Pontos Calculáveis da Fun¸cão de Parti¸cão

4.2 Teorias de Gauge com Grupo de Gauge Z 2

4.2.2 Pontos Calculáveis da Fun¸cão de Parti¸cão

Já sabemos que a fun¸cão de parti¸cão é calculável no caso em que z = (γ, 0), pois assim recuperamos o caso, a menos um fator de escala, em que a álgebra é uma álgebra de Hopf

e o peso é o mesmo do definido inicialmente no formalismo de Kuperberg. Conforme mostraremos, outro caso em que a fun¸cão de parti¸cão é calculável é quando z = (0, 1). Nesse caso o peso Mabc fica

Mabc= tr (ϕ1ϕabc) ⇒ Mg = tr (ϕ1ϕg),

observe que esse caso é equivalente a uma transforma¸cão de base do caso em que z = (1, 0), e tal transforma¸cão é a transforma¸cão A1, que é uma das transforma¸cões que não mudam

a interpreta¸cão da teoria, então o caso z = (0, 1) é equivalente ao caso em que z = (1, 0) e portanto a fun¸cão de parti¸cão é calculável neste ponto e, pelo mesmo argumento já usado antes, a fun¸cão de parti¸cão é calculável para z = (0, η).

Usando um argumento bastante diferente, podemos mostrar que Z também é calculável quando z = ϕ0 + ϕ1 = (1, 1), essa demonstra¸cão baseia-se no fato de que z = (1, 1) é

uma co-integral (co-tra¸co do mapa de co-multiplica¸cão) da álgebra de grupo (apêndice B), portanto é válido a seguinte rela¸cão da figura 4.17.

(a)

(b)

Figura 4.17: em (a) a co-integral da ´algebra de grupo e em (b) a parametriza¸c˜ao com a co-integral.

O peso Mabcfica como mostrado na figura 4.17 (b). Note que cada curva azul contribui

com uma estabiliza¸cão para a fun¸cão de parti¸cão, além disso as outras setas do tensor Mabc são na verdade co-unidades, como pode ser visto na figura 4.17 (b). Estas setas

est˜ao necessariamente ligadas `a tensores ∆a1a2···a_k

e portanto o resultado são vários ciclos triviais vermelhos e várias estabiliza¸cões. Para ser mais preciso teremos nF estabiliza¸cões

e nL ciclos triviais vermelhos, na figura 4.18 temos um exemplo de o que acontece quando

Mabc ´e o dado pela figura 4.17 (b).

Conclu´ımos que quando z = (1, 1) a fun¸cão de parti¸cão se trivializa, tudo o que obtemos nesse caso são potências de estabiliza¸cões e ciclos triviais vermelhos, mas conforme já

Figura 4.18: o modelo parametrizado com a co-integral ´e trivialmente fator´avel.

discutidos ambos são numericamente iguais à dimensão da álgebra e a fun¸cão de parti¸cão fica

Z (_{M, L) = d}nF+nL_.

Exemplo 4.3 Cálculo da Fun¸cão de Parti¸cão para S3_{, no Caso z = (1, 1).}

Este é de longe o caso mais trivial de todos, pois para qualquer que seja a variedade e a triangula¸cão, a fun¸cão de parti¸cão é a dada acima. No caso particular em que a variedade é S3 _{e o diagrama simplificado é o mesmo usado no exemplo 4.1, obtemos}

Z(S3,_{L) = 2}8+6 = 214.

Nesse caso a parte topológica da fun¸cão de parti¸cão é

ZT OP _{= 1.}

⋄ ⋄ ⋄

Resumindo, o que sabemos até agora é que a fun¸cão de parti¸cão Z é calculável em três retas do espa¸co formado pelos parâmetros γ e η. Tais retas são (0, η), (γ, 0) e (γ, γ). Existe ainda um outro valor de z para o qual Z pode ser calculada, que é o ponto z = (γ,_−γ). Isso pode ser provado simplesmente aplicando a seguinte transforma¸cão de base

R(η) =   1 0 0 η   ⇒ L(η) = R−1(η) =   1 0 0 η−1  , note que Rba= δ b a δ0a+ η δa1 e Lba= δ b a δa0+ η−1 δa1 .

