(4.1) El algoritmo de derivaci´on de Nazarova y Roiter.
Lema 6. Sea I un poset. Si w(I) ≥ 4, I tiene tipo de repre-sentaci´on infinito.
Dem. Daremos la demostraci´on simple que vale cuando k tiene infinitos elementos. La demostraci´on general puede verse en el art´ıculo de Dlab y Ringel ([?]).
Dado λ ∈ k consideremos la representaci´on siguiente de un poset discreto de 4 elementos.
λ | 1 | 1 | 0 1 | 1 | 0 | 1
Un c´alculo f´acil muestra que todo endomorfismo de esa repre-sentaci´on es formado por matrices escalares.
A partir de este hecho, vemos que los ´unicos posets cuyo tipo de representaci´on (finito o infinito) es a´un indeterminado son los posets de ancho 3. Veremos que de hecho hay posets de ancho 3 de tipo de representaci´on finito y tambi´en los hay de tipo de representaci´on infinito.
Por ejemplo, si I es un poset discreto de 3 elementos, I tiene tipo de representaci´on finito. En efecto, su categor´ıa de representaciones es equivalente a la de una aljaba de tipo D4.
En [?] Nazarova y Roiter dise˜naron un algoritmo, llamado algoritmo de derivaci´on en un elemento maximal, que permite decidir si un poset dado de ancho 3 es de tipo de representaci´on finito o no. El algoritmo se describe a continuaci´on.
Sea I un poset tal que tiene un elemento maximal c para el cual se verifica w(I \ c5) ≤ 2, condici´on que es obviamente satisfecha si w(I) = 3.
Definici´on 15. Se define el poset derivado de I en c, ∂cI obe-deciendo a las determinaciones siguientes. El conjunto ∂cI es I \ {c} ∪Sc, donde Sc es un conjunto disjunto de I que admite una biyecci´on con el conjunto de los subposets discretos de I de la forma {r, s, c}.
Para facilitar la exposici´on, denotemos r∨s el elemento de Sc asociado por esa biyecci´on a la terna {r, s, c}. Entonces, el orden de ∂cI se define extendiendo el orden de I\ {c} por medio de las condiciones siguientes.
Si t∈ I \ {c} y {r, s, c} es discreto, escribimos t r∨ s si y s´olo si t r o t s.
Escribimos r ∨s t si vale simult´aneamente que r t y s t.
Finalmente, si {r0, s0, c}es discreto, escribimos r∨s r0∨s0 si cada elemento de {r, s} es que alguno de los elementos r0 o s0.
Ejemplo 7. Sea I un poset discreto de tres elementos {a, b, c}.
Tenemos, sucesivamente:
I1 = ∂cI = {a, b, a∨b}, I2 = ∂a∨bI1 = {a, b}, I3 = ∂bI2 = {a}, I4 = ∂aI3 = ∅
.
Ejemplo 8. Sea I el poset
1 3 6
↑ ↑
2 5
↑ 4
1 es un punto maximal y las ternas discretas que lo con-tienen son las siguientes.
136 135 134 126 125 124.
Entonces, derivando con respecto a 1 tenemos el siguiente poset.
6 → 2∨ 6 → 3∨6
↑ ↑ ↑
5 → 2∨ 5 → 3∨5
↑ ↑ ↑
4 → 2∨ 4 → 3∨4
↑ ↑
2 → 3
.
El teorema principal con relaci´on a este algoritmo (que pro-baremos siguiendo a Gabriel en [?]), afirma, entre otras cosas, que el n´umero de indescomponibles de I−sp es igual al n´umero de indescomponibles de ∂cI m´as el n´umero de elementos de
∂cI\c5 m´as 1. Por lo tanto, resulta que para que I tenga tipo de representaci´on finito es necesario y suficiente que la aplicaci´on reiterada del algoritmo termine en el conjunto vac´ıo.
Vale la pena observar tambi´en que el poset derivado de-pende mucho del elemento maximal elegido. Por ejemplo, en
el caso de I del ejemplo anterior, si derivamos con relaci´on al punto maximal 6, tenemos el poset siguiente.
1∨3
↑ 3 5
1∨2 ↑ ↑
|
1 2 4
Derivando ahora con relaci´on a 1∨3 tenemos el poset siguiente
1∨2 3 5
↑ ↑
1 2 4
y, despues, los siguientes posets previa derivaci´on con respecto, sucesivamente, a 1∨2,3∨5,3∨4,5∨1,5,3∨1,2∨1,3∨4,3,4∨1 llegando a un poset discreto de 3 elementos que es de tipo finito.
