Poeira e Fluidos Perfeitos

Vamos agora, discutir dois casos importantes de distribui¸c˜oes cont´ınuas de mat´eria- energia: poeira e fluidos perfeitos. Inicialmente vamos descrever um fluido: trata-se de uma distribui¸c˜ao cont´ınua de mat´eria-energia que “flui”. Explicando, considere uma distribui¸c˜ao cont´ınua de mat´eria-energia como antes. Fixe nela uma posi¸c˜ao de interesse p , uma dire¸c˜ao espacial especificada (relativa a um referencial de inte- resse) como ~n, e seja τ0 := T (~n,~l) onde ~l ´e uma dire¸c˜ao espacial ortogonal a ~n (veja

a figura (5.3)) em p, e onde T (~n,~l) ´e avaliado em p como descrito anteriormente na pagina (82). Dada uma camada da distribui¸c˜ao transversal a ~n e passando por p (representado pelo elemento de volume ∆V1 na figura), τ0 representa uma for¸ca de

cisalhamento6, que faz com que essa camada se desloque com uma 3-velocidade ~u0,

paralela `a ~l, relativamente a outra camada paralela separada por uma distˆancia Y (representada na figura pelo elemento de volume ∆V2). Nestas condi¸c˜oes, dois com-

Figura 5.3: Tens˜ao de cisalhamento.

portamentos qualitativos distintos podem ser identificados que s˜ao normalmente utilizados para caracterizar a distribui¸c˜ao cont´ınua de mat´eria-energia como um fluido (como uma distribui¸c˜ao de mat´eria-energia “que flui”):

1. S´olidos “resistem” a esse tipo de for¸ca de cisalhamento com uma for¸ca restau- radora do tipo el´astica, que ´e a respons´avel portanto, no presente contexto, de impedir a este tipo de distribui¸c˜ao cont´ınua de mat´eria-energia de fluir. 2. Fluidos n˜ao apresentam este tipo de for¸ca de “resistˆencia” el´astica a for¸cas de

cisalhamento. O que ocorre com este tipo de distribui¸c˜ao de mat´eria-energia ´

e que, se a camada ∆V2 ´e vista estacion´aria com a camada ∆V1 vista se mo-

vendo relativamente a ela da forma descrita, ent˜ao camadas intermedi´arias da distribui¸c˜ao s˜ao vistas se movendo com uma distribui¸c˜ao de 3-velocidades que aumenta linearmente com a distˆancia y a partir da camada estacion´aria: ~

u = y

Y ~u0. A tens˜ao de cisalhamento τy subsequente experimentada por estas camadas intermedi´arias (oposta `a suas 3-velocidade) ´e proporcional ao gra- diente de velocidade dk~uk

dy = 1

Y k~u0k. A constante de proporcionalidade se chama “viscosidade” do fluido, µ. Isto ´e, τy = −µ

dk~uk dy .

Para nossa discuss˜ao aqui, interessa em particular o caso dos chamados “flui- dos ideais”: definidos como fluidos em que as componentes do seu tensor energia- momentum s˜ao dadas por

Tµν = (P + ρc2)

uµuν

c2 + P ηµν.

Explicando mais detalhadamente, um pouco, o tensor energia-momentum para um fluido ideal ´e o tensor do tipo (0, 2) definido por

T ≡ 1

2(P + ρc

2

)u ⊗ u + P g, (5.3) onde:

• u ´e o campo de 4-velocidades para o fluido de interesse, visto como um tensor do tipo (0, 1). Este campo especifica em cada evento a 4-velocidade do ele- mento do fluido localizado na posi¸c˜ao espacial associada, no instante do evento de interesse, ap´os a especifica¸c˜ao de um referencial inercial;

• P e ρ s˜ao, respectivamente, a press˜ao e densidade do fluido em um evento de interesse, vistos em seu referencial instantˆaneo de repouso;

• g ´e o tensor m´etrico avaliado no evento de interesse.

