A definição da função poder do teste é exatamente a mesma:
β(μ) = Pr(rejeitar H0|μ)
O problema aqui é que, para calcularβ(μ), precisamos de um programa computacional que calcule probabilidades da distribuição t para qualquer valor da abscissa. A título de ilustração, vamos calcular o poder do Exemplo 1 para o valor alternativo μ= 95 :
β(95) = Pr
Os valores0.00032e0.44884foram obtidos com um programa computacional estatístico.
11.5 Valor P
Assim como no caso da função poder, o cálculo do valor P requer programas conm-putacionais que calculem probabilidades da distribuiçãot para qualquer abscissa. Mas a interpretação do valor P continua sendo a mesma: valores pequenos de P indicam eventos pouco prováveis de ocorrerem quandoH0 é verdadeira. Assim, continua valendo a seguinte regra de decisão:
Devemos rejeitar a hipótese nula H0 ao nível de significância α sempre que o valor P for menor ou igual a α,ou seja:
RejeitamosH0 ⇐⇒P ≤α
No Exemplo 1, o valorP é P = 2×Pr
∙
X >105,5|√
16X−100
10 ∼t(15)
¸
= 2×Pr
∙
t(15)>√
16105,5−100 10
¸
= 2×Pr [t(15)>2,2]
= 2×0,02195 = 0,0439
Como P <0,05, rejeitamosH0 ao nível de significância de 5%.
11.6 Exercícios
1. Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 9 extraída de uma população normal apresentou média igual a x = 13,35 e desvio padrão s = 3,1. Deseja-se testar
H0 : μ= 12,8 H1 : μ6= 12,8
(a) Determine a região crítica correspondente ao nível de significância α= 0,02.
(b) Com base na região crítica encontrada no item anterior, estabeleça a con-clusão, tendo o cuidado de usar um fraseado que não seja puramente técnico.
2. Uma empresa fabricante de balas afirma que o peso médio de suas balas é de pelo menos 2 gramas. Pela descrição do processo de produção, sabe-se que o peso das balas distribui-se normalmente. Uma amostra de 25 balas apresenta peso médio de 1,98 gramas e um desvio padrão de 0,5 grama.. O que se pode concluir sobre a afirmação do fabricante? Use um nível de significância de 5%.
3. Em uma linha de produção, peças são produzidas de modo que o comprimento seja normalmente distribuído. Ajustes periódicos são feitos na máquina para garantir que as peças tenham comprimento apropriado de 15 cm, pois as peças muito curtas não podem ser aproveitadas (as peças longas podem ser cortadas). A cada hora são extraídas 9 peças da produção, medindo-se seu comprimento. Uma dessas amostras apresenta comprimento médio de 14,5 cm e desvio padrão de 0,5 cm.
Use o nível de significância de 0,1% para testar a hipótese de que o processo esteja operando adequadamente.
4. Depois de desenvolver um algoritmo para acelerar a execução de determinada tarefa rotineira em um escritório de contabilidade, o analista de sistema analisa uma amostra de 25 tempos, obtendo uma média 46,5 segundos e desvio padrão de 5 segundos. Dos dados passados, ele sabe que o tempo de execução é aproxi-madamente normal com média de 48,5 segundos. Use o nível de significância de 5% para decidir se o algoritmo do analista realmente melhorou o desempenho do sistema.
5. Uma propaganda afirma que o consumo médio de gasolina de determinada marca de automóvel é de 12 litros por 100 quilômetros rodados. Um teste com 36 au-tomóveis desta marca acusa um consumo médio de 12,4 litros por 100 quilômetros rodados com desvio padrão de 1 litro por quilômetro rodado. O que se pode concluir sobre a propaganda? Use o nível de significância de 10%.
11.7 Solução dos Exercícios
1. n= 9, α= 0,02⇒t8; 0,01= 2,896.Logo, a região crítica é T0 >+2,896 ou T0 <−2,896 O valor observado da estatística de teste é
t0 = 13.35−12.8
3.1 3
= 0,53226
que não pertence à região crítica; logo, não podemos rejeitarH0.