O procedimento que usaremos, para mostrar que z = (1,_{−1) também é um ponto} em que a fun¸cão de parti¸cão é calculável, será o seguinte: primeiro mostraremos que o tra¸co Mg = tr ((ϕ0+ ηϕ1) ϕg) transforma-se no tra¸co Mg = tr ((ϕ0 + ϕ1) ϕg) sobre tal

transforma¸cão, o que equivale a dizer que este se transforma no tra¸co da co-integral. Em seguida mostraremos que para certos valores do parâmetro η as constantes de estrutura da multiplica¸cão não se alteram e portanto o peso associado às faces ficam exatamente igual ao peso da figura 4.17 (b). Isso é suficiente para o nosso objetivo, pois o peso da figura 4.17, possui a propriedade de separar todo o diagrama, conforme pode ser visto na figura 4.18, o que faz com que a fun¸cão de parti¸cão se trivialize.

Sendo assim, o tra¸co Mg transforma-se, sobre esta mudan¸ca de base, da seguinte

maneira Mg = Lag Ma = δab δ 0 a+ η −1 _δ1 a   tr(ϕa) | {z } |G|δ0 a +η tr(ϕ1 ϕa) | {z } |G|δ1 a    = |G| δa g δ0a+ δ1a = |G| δ0 g +|G|δg1,

ou seja, obtemos exatamente o que quer´ıamos

Mg = tr ((ϕ0+ ϕ1) ϕg) = tr (zI ϕg) ,

sendo zI = ϕ0+ ϕ1, que é um dos pontos em que a fun¸cão de parti¸cão é calculável.

As constantes de estrutura da ´algebra transformam-se da seguinte maneira mcab = L α a L β b R c γ m γ αβ,

fazendo os c´alculos obtemos m0

00= m000 = 1 , m001 = η m100= 0,

m100= η m100 = 0 , m011 = η−2 m011= η−2,

portanto para essas constantes de estruturas ser˜ao invariantes por essa mudan¸ca de base se fizermos

η−2 = 1 ⇒ η = ±1.

Para η = 1 reproduzimos o caso j´a estudado (zI = ϕ0+ ϕ1), por isso η = 1 n˜ao nos

interessa. Para η = _{−1 obtemos o caso z = ϕ}0 − ϕ1, o qual estamos interessados no

momento, passemos ent˜ao a considerar η = −1, dessa forma o peso Mabc passa a ser o

Para o cálculo da fun¸cão de parti¸cão resta ainda sabermos o que acontece que os tensores de co-multiplica¸cão sobre tal mudan¸ca de base

∆bc_a = Rb β R c γ L α a ∆ βγ α ,

assim ficamos com

∆bca = R b β R c γ L α a δ β α δ γ α = Rb₀ Rc₀ L0a+ R b 1 R c 1 L1a = δab δ c a δ0a+ η δa1 = ∆bca αη(a),

sendo αη(a) = δa0+ η δa1, assim o co-tra¸co na nova base fica

∆ab_a = ∆b = αη(b),

note que a fun¸c˜ao αη(a), rec´em definida, possui a seguinte propriedade

αη(a) αλ(a) = αηλ(a),

com isso conclu´ımos que

∆a1a2 = ∆a1a2 b ∆ b ⇒ ∆a1a2 =X b δa1 b δ a2 b αη2(b).

Tal rela¸c˜ao pode ser facilmente generalizada para

∆a1a2···an = X b δa1 b δ a2 b · · · δ an b αηn(b) = X b ∆a1a2···an _α ηn(b).

