O modelo de regressão log-linear univariado introduzido por Rieck e Nedelman
(1991) para a distribuição BS permite análises estatísticas de valores preditos de uma ou mais variáveis respostas para uma coleção de variáveia preditoras. Rieck e Nedelman
(1991) mostraram que se T é uma variável aleatória positiva seguindo uma distribuição BS,
Y = log(T ) segue uma distribuição SN. Essa distribuição tem um número interessante de
propriedades e tem recebido considerável atenção em modelo de regressão que consideram tempo de vida, especialmente quando esse tempo de vida envolve modelar o parâmetro de escala da distribuição BS quando depende de covariáveis. A distribuição SN é usualmente aplicada em modelos de dados simétricos, mas em muitos estudos os dados tem alguma forma de limites inferior ou superior. Portanto, as respostas são censuradas à esquerda ou à direita e um modelo de sobrevivência específico é necessário. A esse respeito: Rieck (1995) considerou a estimação paramétrica dos parâmetros da BS;Jeng(2003) explorou diferentes procedimentos para a construção de intervalos de confiança e quantis para os parâmetros da BS; Wang et al.(2006) e From e Li (2006) discutiram a estimação dos parâmetros da
BS; Lemonte et al. (2010) trabalharam em testes de hipóteses dessa distribuição; Leiva
et al. (2007) apresentaram um modelo de regressão log-BS com observações censuradas;
Barros et al.(2007) propuseram uma extensão baseada na distribuição t-Student; Desmond
et al. (2008) apresentaram um modelo de regressão BS para observações censuradas, em
que as estimativas de MV são baseadas no algoritmo EM.
Muitas distribuições univariadas foram generalizadas para formar distribuições absolutamente contínuas bivariadas, incluindo muitas distribuições comuns, tais como uniforme, normail, exponencial, beta, Weibull e gama (BALAKRISHNAN; LAI,2009). Da
mesma forma, Kundu et al. (2010) introduziram a distribuição BS bivariada, que é uma distribuição absolutamente contínua, cuja marginal é a distribuição BS univariada, eKundu
et al. (2013) introduziu uma distribuição BS generalizada multivariada. Seguindo a ideia
da distribuição SN bivariada introduzida porKundu(2015) e a distribuição SN assimétrica
de Leiva et al.(2010), Vilca et al. (2016) apresentaram um modelo de regressão bivariado
por meio da utilização da distribuição SN bivariada. Este modelo de regressão proposto
tem como marginal o modelo de regressão de BS de Rieck e Nedelman(1991).Lemonte
(2013) desenvolveu um modelo de regressão BS multivariado no qual os elementos do vetor de resposta são todos independentes. O modelo de regressão bivariado para a distribuição BS, pode ser usado para analisar o logarítimo do tempo de vida correlacionado de duas unidades, em que a estrutura de dependência entre observações surge da distribuição normal bivariada. Neste contexto bivariado assim como no caso univariado, ferramentas estatísticas para análise de dados censurados são importantes e precisam ser desenvolvidas para o modelo de regressão com distribuição SN em diferentes aplicações de sobrevivência.
Neste trabalho, estudamos a distribuição BS baseada na distribuição SMN. Como caso particular desse modelo, temos a distribuição SN bivariada que surge da transformação logarítmica da distribuição BS bivariada baseada na distribuição normal bivariada. Assim, é interesante considerarmos um modelo de regressão BS bivariado e discutimos algumas de suas propriedades de maneira a representar uma extensão do modelo censurado proposto por Leiva et al. (2007) para o modelo de regressão BS bivariado. Esse estudo pode ser baseado nos trabalhos de Barros et al.(2008) eLeiva et al. (2007), que desenvolveram modelos de regressão log-BS univariados para dados com censura. Uma versão bivariada desse modelo ainda não foi estudada e por isso é de interesse para trabalhos futuros.
5.2.1
Modelo de regressão Birnbaum-Saunders com censura
Rieck e Nedelman (1991) introduziram covariáveis na distribuição BS, conside-
rando a seguinte transformação da variável resposta, Y = log(T ) que é um caso especial da distribuição SN com fdp e fda dadas respectivamente por:
fY(y) = 1 2φ(ξ2) ξ1 e FY(y) = Φ(ξ2), y ∈ R, (5.1) em que ξ2 = senh y − µ 2 e ξ1 = cosh y − µ 2
, com γ = log(β). Além disso, φ(.) e Φ(.) são, respectivamente a fdp e a fda da distribuição normal padrão. Essa distribuição pode ser denotada por Y ∼ SN(α, µ, σ = 2) ou SN(α, µ).
