O Potencial delta de Dirac

Um potencial local escrito em coordenadas espaciais ´e dado por

hR′|V |Ri = V (R)δ(R′− R), (B.92)

onde V (R) = (2π)Dλδ(R). No espa¸co dos momentos este potencial pode ser escrito como hp′_{|V |pi = hp}′_| Z dD_R′ _|R′_ihR′_|  V Z dD_{R |RihR|}  |pi = Z dDR dDR′ 1 (2π)D/2e−ip ′_.R′ hR′|V |Ri_(2π)1D/2e ip.R = λ Z dDR eip.Rδ(R) Z dDR′ e−ip′.R′δ(R′) = λg∗(p)g(p′), (B.93)

onde g(p) ´e o fator de forma do potencial, no caso de um potencial delta de Dirac temos g(p) = 1.

C.

O m´etodo de Runge-Kutta de quarta

ordem

Neste apˆendice estudaremos o m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) e apresen- taremos um exemplo de como proceder com o c´alculo iterativo. O m´etodo de Runge-Kutta consiste em um c´alculo iterativo impl´ıcito e expl´ıcito para a resolu¸c˜ao num´erica (aproxima¸c˜ao) de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. Se uma fun¸c˜ao y(x) possuir k + 1 derivadas cont´ınuas em um intervalo entre β e x, podemos escrever usando o polinˆomio de Taylor

y(x) = y(β) + y(1)_{(β)(x − β) + ... + y}(k)(β)(x − β) k

k! + y

(k+1)_(γ)(x − β)k+1

(k + 1)! , (C.1)

onde γ pertence ao intervalo entre β e x. Substituindo β por xne x por xn+1onde xn+1 = xn+h, podemos escrever a Eq. (C.1) como

y(xn+1) = y(xn+ h) = y(xn) + y(1)(xn)h + h2 2!y (2)_(x n) + ... + hk+1 (k + 1)!y k+1_{(γ) (C.2)}

agora temos que γ pertence ao intervalo entre xn e xn+1. Fazendo k = 4 na Eq. (C.2) temos

y(xn+1) = y(xn+h) = y(xn)+y(1)(xn)h+ h2 2!y (2)_(x n)+ h3 3!y (3)_(x n)+ h4 4!y (4)_(x n)+ h5 5!y 5_{(γ). (C.3)}

O procedimento de Runge-Kutta de quarta ordem consiste em encontrar constante apropriadas tal que

yn+1 = yn+ ak1+ bk2+ ck3+ dk4. (C.4)

A maneira mais popular de escolher estas constantes consiste em k1 = hf (xn, yn) k2 = hf (xn+ 1 2h, yn+ 1 2k1) k3 = hf (xn+ 1 2h, yn+ 1 2k2) k4 = hf (xn+ h, yn+ k3), (C.5)

e por fim podemos calcular

yn+1= yn+ 1

6(k1+ 2k2+ 2k3+ k4). (C.6)

Do ponto de vista computacional ´e importante notar que k2 depende de k1 assim como k4 depende de k3, logo na implementa¸c˜ao do c´odigo computacional deve-se levar em conta a dependˆencias destas fun¸c˜oes uma das outras [49]. Como o RK4 deve satisfazer um polinˆomio de quarta ordem, podemos estimar o erro deste m´etodo como sendo proporcional a h5_.

Vamos apresentar um exemplo de como ´e feita a itera¸c˜ao progressiva do m´etodo fazendo o primeiro passo n = 0. Seja uma equa¸c˜ao diferencial ordinaria de primeor grau y′ _{= 2x}2_y. Escolhemos a condi¸c˜ao inicial como y(1) = 1 e fixamos o espa¸camento em h = 0.1. Para n = 0 temos k1 = hf (xn, yn) = (0.1)(2x2₀y0) = 0.2 k2 = hf (xn+ 1 2h, yn+ 1 2k1) = (0.1)2(x0+ 1 20.1) 2_(y 0+ 1 20.2) = 0.2425 k3 = hf (xn+ 1 2h, yn+ 1 2k2) = (0.1)2(x0+ 1 20.1) 2_(y 0+ 1 20.2425) = 0.2472 k4 = hf (xn+ h, yn+ k3) = (0.1)2(x0+ 0.1)2(y0+ 0.2472) = 0.3018. (C.7)

69 Substituindo a Eq.(C.7) na Eq. (C.6) encontramos

y1 = y0+ 1

6(0.2 + 2(0.2425) + 2(0.2472) + 0.3018)

= 1.2469. (C.8)

O m´etodo de RK4 tamb´em pode ser aplicado para equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem, como foi feito neste trabalho.

[1] C. Chin, R. Grimm, P. Julienne e E. Tiesinga. Feshbach resonances in ultracold gases. Rev. Mod. Phys., vol. 82, p´ags 1225-1286, Abril 2010.