3∨5
↑ 3∨4
3 5
↑ ↑
1 2 4
3∨4
3 5
↑ ↑
1 2 4
5∨1
3 5
↑ ↑
2 4 1
3 5
↑ ↑
2 4 1
3∨ 1
↑ 3
2∨ 1
↑
2 1 4
3 2∨ 1
↑
2 1 4
3∨4
↑ ↑
2 4 1
3
↑
2 4 1
4∨1
2 4 1
2 4 1.
Obervaci´on 11. El teorema de Kleiner (ver [?]) afirma que un poset I es de tipo de representaci´on finito si y s´olo si no contiene ning´un subposet pleno cr´ıtico, siendo que los posets cr´ıticos de Kleiner son los siguientes.
• K1 (1,1,1,1)
• K2 (2,2,2)
• K3 (1,3,3)
• K4 (1,2,5)
• K5 (N,4)
donde, con un n´umero, n, indicamos el poset de ancho 1 con n elementos, y con N, el poset
· ·
↑ ↑
· · .
Es interesante observar que al agregar un v´ertice a los primeros cuatro, obtenemos respectivamente, aljabas cuyos grafos son los diagramas de Dynkin D˜4,E˜6,E˜7 y E˜8.
El algoritmo de Nazarova-Roiter permite probar f´ acilmen-te que los cinco posets cr´ıticos de Kleiner tienen tipo de rep-resentaci´on infinito. Por ejemplo, derivando K2 tres veces es posible obtener como resultado el K1, que ya sabemos que es de tipo de representaci´on infinito. Ver (4.4).
Obervaci´on 12. El algoritmo de derivaci´on de Nazarova y Ro-iter, con respecto a un elemento maximal, se extiende natural-mente al caso de un elemento mimimal, c, tal que w(I\c4) ≤ 2.
El conjunto derivado se denota por c∂I y es formado por los el-ementos de I \ {c}) y por elementos nuevos denotados r ∧ s,
uno para cada par r, s tal que r, s, c sea discreto. El funtor de derivaci´on correspondiente es denotado por c∂. Es claro que tambi´en vale para este caso el an´alogo del teorema de Gabriel.
(4.2) I-espacios sp-inyectivos
En esta secci´on, siguiendo a Gabriel, analizamos algunos otros aspectos de la categor´ıa de I-espacios.
Definici´on 16.
• a) Un morfismo de I-espacios f : M → M0 se dice propio si, para cada x ∈ I, f(Mx) = Mx0 ∩f(M).
• b) Un monomorfismo propio de I-espacios, f : M →M0 se llama esencial si, para todo morfismo g, g es un monomor-fismo propio si y s´olo si gf es un monomorfismo propio.
• c) Un I-espacio, Q es sp-inyectivo si, para todo monomor-fismo propio f : M → M0 y para todo morfismo g : M → Q, existe un morfismo g0 : M0 →Q tal que g = g0f.
• d) Un morfismo de I-espacios u : M → Q es una sp-envolvente inyectiva si u es un monomorfismo propio esen-cial y si Q es sp-inyectivo.
Proposici´on 3. Dado el poset I, los I-espacios sp-inyectivos indescomponibles son
• Q∗, la envolvente inyectiva de P∗.
• para cada x ∈ I el I-espacio Qx que tiene 0 en los lugares de x5 y k en los v´ertices restantes.
Adem´as, el I-espacio Q es sp-inyectivo si y s´olo si 5−(Q) es un kIo-m´odulo inyectivo. Y, finalmente, se tiene que todo I-espacio M tiene una sp-envolvente inyectiva.
Dem. Es inmediato comprobar que un monomorfismo f de I -espacios es propio si y s´olo si5−f es un monomorfismo. De aqu´ı resultan de inmediato las dos ´ultimas afirmaciones. Entonces, las dos primeras se obtienen simplemente calculando la imagen por 5+ de los kIo-m´odulos inyectivos indescomponibles.
Proposici´on 4. Sea I un poset de ancho menor o igual que 2. Entonces, las representaciones indescomponibles de I que no son simples propias se corresponden biyectivamente con los I-espacios proyectivos indescomponibles, Px, x ∈ I, m´as la en-volvente inyectiva de P∗, Q∗, o, equivalentemente, con los I -espacios sp-inyectivos indescomponibles, Qx, x ∈ I ∪ {∗} y las sumas Qr + Qs, obtenidas considerando Qr, Qs contenidos en Q∗, que corresponden a cada subposet discreto {r, s}.