A relação das covariáveis consideradas com a distribuição BS de Y foi con- siderada por Rieck e Nedelman (1991) através do modelo de regressão linear definido por
Yi = x>i β + i, (5.2)
em que Yi é o logaritmo do tempo de vida ou do valor censurado para a i-ésima resposta
observada, β é um vetor de parâmetros desconhecidos, x>i = (xi1, . . . , xip) são as variáveis
explanatórias, e i ∼ SN(α, 0, σ = 2), i = 1, . . . , n. Usando esse modelo de regressão
não censurado, muitos trabalhos foram desenvolvidos, por exemplo, Galea et al.(2004) e
Lemonte (2016). Por outro lado, para o modelo de regressão com dados censurados,Leiva
et al. (2007) propuseram um estudo com censura não informativa em que o tempo de vida
e o tempo censurado são independentes.
Seja D e C denotando o conjunto de indivíduos em que yi é o logaritmo do
tempo de vida ou do tempo censurado, respectivamente. A função de log-verossimilhança total para θ = (α, β>)> é dada por
`(θ) = X i∈D `i(θ) + X i∈C `li(θ), (5.3)
em que `i(θ) = log(fY(yi; θ)), `ic(θ) = log(SY(yi; θ)) e SY(yi; θ) = 1 − Φ(ξi2) é a função
de sobrevivência, com fY(yi; θ) dado em (5.1). Então, a função de log-verossimilhança
para θ é dada por
`(θ) = X i∈D log(ξi1) − 1 2{log(8π) + ξ 2 i2} +X i∈C log(1 − Φ[ξi2]), (5.4)
em que ξi2 e ξi1 são dados me (5.1), com µi = x>i β, i = 1, . . . , n. O estimador de MV dos
parâmetros do modelo são obtidos através de métodos iterativos, assim como em Leiva et
al. (2007) e Barros et al.(2008), que propuseram uma classe de modelos de regressão com
cauda pesada considerando erros que seguem uma distribuição BS generalizada baseada no modelo t-Student, em que foram discutidos os estimadores de MV e análise de diagnóstico baseda na metodologia de Cook (1986). Generalizações no contexto bivariado podem ser exploradas baseadas na distribuição BS bivariada de Kundu et al. (2010), como estamos apresentando para possíveis trabalhos futuros.
5.2.2
Modelo de regressão Birnbaum-Saunders bivariado com censura
Primeiramente, para expor de forma clara nossa proposta, seguindo os trabalhos
de Rieck e Nedelman (1991) e Vilca et al. (2016), vamos apresentar o modelo de regressão
BS bivariado proposto por Vilca et al. (2014). Associado a distribuição T ∼ BS2(α, β, ρ),
seja Y1 = log(T1) e Y2 = log(T2). Então, Y = (Y1, Y2)> tem uma distribuição SN bivariada
proposta por Vilca et al. (2014), e fdp conjunta dada por:
fY(Y) =
1 4φ2
em que φ2(.; ρ) é a fdp da distribuição normal padrão bivariada eξ2(Y; θ) = (ξ21(θ1), ξ22(θ2))>,
Πξ1(Y; θ) = ξ11(θ1) ξ12(θ2), com ξ2j j = 1, 2 são como em (5.1). Essa distribuição é denotada
por Y ∼ SN2(α, µ; ρ), em que α = (α1, α2)> e µ = (µ1, µ2)>. De forma similar, podemos
considerar um modelo com covariáveis seguindo os trabalhos de Rieck e Nedelman (1991)
e Vilca et al. (2016); Veja também Barriga et al. (2010) e Choi e Matthews (2005). O
modelo de regressão resultante tem muitas aplicações práticas assim como no contexto de modelo de regressão BS univariado.