[2] M. Repp, R. Pires, J. Ulmanis, R. Heck, E. D. Kuhnle e M. Weidem¨uller. Observation of interspecies6_Li-133_{Cs Feshbach resonances. Phys. Rev. A. 87, 010701, Janeiro 2013.} [3] S.-K. Tung, C. Parker, J. Johansen, C. Chin, Y. Wang and P. S. Julienne. Ultracold

mixtures of atomic 6_{Li and} 133_{Cs with tunable interactions. Physical Review A, vol. 87,} 010702, Janeiro 2013.

[4] I. Bloch, J. Dalibard e W. Zwerger. Many-body physics with ultracold gases. Reviews of Modern Physics, vol. 80, p´ags 885-964, Julho 2008.

[5] A. G¨orlitz, J. M. Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman, T. L. Gustavson, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, S. Gupta, S. Inouye, T. Rosenband e W. Ketterle. Realization of Bose- Einstein Condensates in Lower Dimensions. Phys. Rev. Lett. 87, 130402, Setembro 2001. [6] A. H. Hansen, A. Y. Khramov, W. H. Dowd, A. O. Jamison, B. Plotkin-Swing, R. J. Roy, and S. Gupta. Production of quantum degenerate mixtures of ytterbium and lithium with controllable inter-species overlap. Phys. Rev. A. 87, 013615, Janeiro 2013.

[7] V. N. Efimov. Weakly-bound states of three resonantly- interacting particles. Yad. Fiz, vol. 12, Maio 1970.

[8] F. Ferlaino e R. Grimm. Forty years of Efimov physics: How a bizarre prediction turned into a hot topic. Physics: Atomic and Molecular Physics. 3, Janeiro 2010.

REFER ˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS 71 [9] V. N. Efimov. Energy levels of three resonantly interacting particles. Nucl. Phys. A210,

p´ags 157-188, Agosto 1973.

[10] A. C. Fonseca, E. F. Redish e P. E. Shanley. Efimov effect in an analytically solvable model. Nuclear Physics A, vol. 320, p´ags 273-288, 1979.

[11] E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen e E. Garrido. The three-body problem with short- range interactions. Phys. Rep. 347, p´ags 373-459, 2001.

[12] E. Braaten e H. W. Hammer. Universality in few-body systems with large scattering length. Phys. Rep. 428, p´ags 259-390, 2006.

[13] M. T. Yamashita, F. F. Bellotti, T. Frederico, D. V. Fedorov, A. S. Jensen e N. T. Zinner, Single-particle momentum distributions of Efimov states in mixed-species systems. Phys. Rev. A. 87, 062702, Junho 2013.

[14] H.-W. Hammer e L. Platter. Efimov States in Nuclear and Particle Physics. Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 60. Setembro 2010.

[15] T. Kraemer, M. Mark, P. Waldburger, J. G. Danzl, C. Chin, B. Engeser, A. D. Lange, K. Pilch, A. Jaakkola, H.-C. N¨agerl e R. Grimm. Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms. Nature Physics, vol. 440, p´ags 315-318, Mar¸co 2006. [16] B. Huang, L. A. Sidorenkov, R. Grimm, e J. M. Hutson. Observation of the Second

Triatomic Resonance in Efimov’s Scenario. Phys. Rev. Lett. 112, 190401, Maio 2014. [17] R. Pires, J. Ulmanis, S. H¨afner, M. Repp, A. Arias, E. D. Kuhnle, e M. Weidem¨uller.

Observation of Efimov Resonances in a Mixture with Extreme Mass Imbalance. Phys. Rev. Lett. 112, 250404, Junho 2014.

[18] S.-K. Tung, K. J.-Garc´ıa, J. Johansen, C. V. Parker e C. Chin. Geometric Scaling of Efimov States in a 6_{Li −}133_{Cs Mixture. Phys. Rev. Lett. 113, 240402 Dezembro 2014.} [19] M. Zaccanti, B. Deissler, C. D’Errico, M. Fattori, M. Jona-Lasinio, S. M¨uller, G. Roati,

M. Inguscio e G. Modugno. Observation of an Efimov spectrum in an atomic system. Nature Physics, vol. 5, p´ags 586-591, Julho 2009.

[20] N. Gross, Z. Shotan, S. Kokkelmans e L. Khaykovich. Observation of Universality in Ultracold 7_{Li Three-Body Recombination. Phys. Rev. Lett. 103, 163202, Outubro 2009.} [21] J. A. Tjon. Bound states of 4_{He with local interaction. Physics Letters B, vol. 56, Abril}

1975.

[22] T. K. Lim e B. Shimer. The Fonseca-Redish-Shanley solvable model for a molecular three- body system and the efimov effect in two dimensions. Zeitschrift fur Physik A Hadrons and Nuclei, vol. 297, p´ags 185-188, Setembro 1980.

[23] E. Nielsen, D. V. Fedorov e A. S. Jensen. Three-body halos in two dimensions. Physical Review A, vol. 56, p´ags 3287-3290, Outubro 1997.

[24] E. Nielsen, D. V. Fedorov e A. S. Jensen. Structure and Occurrence of Three-Body Halos in Two Dimensions. Few-Body Systems, vol. 27, p´ags 15-55 1999.

[25] J. P. D’Incao, F. Anis e B. D. Esry. Ultracold three-body recombination in two dimensions. Phys Rev. A, vol. 91, 062710 Junho 2015.