Dem. Recordemos que las representaciones indescomponibles que no son simples propias son: las simples, las de dimensi´on 2 y las de dimensi´on 3 definidas por cada subposet discreto de ancho 2. Las afirmaciones resultan f´acilmente si calculamos las im´agenes de esas representaciones por el funtor de reducci´on H.
(4.3) El teorema de derivaci´on de Gabriel
En esta secci´on demostraremos un teorema de Gabriel que esencialmente consiste en la legitimaci´on del algoritmo de Na-zarova y Roiter.
Usaremos las notaciones siguientes.
I es un poset con n elementos Ic = I \c5
c es un elemento maximal de I tal que w(Ic ≤2) Ic0 = ∂cI
Jc = Ic0 \c5
(I −sp)c es la subcategor´ıa plena de los I-espacios que no tienen ning´un sumando directo indescomponible M conMc = 0.
Definici´on 17. ∂c : I −sp → Ic0 −sp es el funtor que, a cada I-espacio M, asocia el Ic0-espacio (Mc,(Mc∩Mx)x,(Mc∩(Mr+ Ms)r∨s), y a cada morfismo de I-espacios, f, la restricci´on de f al subespacio asociado al elemento c.
Para facilitar la exposici´on de la demostraci´on del teorema de Gabriel, definimos tambi´en, de manera completamente an´aloga el funtor siguiente.
Definici´on 18. ∂ˆc : I −sp → Ic0 −sp es el funtor que, a cada I-espacio M, asocia el Ic0-espacio M,(Mx)x,(Mr+Ms)r∨s), y es la identidad en los morfismos.
.
Teorema 3. (Gabriel)
Con las hip´otesis y notaciones que preceden, tenemos.
• a) ∂c es denso y pleno
• b) La restricci´on de ∂c a (I −sp)c refleja isomorfismos.
• c) | (ind(I −sp)) |=| (ind(Ic0 −sp)) | + | Ic0 \c5 | +1.
Dem. Observamos inicialmente que si se restringe el funtor ˆ∂c a Ic−spresulta un funtor de esa categor´ıa en Jc−sp. Denotaremos esa restricci´on por ∂ˆˆc.
Afirmaci´on 1. El funtor∂ˆˆc define una equivalencia entreIc−sp y la categor´ıa de los Jc-espacios sp-inyectivos.
Es claro que el funtor es fiel y pleno. Para completar la de-mostraci´on nos apoyamos en que, por la hip´otesis, w(Ic) ≤2, de modo que los Ic-espacios indescomponibles son los sp-inyectivos y las sumas de los pares correspondientes a subposets discretos de ancho 2. Por otro lado, los Jc-espacios sp-inyectivos inde-scomponibles est´an enumerados por los elementos de Jc junto con el inyectivo de dimensi´on m´axima. En otras palabras, ambas categor´ıas tienen el mismo n´umero de objetos indescomponibles y, por lo tanto, es suficiente comprobar que la imagen por el funtor de cada indescomponible de Ic−sp es un sp-inyectivo de Jc −sp.
Consideremos inicialmente un indescomponible proyectivo Px, x ∈ Ic. El m´odulo Px tiene el espacio k en todo v´ertice Y tal que x y, y el espacio 0 en los dem´as v´ertices. Su imagen por el funtor depende de como es el poset Ic \x4. Si este poset tiene un m´aximo, s, entonces, como resulta directamente de las definiciones, ∂ˆˆc(Px) = Qs . En cambio, si Ic \ x4 tiene dos elementos maximales r y s, entonces resulta que la imagen es Qr∨s.
Supongamos ahora que el indescomponible es de la forma Pr+Ps, donde {r, s} es un subposet discreto de Ic. Este espacio tiene un k en todo lugar que siga a r o a s. Su imagen por el funtor depende del poset Ic \(r4 ∪s4). Si este poset tiene un m´aximo, s0, se tiene que ∂ˆˆc(Pr + Ps) = Qs0. Si, en cambio, el poset tiene dos elementos maximales r0 y s0, entonces la imagen resulta ser Qr∨s0.
Finalmente, es claro que la imagen de P∗ es precisamente Q∗.
Denotemos por |c la restricci´on de la la categor´ıa de Ic0 -espacios a la categor´ıa de Jc-espacios, es decir, si V es un Ic0 -espacio, V|c es la familia de los mismos espacios vectoriales pero definida solamente para los elementos de Jc.
