Tabela 3 – Fórmulas das células (equação do 2º grau com = 0) Célula Fórmula
D7 =-J4/(2*D4) G7 =-G4/D4
K7 =-(D4/G4)*(M4/D4-J4^2/(4*D4^2))
58
3.4 Equação geral do segundo grau em ℝ
2Equações do tipo 2+ + 2+ + + = 0 que são linhas de nível de
funções quadráticas de duas variáveis, ou seja, de uma função �: ℝ2 → ℝ, dada por
� , = 2+ + 2+ + + , onde ≠ 0, ≠ 0 ou ≠ 0, são as
cônicas ou as cônicas degeneradas. Essas equações podem ser transformadas, a
partir de uma rotação positiva do sistema � , em equações do tipo �1 2+�2 2+ + + = 0 e consequentemente, facilitar na identificação do
lugar geométrico que essa representa.
No caso particular em que D = E = F = 0, a função quadrática � , = 2+ + 2 é um polinômio homogêneo de segundo grau (todos os
termos tem grau 2). Estes polinômios são chamados de formas quadráticas de duas variáveis.
Precisamos inicialmente, introduzir o conceito de autovalores e autovetores.
3.4.1 Autovalores e autovetores
Sejam A = 11 12
21 22 uma matriz real do tipo 2 x 2 e = (x,y) um vetor em ℝ
2. Definimos A como sendo o vetor ( 11 + 12 , 21 + 22 ), ou seja,
A = ( 11 + 12 , 21 + 22 ).
Um número real é um autovalor da matriz A se existir um vetor não nulo tal que A = .
Seja um autovalor de A. Um vetor = ( , ) é um autovetor de A relativo ao autovalor se A = , ou seja, 11 + 12 = x 21 + 22 = y ↔ − 11 − 12 = 0 − 21 + − 22 = 0 (18)
Observação 1: O vetor nulo é um autovetor relativo a qualquer autovalor, mas um número real só é um autovalor se ele possuir um autovetor não nulo.
Observação 2: Se é um autovetor relativo ao autovalor da matriz A, então é um autovetor relativo ao autovalor , para todo μ ℝ. E se é outro autovetor relativo ao autovalor , então + é um autovetor relativo ao autovalor . (não demonstrado)
Então, um número real é um autovalor da matriz A se, e somente se, o sistema (18), tem solução não trivial ( , ) (( , ) ≠ (0,0)). Mas o sistema possui solução não trivial se, e só se,
−a11 − 12
− 21 − a22 = 0.
O polinômio �: ℝ → ℝ, dado por � � = � − 11 − 12
− 21 � − 22 = � − 11 � − 22 − 12 21
, é denominado polinômio característico da matrizA.
Obtemos, assim, o seguinte resultado.
Proposição 4: Os autovalores de uma matriz A, são as raízes reais do polinômio característico da matriz A. (não demonstrado)
Exemplo: Determine, caso existam, os autovalores e os autovetores correspondente da matriz A = 1 5
2 4
Solução.
Seja � � = � −1 −5
−2 � − 4 = � − 1 � − 4 − 10 = �2− 5� − 6 o polinômio característico da matriz A. Sendo
�1 =
5+ 25+24
2 = 6 e �2 =
5− 25+24
2 = −1
as raízes (reais) da equação � � = 0, temos que �1 = 6 e �2 = −1são os autovalores da matriz A.
Os autovetores = ( , ) relativos ao autovalor �1 1 = 6 são as soluções do sistema �1− 1 − 5 = 0
−2 + �1− 4 = 0
↔ 5 − 5 = 0
−2 + 2 = 0 ↔ = .
Logo, todo autovetor relativo ao autovalor �1 = 6 é da forma = (1,1), 1 ℝ. Assim, 2 2 , 2 2 e − 2 2 ,− 2
2 são os autovetores unitários relativos ao autovalor
60
E os autovetores = ( , ) relativos ao autovalor �2 2 =−1 são as soluções do sistema �2− 1 − 5 = 0 −2 + �2− 4 = 0 ↔ −2 − 5 = 0 −2 − 5 = 0 ↔ = − 5 2 .
Logo, todo autovetor relativo ao autovalor �2 = −1 é da forma = (−2 5
2, 1), y ℝ. Assim, −5 29 29 , 2 29 29 e 5 29 29 ,− 2 29
29 são os autovetores unitários relativos ao
autovalor �2 =−1.