[26] F. F. Bellotti, T. Frederico, M. T. Yamashita, D. V. Fedorov, A. S. Jensen e T. Zin- ner. Mass-imbalanced three-body systems in two dimensions. Few-Body Syst. 46, 055301 Fevereiro (2013).

[27] A. C. Fonseca, J. Revai e A. Matveenko. Three body molecular description of 9_{Be (1).} Born-Oppenheimer approximation. Nuclear Physics A, vol. 326, p´ags 182-192, 1979. [28] A. C. Fonseca e P. E. Shanley. Model Three-Body Problem in Molecular Mass Limit. Ann.

of Phys, vol. 117, p´ags 268-291, 1979.

[29] F. F. Bellotti, T. Frederico, M. T. Yamashita, D. V. Fedorov, A. S. Jensen e T. Zinner. Supercircle description of universal three-body states in two dimensions. Phys. Rev. A. 85, 025601, Fevereiro 2012.

[30] J. H. Sandoval, F. F. Bellotti, A. S. Jensen e M. T. Yamashita. Mean-Square radii in mixed-species systems in two dimensions. [physics.atom-ph] arXiv:1507.0056v1, Feve- reiro 2016.

REFER ˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS 73 [31] F. F. Belloti, Two- and three-dimensional few-body systems in the universalregime. Tese de Doutoramento apresentado ao programa de P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica e Astronomia da Universidade de Aarhus, Dinamarca 2014.

[32] S. K. Adhikari e T. Frederico. Renormalization Group in Potential Scattering. Phys. Rev. Lett. 74, 4572, Junho 1995.

[33] M. Abramowitz e I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. p´ag 1072S (New York:Dover), 1965.

[34] Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur e E. Hecht. Schaum’s Outline of Quantum Mechanics. Segunda edi¸c˜ao. Chap.11 2010.

[35] N. N. Khuri, A. Martin e T. T. Wu. Bound States in n Dimensions (Specially n = 1 and n = 2). Few Body Syst. 31. p´ag 83-89, 2002.

[36] X. L. Yang, S. H. Guo, F. T. Chan, K. W. Wong e W. Y. Ching. Analytic Solution of a Two-Dimensional hydrogen atom. I. Nonrelativistic theory. Physical Review A, vol. 43, Fevereiro 1991.

[37] M. Guo, B. Zhu, B. Lu, X. Ye, F. Wang, R. Vexiau, N. B.-Maafa, G. Qu´em´ener, O. Dulieu e D. Wang. Creation of an Ultracold Gas of Ground-State Dipolar 23_Na87_{Rb Molecules.} Phys. Rev. Lett. 116, 205303, Maio 2016.

[38] K. K. Hansen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen, N; T. Zinner. Classical crystal formation of dipoles in two dimensions. Physica Scripta. 90, 125002, Dezembro 2015.

[39] K.-K. Ni, S. Ospelkaus, M. H. G. de Miranda, A. Pe´er, B. Neyenhuis, J. J. Zirbel, S. Kotochigova, P. S. Julienne, D. S. Jin e J. Ye. A High Phase-Space-Density Gas of Polar Molecules. Science, Vol.322, 5899, p´ags 231-235, Outubro 2008.

[40] M. H. G. de Miranda, A. Chotia, B. Neyenhuis, D. Wang, G. Qu´em´ener, S. Ospelkaus, J. L. Bohn, J. Ye e D. S. Jin. Controlling the quantum stereodynamics of ultracold bimolecular reactions. Nature Physics, Vol.7, p´ags 502-507, Mar¸co 2011.

[41] D.-W Wang, Mikhail D. Lukin e E. Demler. Quantum Fluids of Self-Assembled Chains of Polar Molecules. Phys. Rev. Lett. 97, 180413, Novembro 2006.

[42] M. Klawunn, A. Pikovski e L. Santos.Two-dimensional scattering and bound states of polar molecules in bilayers. Physical Review A, vol. 82, 044701, Outubro 2010.

[43] J. R. Armstrong, N. T. Zinner, D. V. Fedorov e A. S. Jensen. Bound states and universality in layers of cold polar molecules. Europhysics Letters, 91, 16001, Julho 2010.

[44] A. G. Volosniev, D. V. Fedorov, A. S. Jensen e N. T. Zinner. Few-body bound state stability of dipolar molecules in two dimensions. Physical Review A, vol. 85, 023609, Fevereiro 2012.

[45] A. F. R. de Toledo Piza, Mecˆanica Quˆantica. ed. EDUSP Chap.10 2010. [46] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics. ed. San Fun Tuang Chap.07 1994.

[47] W. Ketterle e M. W. Zwierlein, Making, probing and understanding ultracold Fermi gases, [cond-mat.other] arXiv:0801.2500v1, Janeiro 2008.

[48] R. H. Landau, Quantum Mechanics II, Segunda edi¸c˜ao. WILEY-VCH Chap.04 2004. [49] K. N. F. Valle, M´etodos Num´ericos de Euler e Runge-Kutta. Monografia apresentada ao