultados, provas e definições, sendo utilizados para ilustrar os passos de qualquer um deles. Esta proposta de Mason é partilhada por outros autores (e.g. Zazkis, Liljedahl e Chernoff, 2008) que enfatizam a importância da utilização de exemplos, embora sublinhem a necessidade de criticar o conjunto de exemplos escolhidos e refiram que algumas características dos casos particulares sejam mais úteis do que outras no reconhecimento e estabelecimento da estrutura geral.