3.4.2 Rotação dos eixos coordenados
Seja � um sistema de eixos ortogonais. Dado � [0,2�), seja � o sentido obtido girando os eixos � e � do ângulo � no sentido positivo (que vai de � para � ). Então,
1
= (cos � , sen �) e = (−sen � , cos �) 2
são os vetores unitários na direção e no sentido dos eixos � e � , respectivamente.
Considere um ponto = ( , ) no sistema � . Para encontrarmos as coordenadas de no sistema � , ( , ), basta substituir e na expressão:
Gráfico 22 – Rotação dos eixos coordenados � e � por um ângulo �
= − sen � + cos �= cos� + sen � . (19) E para obter ( , ) em função de ( , ), utilizamos a expressão:
= cos � − sen �
= sen � + cos � . (20)
Estas duas passagens de coordenadas, do sistema � para o � e vice-versa, são obtidas levando em consideração um ponto e o vetor � , e utilizando as propriedades de produto interno.
Exemplo
Seja � um sistema de eixos ortogonais e � o sistema de eixos ortogonais obtido pela rotação positiva de ângulo θ dos eixos � e � , onde cos � = 4/5 e sen� = 3/5.
Uma parábola, nas coordenadas e , tem foco no ponto = (12/5, 16/5) e vértice no ponto � = (12/5, −9/5).
a) Determine a equação da parábola nas coordenadas e e nas coordenadas e .
b) Obtenha o foco, o vértice, a reta focal e a diretriz da parábola nas coordenadas e .
c) Faça um esboço da curva no sistema � , indicando seus elementos.
Solução:
a) Nas coordenadas e , a reta focal é = 12/5, pois o foco = (12/5, 16/5) e vértice � = (12/5, −9/5) pertencem à reta = 12/5, o parâmetro é � = �, = 5 e como foco está acima do vértice, temos que a equação da parábola é da forma − `
2
= 4�( − ). Então,
−125 2= 20 +9
5 .
é a equação da parábola nas coordenadas e .
Usando as relações de mudança de coordenadas (ver (19)), = ∙4 5 + ∙ 3 5= 4 +3 5 = − ∙35 + ∙4 5 = −3 +4 5 (21)
62 4 +3 5 − 12 5 2 = 20 −3 +4 5 + 9 5 ↔ 1 25 16 2+ 24 + 9 2− 96 − 72 + 144 =20 5 (−3 + 4 + 9) ↔ 16 2+ 24 + 9 2− 96 − 72 + 144 = 100(−3 + 4 + 9) ↔ 16 2+ 24 + 9 2− 204 − 472 − 756 = 0
b) Nas coordenadas e , a reta focal é = 12/5, o foco = (12/5,16/5) e vértice � = (12/5, −9/5) e a diretriz d: = −34/5.
Por (20) obtemos que : − 3 + 4 = −34, : 4 + 3 = 12, : −3 + 4 = 0, e : 4 + 3 = 0 são a diretriz, reta focal, eixo � e eixo � , respectivamente, nas coordenadas e .
E, pelas relações de mudanças de coordenadas (ver (19)),
= ∙4 5− ∙ 3 5= 4 − 3 5 = ∙3 5 + ∙ 4 5= 3 + 4 5
Obtemos que (0,4) é o foco
(3,0) é o vértice da parábola nas coordenadas e . c) Na figura abaixo mostramos o esboço da parábola.
3.4.3 Formas quadráticas
Dada uma forma quadrática �: ℝ → ℝ�, � , = 2+ + 2, a real do tipo
2 × 2,
A = /2
/2
é a matriz de �. Uma matriz 11 12
21 22 real do tipo 2 × 2 é simétrica se 12 = 21. Note que a
matriz de qualquer forma quadrática é simétrica. Assim, para quaisquer ( , ) ℝ2,
� , =< A , , ( , ) > (22) Com efeito, < A , , , >= /2 /2 ( , ), ( , ) =< ( + ( /2) , ( /2) + ), ( , ) > = 2+ ( /2) + ( /2) + 2 = 2+ + 2 = �( , ) Proposição 5: Sejam B = 11 12
21 22 uma matriz real 2 × 2 e B =
11 21
12 22 sua
matriz transposta. Então,
< B , >=< , B >,
para quaisquer vetores = ( , ) e = ( , ) em ℝ2.