2. A afirmativa do fabricante é μ ≥ 2. Logo, a negação de tal afirmação é μ < 2.
Como essa última expressão não contém o sinal de igualdade, ela se torna a hipótese alternativa. Então, nossas hipóteses são:
H0 : μ= 2 H1 : μ < 2
n= 25;α= 0,05 =⇒t24; 0,05 = 1,711. Logo, a região crítica é T0 <−1,711
O valor observado da estatística de teste é t0 = 1.98−2.0
0.5 5
=−0,2
que não pertence à região crítica; logo, não podemos rejeitar H0, ou seja, as ev-idências amostrais indicam que as balas pesam pelo menos 2 gramas.
3. O problema na produção surge quando μ <15.Logo, nossas hipóteses são:
H0 : μ= 15 H1 : μ <15
n= 9, α= 0,001 =⇒t8; 0,001 = 4,501. A região crítica é T0 <−4,501
e o valor observado desta estatística de teste é t0 = 14.5−15
0.5 3
=−3,0
Como o valor observado t0 = −3,0 não está na região crítica, não podemos re-jeitar H0, ou seja, as evidências amostrais indicam que o processo está operando adequadamente.
4. A intenção do analista é reduzir o tempo; logo, o interesse dele é que μ <48,5.A negação dessa afirmativa éμ≥48,5.Logo, nossas hipóteses são:
H0 : μ= 48,5 H1 : μ <48,5
n= 25, α= 0,05 =⇒t24; 0,05 = 1,711. Logo, a região crítica é T0 <−1,711
e o valor observado desta estatística é
t0 = 46.5−48.5
5 5
=−2,0
Como o valor observado t0 = −2,0 pertence à região crítica, devemos rejeitar H0, ou seja, as evidências amostrais indicam que o analista foi bem-sucedido em reduzir o tempo de execução.
5. Se o consumo for menor ou igual a 12 litros por 100 km, não há problema com a propaganda. O problema surge se o consumo for superior. Logo, nossas hipóteses são:
H0 : μ= 12 H1 : μ >12
Supondo que o consumo X possa ser aproximado por uma distribuição normal, podemos usar a distribuiçãot(35).Comα= 10%, t35; 0,10= 1,306e a região crítica é
T0 >1,306 O valor observado desta estatística de teste é
t0 = 12.4−12
1 6
= 2,4
Como o valor observado t0 = 2,4 está na região crítica, devemos rejeitar H0, ou seja, a propaganda parece ser enganosa.
Teste de Hipótese: Variância da N (μ; σ 2 )
Neste capítulo completaremos o estudo de teste de hipótese sobre parâmetros de uma população, analisando o caso da variância de uma população normal. Assim como na construção de intervalos de confiança, nossa estatística de teste tem distribuição qui-quadrado e a região crítica, como antes, será formada pelos valores pouco prováveis desta estatística de teste sob a hipótese nula.
12.1 Contexto básico
Considere uma população descrita por uma variável aleatória normal com média μ e variância σ2 : X ∼ N(μ;σ2). Nosso interesse é testar hipóteses sobre a a variância σ2 a partir de uma amostra aleatória simplesX1, X2, . . . , Xn.Como visto anteriormente, a estatística
χ2 = (n−1)S2 σ2
tem distribuição qui-quadrado comn−1 graus de liberdade.
De posse desta estatística de teste, o procedimento de construção do teste é idêntico ao visto nos últimos capítulos: identificadas a hipótese nula (sempre na forma de uma hipótese simples σ2 = σ20) e a hipótese alternativa, a região crítica é formada pelos valores da estatística de teste pouco prováveis sob H0 . O nível de significância e o tipo de hipótese alternativa permitem a identificação precisa do que são “valores pouco prováveis”: são valores na(s) cauda(s) da distribuição de χ2 quando a hipótese nula é verdadeira.
Vamos formalizar o procedimento geral e em seguida apresentaremos alguns exemplos de aplicação.
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