Potencial sim´ etrico - As vantagens e desvantagens do Mathematica

2.3 As vantagens e desvantagens do Mathematica

3.1.1 Potencial sim´ etrico

Figura 3.1: Gráfico de ψ(x) obtido a partir da resolu¸cão numérica da equa¸cão de Schrödinger utilizando o potencial 2x2_{, o valor da energia pr´}_opria do estado fundamental (obtido utilizando a ex- pressão teórica (3.6)), e, as condi¸cões de fronteira ψ(−5) = 0 e ψ0(−5) = 0.01. O estado não se en- O caso simples do po¸co infinito pode ser re-

solvido da forma descrita acima, no entanto, na situa¸cão ligeiramente mais complexa do po¸co finito ou oscilador harmónico quântico tal pro- cedimento deixa de ser praticável somente de- vido ao facto que ψ diverge para um x suficientemente grande. Isto é problemático pois esse valor de x, na maioria dos casos, encontra-se no interior do dom´ınio em estudo, como pode ser verificado na Figura 3.1. Quando se es- tuda esse sistema analiticamente, pode dizer-se que a constante associada ao termo responsável por essa divergência é nula, resolvendo assim o problema. Numericamente não se tem essa op¸cão. Para evitar esse problema, o dom´ınio em estudo (delimitado à esquerda e à direita por xmin e xmax); é dividido em duas par- tes, e a equa¸cão é resolvida para cada uma

ψ(xmedio) à esquerda e à direita, e o outro é a diferen¸ca entre ψ0(xmedio) à esquerda e à direita, onde xmedio= |xmin− xmax|/2. A equa¸cão esquerda será resolvida utilizando as condi¸cões de fronteira ψ(xmin) = 0, e, ψ0(xmin) = a, onde a é um valor arbitrário. A equa¸cão direita será resolvida com as condi¸cões de fronteira ψ(xmax) = 0 e ψ0(xmax) = ±a. A presen¸ca do sinal de mais ou menos deve-se ao facto de que o estado próprio ψ(x) pode ser uma fun¸cão par ou ´ımpar. Isto é apenas ver- dade se o potencial for simétrico em rela¸cão ao eixo definido por x = xmedio, ou seja, se o potencial for uma fun¸cão par dentro do dom´ınio especificado; caso contrário ψ0_(x

min) 6= ±ψ0(xmax). ´

E poss´ıvel simplificar um pouco mais o esquema. Caso ψ(x) seja par, o valor de ψ(xmedio) terá o mesmo valor esquerda e à direita, assim como, se ψ(x) for ´ımpar, ψ0(xmedio) terá o mesmo valor à esquerda e à direita, desta forma é apenas necessário utilizar um dos parâmetros de shooting. Se for assumido que o n´ıvel fundamental é sempre par e todos os n´ıveis subsequentes são alternadamente pares e ´ımpares, é sempre conhecida a paridade do próximo estado próprio, e, qual parâmetro de shooting deve ser testado.

Para alternar entre a procura estados pares e ´ımpares, estabelece-se a condi¸c˜ao de fronteira ψ0(xmin) = cψ0(xmax). Inicialmente, procura-se um estado par, ent˜ao c = −1 e,

∆ψl = |ψ0(xmedio)esq− ψ0(xmedio)dir|, (3.3)

e o parâmetro de shooting. Após encontrar esse estado, o sinal de c deverá ser trocado e o parâmetro de shooting é agora,

∆ψ = |ψ(xmedio)esq− ψ(xmedio)dir|, (3.4) e assim sucessivamente, onde ψ(xmedio)esq, ψ(xmedio)dir, ψ0(xmedio)esqe ψ0(xmedio)dirsão os valores de ψ e ψ0 à esquerda e à direita de xmedio, respetivamente.

E necessário estabelecer qual é o limite a partir do qual se admite que se está perto de encontrar um estado. O limite é que ∆ψl seja menor ou igual que 0.3 do máximo de ψ0, ou, ∆ψ ser menor ou igual que 0.3 do máximo de ψ, respetivamente para estados pares e ´ımpares.

Da mesma forma, o limite que determina se o estado obtido é estado próprio do sistema é como o descrito acima, mas as fun¸cões deverão ser menores ou iguais que 10−4 do máximo da fun¸cão à qual se comparam.