Lema 7. Sea V un I-espacio de (I −sp)c. Entonces,
∂cV |c,→ ∂ˆcV |c es la sp-envolvente inyectiva de ∂cV |c.
Dem. Es claro, por la hip´otesis, que ∂cV |c es un Jc-espacio, en tanto que ˆ∂cV |c es un Jc-espacio sp-inyectivo y, de las defini-ciones de los funtores, resulta que la inclusi´on indicada es un monomorfismo propio. Tenemos entonces que ˆ∂cV |c= W⊕W0, donde W es la sp-envolvente inyectiva. Como consecuencia, V = W ⊕W0 y Vc ⊂ W0.
Introducimos los I-espacios U y U0 mediante las defini-ciones siguientes.
U = W Ux = Vx ∀x ∈ c5 Uz = Wz ∀z ∈ Ic U0 = W0 Ux0 = 0 ∀x ∈ c5
Uy0 = Wy0 ∀z ∈ Ic
.
Tenemos entonces que V = U ⊕ U0 pero, como V estaba en (I −sp)c, resulta U0 = 0 y W0 = 0.
Para probar que el funtor de derivaci´on es denso, definimos una secci´on suya, que denotamos por ∂c−. Dado un Ic0-espacio, W, sea U una sp-envolvente inyectiva de W |c. Entonces, us-ando nuestras notaciones usuales, definimos W− por las condi-ciones siguientes.
W− = U
Wx− = Wx ∀x ∈ c5 Wz− = Uz ∀z ∈ Ic
.
Por su definici´on, U es de la forma ∂ˆˆcU0 y entonces resulta f´acilmente que ∂cW− ∼= W. Recordar que, por definici´on de sp-envolvente inyectiva, la inclusi´on de W en U es un mono-morfismo propio.
Mostremos ahora que el funtor de derivaci´on, ∂c es pleno.
Como ´el se anula en los indescomponibles que tienen asociado ac el espacio 0, podemos suponer que tenemos dado un morfismo f de ∂cV en∂cV0, con Vy V0 en (I−sp)c. Usando la propiedad de las sp-envolventes inyectivas, tenemos el diagrama conmutativo siguiente.
∂cVc ,→ ∂ˆcV |c
↓ f ↓ g
∂cV0 |c ,→ ∂ˆcV0 |c
que nos lleva al siguiente diagrama conmutativo.
Vc ,→ V
↓ f ↓ g Vc0 ,→ V0
de donde deducimos facilmente que ∂cg = f. Ahora, es claro que, si f era un isomorfismo, entonces necesariamente su re-stricci´on aJc-espacios es un isomorfismo y, por lo tanto,g resulta ser un isomorfismo. Esto prueba el item b) del teorema.
Finalmente, es claro que el funtor de derivaci´on anula ex-actamente los indescomponibles V que tienen Vc = 0, que son exactamente los Ic-espacios indescomponibles. Como sabemos, el n´umero de estos es exactamente el n´umero de elementos de Ic0 \c5 m´as 1.
Esto termina la demostraci´on del Teorema 3.
(4.4) Aplicaci´on: los posets cr´ıticos de Kleiner tienen tipo de representaci´on infinito.
Recordemos que los posets cr´ıticos de Kleiner son los de las formas (1,1,1,1), (2,2,2), (1,3,3), (N,4) y (1,2,5).
Ya vimos que (1,1,1,1) tiene tipo de representaci´on infinito y es interesante comprobar que el algoritmo de Nazarova y Roi-ter llevar´ıa, en este caso, a que (1,1,1,1) tiene tipo de
rep-resentaci´on finito. El hecho es que el algoritmo no puede ser aplicado porque no se verifica la hip´otesis de que w(I \c5) ≤ 2.
El algoritmo de Nazarova y Roiter puede ser aplicado a los otros cuatro conjuntos cr´ıticos de Kleiner, porque todos ellos tienen ancho 3.
Derivando (2,2,2) con relaci´on a un elemento maximal, se obtiene un poset que contiene un subposet pleno de la forma (1,1,1,1).
Derivando (1,3,3) con relaci´on al elemento maximo de una de las cadenas de longitud 3 se tiene un poset con un subposet pleno de tip[o (2,2,2).
Derivando (N,4) con relaci´on al m´aximo de la cadena de longitud 4 se tiene un poset que contiene un subposet pleno de tipo (1,1,1,1).
Derivando (1,2,5) con relaci´on al maximo de la cadena de longitud 5 se obtiene un poset que contiene un subposet pleno de la forma (N,4).