Demonstração: De fato, < B , >=< 11 + 12 , 21 + 22 , , > = 11 + 12 + 21 + 22 = ( 11 + 21 ) + ( 12 + 22 ) = ( , )( 11 + 21 , 12 + 22 ) =< , >
64
Teorema 1: Seja A = /2
/2 uma matriz simétrica real do tipo 2 × 2.
a) As raízes �1 e �2 do polinômio característico de A são reais. Isto é, a matriz A tem dois autovalores �1 e �2, que tem multiplicidade um se �1 ≠ �2, e multiplicidade dois se �1 = �2.
b) Existe um par e 1 de autovetores ortonormais relativos aos autovalores �2 1 e �2, respectivamente.
c) Se B = 1 2
1 2 é a matriz do tipo 2 × 2 cuja primeira coluna é formada pelas
coordenadas do vetor = (1 1, 1) e a segunda, palas coordenadas do vetor 2
= ( 2, 2), então
BtAB = �1 0
0 �2 (23)
Demonstração:
a) O polinômio característico da matriz A é
� � = � −− /2 � − − /2 = � − � − − 2
4
= �2− + � + − 2 4
Como o discriminante da equação � � = 0, ∆= + 2− 4( − 2
4)
= 2+ 2 + 2− 4 + 2
= − 2+ 2
é não negativo, as suas raízes �1 e �2 são reais.
b) se ∆= 0, temos que = e = 0 e, portanto, � = = é a única raiz de � � = 0. Neste caso, A = 0 0 = 0
0 = � 0
0 � e = (1,0) e 1 = 0,1 , são 2 autovetores ortonormais relativos ao autovalor � de multiplicidade dois. Obs.: note que os vetores ortonormais = ( , ) e 1 = − , , são autovetores de A. De 2 fato, = ( , ) é solução do sistema:
� − + 0 = 0
pois � = = . Em particular, = ( , ) e 1 = − , são autovetores de A. 2 Se ∆> 0, a equação � � = 0 tem duas raízes reais �1 e �2 distintas.
Sejam e 1 vetores não nulos tais que A2 = �1 1 1 e A = �2 2 , isto é, 2 e 1 2
são autovetores não nulos associados aos autovalores �1 e �2, respectivamente.
Podemos supor, pela observação 2, que e 1 são unitários 2 (isto é, = 1 = 1). 2
O vetor é ortogonal ao vetor 1 . De fato, pela proposição 4, 2
< A ,1 >=<2 ,A1 > 2 → < �1 1 , >=<2 , �1 2 2 > → �1 < ,1 >= �2 2 < ,1 > 2 → (�1− �2) < ,1 >= 0 2 → < ,1 >= 0 2 c) Como A = (1 1+ ( /2) 1, ( /2) 1+ 1) = (�1 1,�1 1) e A = (2 2+ ( /2) 2, ( /2) 2+ 2) = (�2 2,�2 2) segue que AB = /2 /2 1 2 1 2 = � 1 1 �2 2 �1 1 �2 2 .
Além disso, sendo =12
12+ 12 = 1, =22 22+ 22 = 1 e < ,1 >=2 1 2+ 1 2 = 0, obtemos que: BtAB = 1 2 1 2 � 1 1 �2 2 �1 1 �2 2 = �1( 1 2+ 12) �2( 1 2+ 1 2) �1( 1 2+ 1 2) �2( 22+ 22) . = �1 0 0 �2
Seja � 0,2� o ângulo que o vetor faz com o eixo � no sentido positivo, isto é, 1 1
= cos � , sen � . Tomemos = −sen � , cos � , obtido de 1 por uma rotação de 1 �
2.
Seja � o sistema cujos eixos � e � tem a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores e 1 , respectivamente. 2
Assim, por (23), a forma quadrática � , =< A , , ( , ) >, nas coordenadas e do sistema � , é dado por:
66
� , =< AB , ,B , >.
Gráfico 24 – Rotação dos eixos coordenados � e �
Daí, sabendo que
AB , = A(B , ) e B AB , = B (AB , ) = B (A(B , )), concluímos, pela Proposição 4 e pelo Teorema 1, que
� , =< B (A(B , )), , > =< (B AB) , , , > =< �1 , �2 , , > = �1 2+� 2 2 (24) Exemplo
Seja a forma quadrática � , = 4 2− 12 + 9 2, com = 4, = −12 e = 9.
Então = 4 −6
−6 9 é a matriz da forma quadrática e
� � = � −64 � − 9 6 = � − 4 � − 9 − 36 = �2− 13� = 0
é a sua equação característica, cujas raízes são �1 = 13 e �2 = 0. Isto é, �1 = 13
e �2 = 0 são os autovalores da matriz A.