Resumindo, os tensores ∆a1a2···an _{e M}

abc, sob tal mudan¸ca de base, transformam-se da

seguinte maneira    ∆a1a2···an = P_a₁∆a1a2···an _α ηn(a₁),

Mabc = tr (zI ϕabc) sendo zI = ϕ0 + ϕ1.

Para o cálculo da fun¸cão de parti¸cão numa rede arbitrária, os tensores ∆a1a2···an _e

Mabc aparecem com os respectivos ´ındices contra´ıdos uns com os outros, mas o efeito da

contra¸c˜ao de Mabc = tr (zI ϕabc) com os tensores ∆ a1a2···an

´e o mesmo que o mostrado na figura 4.18. Isso significa que todos ´ındices do tensor ∆a1a2···an _{estar˜ao contra´ıdos com}

co-unidades. Além disso, há uma potência de estabiliza¸cões correspondente ao número de faces da triangula¸cão, assim o resultado obtido é

ǫa1ǫa2· · · ǫan ∆ a1a2···an =X b ǫa1ǫa2· · · ǫanδ a1 b δ a2 b · · · δ an b αηn(b) = 1 + ηI(l),

sendo I(l) o n´umero de incidˆencia de faces no link l.

Lembrando que estamos tratando do caso em que η = −1, logo

ǫa1ǫa2· · · ǫan ∆ a1a2···an = 1 + (−1)I(l)₌   

0 para I(l) = ´ımpar, 2 para I(l) = par. Finalmente a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, para z = ϕ0− ϕ1, fica

Z (M, L) = 2nF Y l

1 + (−1)I(l)_,

o que significa que a fun¸cão de parti¸cão em (1,−1) será nula se houver pelo menos um link com incidência de faces ´ımpar, caso contrário a fun¸cão de parti¸cão fica

Z (_{M, L) = 2}nF+nl_.

O ponto (1,−1) certamente é um ponto trivialmente topológico da teoria, uma vez que a fun¸cão de parti¸cão depende da triangula¸cão, mas mesmo assim é poss´ıvel que a fun¸cão de parti¸cão seja trivialmente calculada neste caso.

Obtemos então quatro pontos para os quais a fun¸cão de parti¸cão é calculável, são eles: z = (1, 0), z = (0, 1), z = (1, 1) e z = (1,−1). Considere o espa¸co formado pelos parâmetros γ e η de z, cada poss´ıvel valor de z corresponde a um ponto desde espa¸co definido por hz = (γ, η) ∈ K × K : z ∈ Z (A)i. Visto que o fato de Z ser calculável nos pontos descritos acima implica que Z é calculável nas retas: z = (γ, 0), z = (0, η), z = (γ, γ) e z = (γ,−γ). Na figura 4.19 temos um gráfico do espa¸co formado pelos parâmetros de z e as respectivas retas para as quais Z é calculável.

Destas quatro retas em que a fun¸cão de parti¸cão é calculável somente dois pontos correspondem a uma fun¸cão de parti¸cão topológica, que são os pontos (0, 1) e (1, 0). Pode-se parametrizar uma teoria de gauge em fun¸cão dos parâmetros γ e η, assim cada modelo f´ısico corresponde a uma curva no espa¸co de tais parâmetros. Decidir se uma teoria será quase topológica, ou se a fun¸cão de parti¸cão será calculável, é uma questão de saber se a curva que corresponde a um dado modelo passa por algum dos pontos

Figura 4.19: pontos calculáveis da fun¸cão de parti¸cão para grupo de gauge Z2.

desenhados na figura 4.19, ou mesmo se esta curva intercepta alguma das quatro retas desenhadas na mesma figura. A seguir, vamos tratar de dois modelos espec´ıficos, que são os casos em que a a¸cão do sistema é a spin-gauge e a a¸cão de Wilson.

No documento Teorias de campos discretas e modelos topológicos (páginas 91-97)