Além disso, é necessário ter em aten¸cão que a maioria das vezes, a norma dos estados calculados não será unitária. É necessário calcular a sua norma usando a expressão,

|ψ| = Z xmax

xmin

ψ(x)ψ∗(x)dx, (3.5)

onde ψ∗(x) ´e o complexo conjugado de ψ(x); e, dividir o estado pela sua norma ψnormalizado = ψ/|ψ|.

O algoritmo ´e ent˜ao:

1. Estabelecer c = −1 e ∆ψl como o parâmetro de shooting. Escolher uma energia inicial arbitrária com a qual se dará inicio às computa¸cões.

2. Resolver a equa¸cão de Schrödinger utilizando condi¸cões de fronteira designadas acima.

3. Se o estado encontrado for estado próprio (o parâmetro de shooting for suficientemente pequeno), então:

(a) Guardar o valor da energia numa lista designada para o efeito.

(b) Normalizar a fun¸cão de onda e guardá-la numa variável designada para o efeito. (c) Trocar o sinal de c e estabelecer qual das fun¸cões ∆ψl ou ∆ψ será o novo parâmetro

de shooting.

(d) Se já tiverem sido obtidos tantos estados próprios quanto se pretendia, parar as computa¸cões.

(e) Se ainda n˜ao se tiver obtido tantos estados pr´oprios quanto se pretende, dar um passo de 30% da diferen¸ca entre as duas energias anteriores (ou 30% da energia anterior, caso ainda se tenha obtido apenas uma) e regressar ao passo 2.

4. Se n˜ao se estiver perto de encontrar um estado pr´oprio incrementar por um passo proporci- onal a√E e voltar ao passo 2.

5. Se se estiver perto de encontrar um estado próprio, utilizar a expressão (3.2) para determinar a energia a usar na itera¸cão seguinte e regressar ao passo 2.

Ser˜ao de seguida analisados alguns exemplos de forma a testar a efic´acia deste algoritmo.

Po¸co infinito

Utilizando este algoritmo para calcular as energias pr´oprias de uma part´ıcula num po¸co onde o potencial ´_{e nulo entre −5 < x < 5, com ~ = 1 e a massa m = 1, obtiveram-se as energias} 0.04934801, 0.19739213, 0.44413229, e, 0.7895685 para os quatro n´ıveis de energia mais baixa.

A express˜ao obtida analiticamente para estas energias ´e E = 1 2m

nπ~ a

[4], onde a é a largura do po¸co, e, n pertence ao conjunto dos números naturais. De acordo com esta expressão os primeiros quatro n´ıveis são 0.04934802, 0.19739208, 0.44413219, e, 0.78956835. Verifica-se que o erro absoluto é da ordem de 10−8 para os primeiros três, mas da ordem de 10−7 para o quarto. Conclui-se que, apesar do baixo erro relativo ( 1) este tem tendência a subir com o aumento da energia. Ao calcular os n´ıveis de energias mais elevadas verificou-se que o quinquagésimo n´ıvel apresenta um erro relativo de 10−5. Apesar do erro continuar muito menor que a unidade, aumentou em três ordens de grandeza.

Oscilador harm´onico quˆantico

O oscilador harmónico quântico coloca o problema de ter um dom´ınio infinito, o que não pode ser simulado com um método numérico simples. A forma mais simples de lidar com o problema ´

e considerar o dom´ınio entre dois valores fixos de x. Desta forma a situa¸cão f´ısica com que se está a trabalhar é um po¸co infinito, no fundo do qual, o potencial varia como o de um oscilador harmónico. A aproxima¸cão é suficientemente boa desde que a fun¸cão de onda tenha valores muito próximos de zero ( 1) nas imedia¸cões das paredes do po¸co, ou seja, desde que ψ0 1 nas extremidades do dom´ınio em estudo. Caso contrário, a part´ıcula come¸ca a comportar-se como uma part´ıcula num po¸co infinito, e não como uma num oscilador harmónico quântico. Nesse caso, ter-se-ia que alargar o dom´ınio em estudo.

Considere-se um potencial V = 0.5k2x2, com k = 2. Se este for colocado num po¸co entre −5 < x < 5, os quatro valores de energia mais baixa que foram obtidos pelo algoritmo s˜ao 0.99999939, 2.99999998, 5.00000096, e, 7.00000002 (novamente com a constante de Planck tra¸cada e a massa unit´arias).

