Muitas características dos processos de fabricação são determinadas experimentalmente. Em usinagem, por exemplo, o desenvolvimento de estratégias de fabricação, máquinas, acessórios ou novos materiais de ferramenta de corte exige uma série de estudos experimentais. Infelizmente, estes consomem grande quantidade de recurso financeiro e de tempo. Portanto, elaborar uma estratégia de ensaio sucinta e apoiada em um modelo estatístico é fundamental para uma boa experimentação. O planejamento de experimentos (Design of Experiments - DOE) é uma técnica que permite conclusões objetivas e com validade estatística dos resultados obtidos, executando um mínimo de experimentos (ASTHAKOV, 2006). Por outro lado, às vezes, o experimentador deseja apenas verificar se existe diferença real entre tratamentos, assim, a análise de variância pode ser mais adequada (BOX; HUNTER; HUNTER, 1978).
2.6.1 Análise de variância one way
A análise de variância (ANOVA) determina se a diferença entre as médias dos tratamentos são maiores do que poderiam ser esperadas a partir da variação que ocorre dentro dos tratamentos. Assim, a análise de variância considera as seguintes fontes de variações (ibid.):
• Variação dentro dos tratamentos (erro):
É determinada pelo somatório dos quadrados dentro de todos os tratamentos conforme a eq.(2.19). = + ⋯ + = ∑ ∑ (− ) (2.19)
Onde, é a i-ésima observação no t-ésimo tratamento e é o número total de tratamentos. Seguido pelo cálculo do quadrado médio dentro dos tratamentos (erro) ou variância, descrito como, eq.(2.20).
= ೃ = ∑ ∑ ( )మ = ೃ ೃ (2.20)
• Variação entre os tratamentos:
A estimativa do quadrado médio entre os tratamentos é dada pela eq.(2.21).
=∑ ( ೖ సభ ) మ = (2.21)
Sendo que o somatório dos quadrados entre os tratamentos é dado pela eq.(2.22).
= ∑(− ) (2.22)
Se as médias variarem de um tratamento para outro, a variância entre os tratamentos tenderá a aumentar.
• Contribuição da média geral:
Uma medida de toda a variação dos dados pode ser obtida ignorando a separação em tratamentos e calculando uma variância simples para todo o agregado de observações. Dessa forma, o somatório dos quadrados total dos desvios em relação à média geral é dado pela eq.(2.23).
= ∑ ∑ (− )
(2.23)
E a sua variância é dada pela eq.(2.24).
= ∑ ∑ ( ) సభ ೖ సభ = ವ ವ (2.24)
Sabe-se que existe uma identidade geométrica entre os somatórios dos quadrados, de forma que, = + , o mesmo se aplica aos graus de liberdade, = + . A quantidade é frequentemente calculada usando a eq.(2.25).
= ∑ ∑ −
Nesta equação o termo é o somatório dos quadrados devido à média geral ( ),
também conhecida como fator de correção. E o termo ∑ ∑
é chamado de
somatório dos quadrados total (), de modo que, = − ou = + . Portanto, reescrevendo, eq.(2.26).
= + + (2.26)
E os graus de liberdade associados são, eq.(2.27).
= 1 + − 1 + − (2.27)
Definidas as fontes de variação a Tab. 5 apresenta o quadro de análise de variância completo ou quadro de ANOVA.
Tabela 5 – Quadro de análise de variância completo.
Fontes de variação Somatório dos quadrados Graus de liberdade Quadrado médio Média geral = 1 = ⁄ Entre tratamentos = − 1 = ⁄ Dentro tratamentos
(erro) = − = ⁄
Total
A partir da tabela faz-se o teste de hipótese, na qual a hipótese de nulidade (H0) é de que as médias dos tratamentos são iguais, = = = , ou seja, não existe diferença. E a hipótese alternativa (H1) é de que existe diferença significativa entre os tratamentos.
Com o grau de liberdade entre os tratamentos () e dentro dos tratamentos () recorre-se a distribuição F (Fisher) para o nível de significância (α) desejado e compara-se com o Fobservado da relação ⁄. Assim, se Fobservado > F, rejeita-se H0 e define que existe diferença real entre as médias do tratamento.
2.6.2 Planejamento fatorial 2k
O experimentador faz uso do planejamento de experimentos fatorial quando se deseja determinar a influência de uma ou mais variáveis de entrada (fatores) sobre a(s) variável(s) de saída (respostas), de forma a se ter um sistema como mostrado na Fig. 33 (NETO; SCARMINIO; BRUNS, 1995).
Figura 33 – O sistema é uma função que liga as variáveis de entrada (fatores) às variáveis de saída (respostas) (adaptado de NETO, SCARMINIO E BRUNS, 1995).
Para tanto, se torna necessário definir o número de fatores a serem investigados, que podem ser quantitativos ou qualitativos, e os seus respectivos níveis de abrangência. No planejamento 2k, o índice k significa a quantidade de fatores e o número 2 a quantidade de níveis variados, assim, todas as possíveis combinações entre estes são expressas no seguinte número de experimentos, 2
2 2 ⋯ 2 . Este tipo de planejamento experimental é importante, porque é capaz de indicar tendências, direcionar a pesquisa e permitir conclusões objetivas, através de um pequeno número de experimentos; a partir deste é possível formar planejamentos compostos aumentando quantidade de experimentos; é possível fracioná-los permitindo o estudo mais fatores com a redução da quantidade de ensaios; além disso, a interpretação dos resultados é dada por aritmética elementar (BOX; HUNTER; HUNTER, 1978).
A Tabela 6 apresenta um planejamento fatorial 23, na qual se tem três fatores (A, B e C) sendo variados em dois níveis (-1 e +1).
Tabela 6 – Planejamento fatorial 23.
Testes A B C Resposta 1 -1 -1 -1 y1 2 1 -1 -1 y2 3 -1 1 -1 y3 4 1 1 -1 y4 5 -1 -1 1 y5 6 1 -1 1 y6 7 -1 1 1 y7 8 1 1 1 y8
Os efeitos a serem observados podem ser distinguidos em, principal e de interação, sendo que o primeiro diz respeito as variáveis de entrada analisadas isoladamente e o segundo a duas variáveis se relacionando.
O efeito principal de um fator é dado pela diferença entre médias, ାଵ ିଵ, onde
ାଵ é a resposta média para o nível (+1) e ିଵ é a resposta média para o nível (-1). Por
E o efeito de interação é dado pela metade da diferença entre o efeito médio de um fator A com o fator B no nível (+1) e o efeito médio de um fator A com o fator B no nível (-1). Por exemplo, Interação AxB, ଵ
ଶ{[(ସ+ ଼)/2 − (ଷ+ )/2] − [(ଶ+ )/2 − (ଵ+ ହ)/2]}.
A análise de significância para indicar se existe diferença significativa das variáveis de entrada sobre a resposta, baseia-se em um teste de hipótese que considera o cálculo dos efeitos das variáveis e a comparação com o efeito estimado a partir de um desvio padrão e de um valor correspondente a distribuição t para um dado nível de significância e grau de liberdade (BOX; HUNTER; HUNTER, 1978; NETO; SCARMINIO; BRUNS, 1995). Sabe-se que no planejamento de experimentos fatorial, o nível de significância é adotado para a validação estatística dos resultados, mas este precisa estar em coerência com os fenômenos observados, sendo que estes últimos devem ser explicados com base na literatura.
3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O procedimento experimental está dividido em Pré-testes, que foram experimentos preliminares, e Testes finais, que foram mais abrangentes e permitiram melhor discussão dos resultados.