Assim, se xµ _{´e um referencial inercial global relativamente ao qual o tensor m´etrico}

satisfaz g(∂µ, ∂ν) = ηµν para uma base do espa¸co tangente no evento de interesse,

temos neste evento:

(u ⊗ u)(∂µ, ∂ν) = (u · ∂µ)(u · ∂ν) = uµuν = (ηµαuα)(ηνβuβ)

= g(uα∂α, ∂µ)g(uβ∂β, ∂ν)

onde o vetor tangente u no evento de interesse ´e visto relativamente ao referencial xµ como u = uλ_∂

λ. Ou seja: posto que neste caso as componentes de u relativamente

ao referencial xµ _{visto como um tensor do tipo (0, 1) s˜ao}

uλdxλ := (ηθλuθ)dxλ,

teremos no evento de interesse (u ⊗ u)(∂µ, ∂ν) = uµuν. O que leva a equa¸c˜ao para

as componentes de T relativas ao referencial xµ_:

T (∂µ, ∂ν) = Tµν =

1

c2(P + ρc 2

)uµuν + P ηµν.

Vamos olhar para as componentes de T no caso em que xµ´e o referencial de repouso do fluido. Neste caso, a 4-velocidade u de um elemento do fluido no evento deve possuir a forma [uµ_{] = (c, 0, 0, 0). Logo,}

uµ= ηµβuβ = ηµ0c, uν = ηνβuβ = ην0c,

Tµν = (P + ρc2)ηµ0ην0+ P ηµν.

Isto nos fornece os seguintes resultados

T00 = (P + ρc2) − P = ρc2, (5.4)

Tii = (P + ρc2)ηi0ηi0+ P ηii = P, (5.5)

Ti0= (P + ρc2)ηi0η00+ P η‘i0 = 0, (5.6)

T0i= (P + ρc2)η0iη00+ P η‘0i = 0, (5.7)

Tji = (P + ρc2)ηj0η0i+ P ηji = 0, j 6= i, (5.8)

onde i, j = 1, 2, 3. Em termos de uma representa¸c˜ao matricial, podemos escrever

[Tµν] =     ρc2 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P    

no referencial de repouso do fluido no evento de interesse, no qual T = Tµνdxµ⊗ dxν

est´a sendo avaliado. Conv´em observar que de uma forma geral a densidade de massa- energia medida no evento por um observador com 4-velocidade v no seu referencial de repouso ser´a a seguinte:

Tv c, v c  = 1 c2Tµνv µ_vν ₌ 1 c2ρv µ_vν_η µθuθηνλuλ + 1 c4P v µ_vν_η µθuθηνλuλ+ 1 c2P ηµνv µ_vν = P c4c 2_(u0₎2_{− P +} 1 c4ρc 4_(u0₎2 = −P + P γ2(~u) + ρc2γ2(~u) = P (γ2(~u) − 1) + ρc2γ2(~u) = P|~v| 2 c2 γ 2_{(~u) + ρc}2_γ2_(~u) =  ρc2+ P|u| 2 c2  γ2(~u). (5.9)

Isto se reduz ao termo ρc2 _{quando o referencial de repouso do observador no evento}

coincide com o do fluido, mas cont´em caso contr´ario termos dependentes da press˜ao. Estas considera¸c˜oes mostram o seguinte. Seja ˜xµ o referencial instantˆaneo de repouso do fluido (isto ´e, de elementos de volume ou de uma camada do fluido representadas por um elemento de volume) no evento de interesse. Se Tij denotam

as componentes do tensor energia-momentum do fluido avaliados neste evento vistas relativas a xµ _{para i, j = 1, 2, 3, vimos que ser´a T}

ij = P ηij. Sejam n, l dois vetores

neste evento vistos como puramente espacias relativamente ao referencial xµ_{no qual}

assume-se que seja n = ni∂i, l = lj∂j. Ent˜ao, se l representa uma dire¸c˜ao espacial

no evento ortogonal a n, de forma que nk_l

k= niljηij = 0, teremos que

T (n, l) = T (ni∂i, lj∂j) = niljTij = niljTij = (niljηij)P = 0.

Assim, camadas do fluido transversais a n na posi¸c˜ao espacial de interesse (isto ´e, associada ao evento de interesse) n˜ao experimentam nenhuma for¸ca de cisalhamento e nenhuma tens˜ao de cisalhamento provocada pelo deslocamento relativo de camadas do fluido paralelas vizinhas. Neste sentido, o fluido se comporta como um fluido de viscosidade µ = 0. Esta ´e uma propriedade fundamental de fluidos com tensor energia-momentum dado pela equa¸c˜ao (5.3), motivo de serem chamados de fluidos perfeitos ou ideais.

No caso em que o fluido possui press˜ao P nula dizemos que o fluido ´e uma “po- eira”. Para este tipo de distribui¸c˜ao de mat´eria-energia o tensor energia-momentum ´e dado por

T = ρc

2

2 u ⊗ u.