A estrutura para a distribuição SN bivariada nos permite derivar propriedades do modelo de regressão BS bivariado. Uma maneira de estudar o efeito de covariáveis no tempo de sobrevivência bivariado é por meio de um modelo de regressão bivariado, como estudado; por exemplo, por Barriga et al. (2010) e Choi e Matthews (2005). O modelo de regressão log-BS bivariado é definido da seguinte forma:
Y1i = x>1iβ1+ 1i, (5.6)
Y2i = x>2iβ2+ 2i (5.7)
em que i = (1i, 2i)> ∼ SN2(α, 0, ρ), x1i e x2i são vetores de variáveis exploratórias
com p1× 1 e p2 × 1 entradas, respectivamente, e β1 e β2 denotam os correspondentes
vetores de coeficientes. O modelo definido em (5.6) e (5.7) é uma extensão do modelo univariado proposto por Rieck e Nedelman (1991). Seja Y1, . . . , Yn com n observações
independentes do modelo de regressão definido pelas equações (5.6) e (5.7). Então, a função de log-verossimilhança para θ = (α>, β>, ρ)>, sob censura , pode ser escrita como
`(θ) = n X i=1 `i(θ), em que `i(θ) = − log(4) − log(2π) − 1 2log(1 − ρ 2) − 1 2ξ > 2iΣ −1ξ 2i+ log(Πξ1(Y; α, β) , (5.8)
e ξ2(Y; θ) = (ξ21(θ1), ξ22(θ2))>, Πξ1(Y; θ) = ξ11(θ1) ξ12(θ2), com ξ2j j = 1, 2 são como
em (5.1). Para mais detalhes veja Vilca et al. (2016).
Por fim, para derivar o modelo para dados censurados, assim como estudado
por Leiva et al.(2007) eBarros et al.(2008) para o caso bivariado, nós propomos introduzir
no modelo de regressão BS bivariado uma estrutura apropriada para análise de dados censurados. Seja, (Ti1, Ti2) sendo o tempo de vida bivariado para o i-ésimo indivíduo e
(Ci1, Ci2) o tempo de censura bivariado, para i = 1, . . . , n. As quantidades observadas são
representadas por yij = min(Yij, log(Cij)), em que Yij = log(Tij) e δij é um indicador de
censura. Aqui, nós supomos que o tempo de vida e de censura são independentes para cada indivíduo i. A função de log-verossimilhança para o modelo BS bivariado com dados
censurados para θ é `(θ) =
n X i=1
`i(θ), e para o i-ésimo indivíduo é dada por
`i(θ) = δi1δi2log[fY(yi1, yi2)] + δi1(1 − δi2) log[SY1(yi1)] + (1 − δi1)δi2log[SY2(yi2)] +(1 − δi1)(1 − δi2) log[SY1Y2(yi1, yi2)],
em que SY1(yi1) = 1 − Φ(ξi2(α1, β1)) e SY2(yi2) = 1 − Φ(ξi2(α2, β2)) são funções de sobrevivência e SY1Y2(yi1, yi2) = 1 − Φ(ξi2(α1, β1)) − Φ(ξi2(α2, β2)) + Φ2(ξi2(α, β); ρ) é a
função de sobrevivência bivariada, com Y = (Y1, Y2)> ∼ SN2(α, β), Y1 ∼ SN(α1, β1) e Y2 ∼ SN(α2, β2).
Dessa forma, para pesquisas futuras propomos o desenvolvimento de um modelo de regressão BS bivariado com censura, e algumas discussões de suas propriedades. Esse modelo representaria uma extensão do modelo censurado proposto por Leiva et al.(2007) para o modelo de regressão BS bivariado. Seria interessante discutir a inferência desse modelo considerando dados censurados utilizando como base o trabalho de Barros et al.
(2008) e Leiva et al. (2007), que investigaram dados censurados no contexto univariado
usando cópulas. Assim sendo um tema interessante a ser desenvolvido envolveria os seguintes itens:
a) Considerar o modelo de regressão BS bivariado para dados censurados e o processo de estimação baseado na estimação por máxima verossimilhança e ou bayesiana; b) Realizar simulação por Monte Carlo para examinar a performance dos estimadores de
máxima verossimilhança propostos, considerando diferentes cenários e apresentando uma aplicação em dados reais para ilustrar o modelo e o método de estimação proposto, incluindo análise de resíduos e seleção de modelo;
c) Discutir alguns resultados concernentes a análise de diagnóstico baseado na metodo- logia de Cook (1986).
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