Os autovetores ( , ) relativos ao autovalor �1 = 13 são as soluções do sistema
�1− 4 + 6 = 0
6 + �1− 9 = 0
↔ 9 + 6 = 06 + 4 = 0 ↔ = −3 2
.
Portanto, = 1 −3 13
13 , 2 13
13 é um autovetor unitário relativo ao autovalor �1 = 13.
Como o autovetor relativo ao autovalor �2 2 = 0 é ortogonal ao autovetor , basta 1
tomar = 2 2 13 13 ,
3 13
13 . Obs.: o ângulo θ que faz com o eixo � vale, 1
aproximadamente, 146,31° (cos−1 −3 13 13 ).
Seja � o sistema de eixos ortogonais obtido girando os eixos � e � , no sentido positivo, do ângulo � ≅ 146,31°. Nas coordenadas e deste sistema de eixos, a forma quadrática é dada por
� , = �1 2+�2 2 = 13 2.
Portanto, a linha de nível de � é o conjunto vazio, se < 0; a reta = 0, se = 0, e duas retas paralelas, = ± 13, se > 0.
No sistema de eixos � as equações das retas paralelas são r: = 13 e
s: = − 13.
68
Pela mudança de coordenadas (ver (19) e (20)),
, = − 3 13 13 − 2 13 13 2 13 13 − 3 13 13 ( , ) e ( , ) = − 3 13 13 2 13 13 −2 1313 −3 1313 , ,
obtemos que as equações das retas paralelas são r:−3 13
13 + 2 13 13 = 13 e s: −3 13 13 + 2 13 13 = − 13 nas coordenadas e .
Já a reta = 0, quando = 0, coincide com o eixo � . E pela mudança de coordenadas obtemos sua equação nas coordenadas e : −3 13
13 +
2 13
13 = 0.
3.4.4 Equação geral do segundo grau em ℝ2
Consideremos a equação geral do 2º grau nas variáveis e :
2+ + 2+ + + = 0 (25)
Esta equação é a linha de nível zero da função quadrática
� , = 2+ + 2+ + + .
Seja, o sistema � de eixos ortogonais cujos eixos � e � tem a mesma direção e o mesmo sentido dos autovetores e 1 , relativos aos autovalores �2 1 e �2,
respectivamente, da matriz A = /2
/2 .
Então, por (24), a função quadrática �, nas coordenadas e , assume a seguinte forma: � , = �1 2+�2 2+< , , B , > + → � , = �1 2+�2 2+< , , , > + → � , = �1 2+�2 2+ + + onde =< , , e =< , ,1 . 2
Observe que a equação
Que é a equação (25) nas coordenadas e , representa uma elipse ou uma elipse degenerada se �1�2 > 0, uma hipérbole ou uma hipérbole degenerada se �1�2 < 0, e uma parábola ou uma parábola degenerada se �1�2 = 0 (�1 ≠ 0 ou �2 ≠ 0).
Os eixos � e � são os eixos principais da cônica C representada pela equação (26). Estes eixos são paralelos às retas focal e não focal da cônica, nos casos em que C é uma elipse ou uma hipérbole, e são paralelas à reta focal e à diretriz quando C é uma parábola.
O número real � = 2− 4 , chamado indicador da equação (25), estabelece se a
equação representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, degenerada ou não, antes de reduzirmos a equação a sua forma canônica (26).
De fato, como A = /2
/2 = −
2/4, então � = −4 A.
Além disso, como B = cos� − sen �
sen� cos� e =
cos� sen�
−sen � cos � , segue que B = B = cos2� + sen2� = 1.
Logo, � = −4�1�2, pois, pelo teorema 1,
A=( B ) A (detB)= (B AB) → A = �1 0
0 �2 = �1�2.
Para provar que � = −4�1�2, usamos que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes dessas matrizes.
Assim, a equação geral do segundo grau 25 representa: Uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio se � < 0. Uma hipérbole ou um par de retas concorrentes se � > 0.
Uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio se � = 0.
Exemplo
Considere a função quadrática � , = 7 2− 48 − 7 2− 30 − 40 + 75, com
= 7, =−48, = −7, = −30, = −40 e = 75.
Seja A = 7 −24
−24 −7 a matriz da função quadrática. Então, a equação característica da matriz A é
70
� � = � −247 � + 7 24 = � − 7 � + 7 − 576 = �2− 625 = 0
cujas raízes são �1 = 25 e �2 =−25, isto é, �1 = 25 e �2 =−25 são os autovalores de A.