De acordo com a mecânica quântica, tal potencial origina n´ıveis com energias dadas pela expressão [4]

E = ~k(n + 0.5), (3.6)

com n ∈ N0. A quatro menores energias são 1.0, 3.0, 5.0, e, 7.0. Verifica-se assim que o erro absoluto mantém-se entre 10−7 e 10−8 para estes primeiros n´ıveis. No entanto, ao calcular os n´ıveis de mais elevadas energias, verificou-se que o erro rapidamente sobe, atingindo a ordem 1 no décimo sexto n´ıvel (n = 16). Desta forma para calcular os n´ıveis de energia mais elevada com boa precisão ter-se-ia de exigir que os parâmetros de shooting atingissem um valor mais baixo

Figura 3.2: Os primeiros quatro estados próprios do oscilador harmónico sob o qual age a perturba¸cão U = 0.1x4, obtidos pelo algoritmo.

Oscilador harm´onico quˆantico perturbado

Utilizando o algoritmo com o potencial V = 0.5k2_x2_{+ 0.1x}4 _{com k = 2 para −5 < x < 5,} encontraram-se as energias 1.018000, 3.088101, 5.223598, e 7.419422.

Segundo a teoria das perturba¸c˜oes em segunda ordem a energia do n´ıvel perturbado n ´e [4]

En= En0+ hφn| ˆU |φni + X p6=n X i | hφi p| ˆU |φni |2 E0 n− Ep0 , (3.7)

onde Û é a perturba¸cão, |φni é o estado próprio do n´ıvel n não perturbado, e, En0 é a energia própria do n´ıvel n não perturbado.

De seguida é necessário escrever a perturba¸cão em fun¸cão dos operadores de cria¸cão e aniquila¸cão, usando a rela¸cão [4]

ˆ x = r ~ 2mk(ˆa + ˆa †_), _(3.8)

onde â é o operador de aniquila¸cão e â† o de cria¸c˜_{ao. Utilizando ~ = 1 e m = 1, obtém-se a} perturba¸cão:

ˆ U = 1

160(ˆa

4_{+ ˆ}_a†4_{+ ˆ}_a2_ˆ_a†2_{+ ˆ}_a3_ˆ_a†_{+ ˆ}_a2_ˆ_a†_ˆ_{a + ˆ}_a†2_ˆ_a2_{+ ˆ}_a†2_aˆ_ˆ_a†_{+ ˆ}_aˆ_a†_ˆ_a2_{+ ˆ}_aˆ_a†3_{+ ˆ}_aˆ_a†_ˆ_aˆ_a†_{+ ˆ}_aˆ_a†2_{a + ˆ}_ˆ _a†3_ˆ_a+

+ â†â3+ â†ââ†2+ â†â2â†+ â†ââ†â) (3.9) As energias dos n´ıveis perturbados são 1.087305, 3.219961, 5.454688, e, 7.642522. Verifica-se que a diferen¸ca entre o resultado do algoritmo e o resultado da teoria de perturba¸cões é da ordem de 10−2 para o n´ıvel fundamental, no entanto, rapidamente cresce para a ordem de 0.1. Para testar quais são os resultados mais apropriados, a equa¸cão de Schrödinger foi resolvida com ambos os conjuntos de valores de energia encontrados.

A equa¸cão foi resolvida em dois blocos (para x maior e menor que zero) de forma a que ψ(x) não divirja para um x menor que 5. Desta forma, caso a energia utilizada para a resolu¸cão da equa¸cão de Schrödinger não seja a energia própria do sistema, será discern´ıvel uma descontinuidade em x = 0 (quer de ψ(x) como de ψ0(x)).

Figura 3.3: Os primeiros quatro estados próprios do oscilador harmónico calculados utilizando as energias obtidas com a teoria das perturba¸cões. São notáveis as descontinuidades tanto de ψ(x) (nos n´ıveis 2 e 4) como de ψ0_{(x) (nos n´ıveis 1 e 3) em x = 0.}

Ao analisar as Figuras 3.2 e 3.3 verifica-se que o resultado obtido pelo algoritmo fornece resultados mais precisos que a teoria de perturba¸c˜oes em segunda ordem.

No documento Física com o Mathematica: visão geral e criação de ferramentas para a resolução numérica de equações (páginas 42-46)