(4.5) La derivaci´on de Zavadski con relaci´on a un par conveniente.
Obervaci´on 13. En lo que sigue nos basamos en la exposici´on de Simson ([?]). Sin embargo, para simplificar, realizamos varias alteraciones en las definiciones y en los argumentos pues esta-mos interesados solamente en la deesta-mostraci´on del teorema de Kleiner. El algoritmo de derivaci´on que presentamos a contin-uaci´on fue introducido en el art´ıculo [?]. Vease tambi´en [?]
Notaci´on. En lo que sigue denotaremos por Iba el poset sigu-iente.
Iba = I \a4 \b5.
Definici´on 19. Diremos que, dados a, b ∈ I, (a, b) es un par conveniente en I si las condiciones siguientes son verificadas.
1. a 6 b 2. | Iba |≤1
3. Si c ∈ Iba, entonces {a, c} y {b, c} son discretos.
Definici´on 20. Sea (a, b) un par conveniente en I. Se define el poset derivado de I en (a, b), ∂(a,b)I =: I(a,b)0 de la manera siguiente.
El conjunto es
∂(a,b)I = {b5 ∪a4 ∪C}
donde o C = ∅, si Iba = ∅, o C = {c−, c+}, si Iba = {c}.
Y el orden es definido por las condiciones siguientes donde usamos sub´ındices I, I0 para individualizar, cuando nos parezca conveniente, el de I o el de I0. Adem´as, se estipula que si, entre elementos diferentes x, y, existen las dos relaciones x y y y x, entonces ellos deben ser idenficados en el conjunto derivado.
Si Iba = ∅, x I0 y ⇔ x I y, o x = a, y = b.
Si Iba = {c},
a b a c+ c− b
c+ t (t∈ a4, cI t) s c− (s ∈ b5, s I c)
.
En particular, si b I a, debemos tener a = b en I(a,b)0 .
Esta nueva operaci´on de derivaci´on es acompa˜nada tambi´en con un algoritmo para asociar I(a,b)0 -espacios a I-espacios dados.
Una diferencia importante con relaci´on al caso ya considerado de derivaci´on con relaci´on a un elemento maximal es que nuestra nueva aplicaci´on no es un funtor: s´olo est´a definida en los objetos de la categor´ıa.
Definici´on 21. Sea (a, b) un par conveniente en I. Definimos
∂(a,b) :I −sp → I(a,b)0 −sp
de la manera siguiente. Dado el I-espacio V, elegimos inicial-mente un espacio suplementar, U, de Vb en Va +Vb: Va+ Vb = U⊕Vb y definimos∂(a,b)(V) = W por las condiciones siguientes.
W = V /U
Wc− = ((Vb ∩Vc) +U)/U Wc+ = (Va +Vc)/U
Wt = (Vt +U)/U (t∈ a4∪ b5) .
Observemos que W es realmente un I(a,b)0 -espacio y que, en el caso de que sea b I a, se tendr´a Wa = Wb, como debe ser de acuerdo con la identificaci´on a = b.
Notaci´on. En lo que sigue, si no hay posibilidad de confu-siones, simplificaremos la notaci´on escribiendo ∂ en vez de ∂(a,b). Teorema Fundamental Supongamos que (a, b) es un par con-veniente en I. Entonces valen las proposiciones siguientes.
1. ∂(V⊕V0) = ∂V⊕∂V0
2. Si V es un I-espacio indescomponible, entonces
∂V = 0 ⇔
V ∼= Pa
o en (kI∗ −mod)sp
V ∼= Pa+ Pc
3. Si V es un I-espacio indescomponible con ∂V 6= 0, en-tonces ∂V es un I(a,b)0 -espacio indescomponible y ∂ define una biyecci´on entre estas dos familias de espacios indescom-ponibles.
4. | ind(I −sp) |=| ind(I(a,b)0 −sp) | + | Iba | +1 Es f´acil ver que
References
[D-R] V. Dlab & C. M. Ringel, On algebras of finite repre-sentation type, J. Algebra 33 (1975) 306-394.
[Ga] P. Gabriel, Repr´esentations ind´ecomposables des en-sembles ordonn´es, S´em. Dubreil (Alg`ebre) 1972/73, 13/01-13/04.
[K] M. Kleiner - Partially ordered sets of finite type, Zap.
Nauchn. Sem. Leningrad Otdel. Mat. Inst. Steklov.
(LOMI) 28 (1972) 32-41.