Os autovetores ( , ) relativos ao auto vetor �1 = 25 são as soluções do sistema
�1− 7 + 24 = 0 24 + �1+ 7 = 0 ↔ 18 + 24 = 0 24 + 32 = 0 ↔ = − 4 3 . Tomemos = 1 4 5,− 3
5 , que é o autovetor unitário relativo ao autovalor �1 = 25.
Como os autovetores relativos ao autovalor �2 =−25 , são ortogonais ao autovetor
1 , basta tomar = 2 3 5, 4 5 .
Seja � o sistema de eixos ortogonais tal que � tem a mesma direção e sentido do vetor , e � tem a mesma direção e sentido do vetor 1 . Ou seja, o sistema 2
� é obtido girando os eixos � e � , no sentido positivo, do ângulo � 0,�2 , tal que cos� =3
5 e sen� = 4
5, equivale a um ângulo � de aproximadamente 53,13º.
No sistema � , a função � se escreve como
� , = 25 2− 25 2+ 4/5 −3/5
3/5 4/5 −30,−40 , , + 75 ↔ � , = 25 2− 25 2+ −24 + 24 + (−18 − 32) + 75
↔ � , = 25 2− 25 2− 50 + 75
↔ � , = 25 2− 25 + 1 2+ 100
Portanto a curva de nível 100 da função � é dada pela equação
25 2− 25 + 1 2+ 100 = 100 ↔ 25 2− 25 + 1 2 = 0
+ 1 = ou + 1 = −
que representa duas retas concorrentes no ponto (0,1), nas coordenadas e . Como
, = 4/53/5 −3/54/5 , = 4 −3
5 ,
3 +4 5 ,
temos que as retas nas coordenadas e , são:
− + = −1 ↔ − 4 − 3 + 3 + 4 = −5 ↔ − + 7 = −5; + = −1 ↔ 4 − 3 + 3 + 4 = −5 ↔ 7 + = −5. Estas retas se cortam no ponto
= 4/5 −3/5 3/5 4/5 0,−1 = 3 5,− 4 5 .
Para ≠ 100, a linha de nível da função � é a hipérbole 25 2− 25 + 1 2 = − 100 ↔ −1002
25
− +1 −1002 25
= 1.
Se > 100, a reta focal da hipérbole é a reta = −1, paralela ao eixo - � , e se < 100, a reta focal é o eixo - � .
Para = −100, a hipérbole é dada pela equação − 82+ +1 2
8 = 1.
Nas coordenadas e , (0, −1) é o centro, = = 8, = 4, = 0 é a reta focal, = −1 é a reta não focal,(0, 8 − 1) e (0, − 8 − 1) são os vértices, 8, −1 e − 8, −1 são os vértices imaginários, (0,3) e (0,5) são os focos e = ±( + 1) são as assíntotas da hipérbole.
72
Pela mudança de coordenadas,
, = −3/5 4/5 4/5 3/5 , = 4 +3 5 , −3 +4 5 , obtemos que = −3 5,− 4 5 é o centro, 1 = 3 8−3 5 , 4 8−4 5 e 1 = −3 8−3 5 , −4 8−4 5 são os vértices, 1 = 4 8−3 5 , −3 8−4 5 e 1 = −4 8−3 5 , 3 8−4 5 são os vértices imaginários, 1 = ( 9 5, 12
5) e 2= (−3, −4) são os focos da hipérbole nas coordenadas
e .
E pela mudança de coordenadas, , = 4/53/5 −3/54/5 , = 4 −3
5 ,
3 +4 5 ,
segue que r: 4 − 3 = 0 é a reta focal, r’: 3 + 4 = −5 é a reta não focal, e s+: − 7 = 5 e s-: 7 + =−5 são as assíntotas da hipérbole nas coordenadas e .
3.4.5 Proposta de atividade
Objetivos: conscientizar sobre a importância da escrita matematicamente correta; fixar fórmulas e conceitos; estimular o uso do computador para a resolução de situações problemas; adquirir conhecimentos úteis ao mundo do trabalho.
Duração: 3 h/a.
Sugestão: utilizar as fórmulas expostas na parte teórica do texto.
3.4.5.1 Atividade
1- Programar uma planilha eletrônica para determinar o indicador (verifica se a cônica é uma elipse, hipérbole ou parábola), a matriz da forma quadrática, o polinômio característico, os autovalores, os autovetores e a equação do segundo grau no novo sistema.
Solução
1- Abaixo, temos a planilha programada: