Até agora vimos como implementar portas de um qubit, e como montar circuitos com elas. Contudo, para de fato construir um computador quântico universal, precisamos ser capazes de implementar portas de dois qubits, através das quais podemos gerar estados emaranhados. De fato, emaranhamento é impossível de ser gerado apenas com portas de um qubit atuando em estados não emaranhados ou estados produto.
Imagine uma operação de dois qubits que faça o seguinte mapeamento: |H, Hiab → √1
2(|H, Hicd+ |V, V icd), (4.20) ou seja, mapeia um estado produto em um estado de Bell. Se olharmos para os operadores de criação e aniquilação, o mapeamento ocorre da seguinte forma:
ˆ a†Hˆb†H|ψ0i → 1 √ 2 ˆ c†Hdˆ†H + ˆcV†dˆ†V|ψ0i . (4.21)
É preciso recordar também que estamos lidando apenas com óptica linear e trans- formações unitária, logo esses operadores se transformam da seguinte forma:
ˆ a†Hˆb†H = X j Uj1ˆc † j ! X k Uk2dˆ † k ! . (4.22)
onde, por construção, essa expressão é separável, enquanto que o estado gerado é emara- nhado. Em outras palavras, usando portas de um qubit e uma dinâmica de óptica linear, é impossível gerar o estado de Bell acima, sendo necessário utilizar portas de dois qubits. Diferente das portas de 1 qubit, que podem ser facilmente implementadas usando a codificação dual rail, a implementação de uma porta de dois qubits com óptica linear é muito mais complexa, e não poderá ser feita deterministicamente. Matematicamente, isso se deve à linearidade das transformações de Bogoliubov, que é a transformação que rege as mudanças nos operadores de criação e aniquilação (ver [9]). No entanto, como veremos agora, é possível realizar essas portas de forma probabilística apenas com óptica linear. 4.6.0.1 Porta CZ probabilística
Para os propósitos desse trabalho, basta falarmos da porta de dois qubits CZ. Um circuito quântico que implementa essa porta pode ser visto na figura 15, na qual o input |ξi |φi consiste de quatro modos óticos distintos, e pela codificação discutida em 4.12, temos portanto dois qubits.
Figura 15 –Porta CZ.
Os componentes do circuito são duas caixas pretas e dois beam splitters 50:50 (em que as probabilidades de transmissão e reflexão coincidem). A caixa preta tem o seguinte efeito numa superposição de estados de Fock:
|ψi = a |0i + b |1i + c |2i −→ a |0i + b |1i − c |2i . (4.23) O nome caixa preta se origina de uma ignorância a priori de como construir um circuito específico para computar certa função. Embora em muitos casos essa ignorância seja mantida, isso não será verdade para o circuito da Figura 15, no qual é possível efetivamente abrir essas caixas pretas. Antes de abri-las, entretanto, vejamos como o circuito atua na base codificada:
|00iL−→ |00iL (4.24)
|01iL−→ |01iL (4.25)
|10iL−→ |10iL (4.26)
É fácil verificar os mapeamentos acima. Como as caixas pretas só atuam de forma não trivial em modos com dois fótons, como vimos na Eq. (4.23), os únicos efeitos significativos serão os dos beam splitters. Contudo, o último BS inverte o efeito do primeiro, e de fato obtemos os resultados (4.24)-(4.26).
Para o elemento |11iL da base lógica, será importante verificarmos a ação do BS explicitamente. Um BS 50:50 pode ser implementado, matricialmente, da seguinte forma:
ˆb† 1 ˆb† 2 ! = √1 2 1 i i 1 ! ˆ a†1 ˆ a†2 ! . (4.27)
Sua atuação sobre estado |11i realiza o mapeamento: |11i → |20i − |02i√
Note que isso significa que os fótons sempre saem juntos do BS, e esse efeito é conhecido como Hong-Ou-Mandel (HOM) [14]. Como o fenômeno HOM força os dois fótons a viajarem juntos pelo circuito, as duas caixas pretas colocarão um fase de (-1) global no estado, e o segundo BS inverterá o efeito HOM. Assim, o efeito total será |11i → − |11i, o que completa a prova de que esse circuito é uma CZ.
A implementação da CZ probabilística por meio do circuito da Figura 15 foi proposta pioneiramente por Knill, Laflamme e Milburn [15], onde mostrou-se que as caixas pretas podem ser abertas num circuito que envolve apenas elementos de óptica linear e fotodetectores perfeitos (veja a Figura 16).
Figura 16 – Porta CZ probabilística.
O input desse circuito é |ψi |01i, onde |01i denota dois modos auxiliares: um no estado de vácuo e o outro populado por um fóton, respectivamente. Além disso, esse circuito é probabilístico (já que ele erra sempre que o resultado de saída não for |10i) com probabilidade de sucesso de 14, como discutido em [9]. Na realidade, como argumentado em [16], essa probabilidade pode ser otimizada para no máximo 12.
Vale destacar ainda que ao só aceitarmos o output |ψi |10i, estamos usando um procedimento que chamamos de pós-seleção. Em poucas palavras, a pós-seleção condiciona a resposta correta de saída a um evento específico, que no caso do circuito usado, é o evento de medir 01 nos modos auxiliares. Retornaremos a essa discussão no capítulo 5, onde será apresentada uma definição mais formal dessa ferramenta.
Por fim, sabemos que CZ e portas de um qubit formam um conjunto universal para computação quântica, logo, óptica linear com pós-seleção é universal, fato que bastará para discutirmos supremacia quântica no próximo capítulo. Entretanto, se temos uma porta CZ com probabilidade de sucesso p, a probabilidade de sucesso de uma sequência com M delas cairá como pM (veja [9]). Logo, uma única porta probabilística não é suficiente para computação universal.
Nesse sentido, o chamado protocolo KLM [15] foi criado. Esse protocolo utiliza ideias de teletransporte e correção quântica de erros, garantindo um aumento na probabilidade de sucesso da CZ, com custo no máximo polinomial. Graças a esse trabalho, foi mostrado
Cap´ıtulo
5
Supremacia Computacional
More often than not, the only reason we need experiments is that we’re not smart enough.
— Scott Aaronson
Neste capítulo trataremos da chamada supremacia ou vantagem quântica, a qual consiste em demonstrar que computadores quânticos resolvem certas tarefas mais eficiente- mente que computadores clássicos. Verificaremos como a simulação de sistemas quânticos restritos1impacta a teoria de complexidade computacional, e como esses impactos fornecem
evidências para corroborar a ideia de uma supremacia computacional quântica. Mais especificamente, o sistema restrito tratado neste capítulo será o modelo de computação baseado em óptica linear.
No ano de 2019, a empresa Google, afirmou ter demonstrado a supremacia utilizando um computador quântico de apenas 53 qubits supercondutores [6]. Também em 2019, cientistas chineses trataram do mesmo tema utilizando um computador quântico baseado em óptica [17]. De fato, esta área de pesquisa é bastante atual, e seu estudo pode desencadear avanços tecnológicos importantes para computação quântica universal.