A geometria Fractal, segundo Mendonça (2016), é conhecida como a
“geometria da natureza”. Como comenta Mandelbrot (1977, p. 1), “muitos padrões da natureza são tão irregulares e fragmentados” que só podem ser associados a geometria Fractal. Além de essas formas apresentarem imagens intrigantes, que chamam a atenção dos alunos da Educação Básica, seu estudo tem ampliado a visão dos estudantes para o mundo à nossa volta e mostrado diversas aplicações na Matemática e em outras áreas do conhecimento.
Um exemplo de estudo dos fractais apresentado por meio da observação das formas irregulares da natureza, que pode ser fonte de inspiração para outras práticas com fractais presentes na realidade imediata dos alunos, são as práticas desenvolvidas por Reis (2014). Este professor e pesquisador levou a sua turma para um mangue, praia da cidade onde ele trabalhava, e orientou os alunos a observarem e a coletarem objetos que fossem irregulares, mas nos quais fosse possível identificar um padrão, ou seja, que fosse possível associar a um fractal.
Os alunos fizeram observações nas paisagens e coletaram conchas da praia como exemplo de tais objetos. Depois, em sala de aula e com o auxílio do datashow, eles identificaram os padrões existentes nas conchas encontradas, discutiram sobre a presença dessas e de outras formas irregulares presentes na natureza e buscaram analisar outros padrões a partir das formas encontradas na prática. Alguns registros desta prática podem ser observados a figura 10.
Figura 10 – Alunos do Ensino Médio observando fractais em seu cotidiano.
Fonte: Reis (2014).
Vários materiais didáticos manipuláveis também são utilizados para o estudo dessas formas. Souza (2014), por exemplo, desenvolveu um projeto de ensino intitulado de “Geometria Fractal para alunos de Ensino Médio”, no qual foram desenvolvidas diversas atividades com materiais manipuláveis para o ensino da Matemática no Ensino Médio. Entre essas atividades, destacamos a construção de fractais com canudos, a árvore fractal com recortes de papel coloridos, o tapete de Sierpinski com papel quadriculado e a pirâmide fractal com cubos. Observemos a figura 11.
Figura 11 – Práticas desenvolvidas no Ensino Médio por Souza (2014).
Fonte: Souza (2014).
O caleidoscópio é um outro exemplo de material didático manipulável que permite que os alunos observem fractais em seu interior (GOUVEA, 2005;
MURARI, 2011; CAMPOS, 2019) e venham perceber a beleza dessas formas, conhecendo e reconhecendo as já mencionadas características dos fractais. As características de autossemelhança e complexidade infinita podem ser percebidas ao se observar que as figuras formadas no caleidoscópio são cópias da figura presente na base do caleidoscópio, repetidas infinitamente. Por outras palavras, são partes autossemelhantes da figura presente na base do prisma triangular que se repetem infinitamente, formando as imagens de diferentes fractais. Essas imagens observadas no interior do caleidoscópio apresentam ainda a característica de serem irregulares, pois geralmente não podem ser representadas pela geometria Euclidiana e a dimensão de grande parte delas não são inteiras, apresentando-se por diversas vezes formas irregulares.
Ainda segundo Souza (2014), quando se constrói esse instrumento de forma manipulativa, a estrutura envolvida, em forma de prisma triangular, pode contribuir ainda para o ensino de vários conceitos geométricos, tais como os de prismas, de simetria e de rigidez de um triângulo. Esses estudos podem ainda ser realizados utilizando o software GeoGebra, conforme propõe o autor.
Vejamos a figura 12 a seguir.
Figura 12 – Estudando o caleidoscópio no GeoGebra.
Fonte: Campos (2019).
Segundo Campos (2019), além dos conhecimentos geométricos da Matemática, o estudo desse instrumento pode favorecer o desenvolvimento de trabalhos interdisciplinares entre a Matemática e a Física, como, por exemplo, estudando o processo reflexivo que ocorre dentro desse objeto apresentado acima com o uso do GeoGebra.
No que se refere a práticas de ensino da matemática com fractais na Educação Básica, várias práticas com fractais realizadas nos últimos anos têm se voltado para o uso das tecnologias digitais. Como exemplo disso, temos as práticas de construção de fractais no GeoGebra apresentadas por Faria (2012).
Com os seus alunos, a professora e pesquisadora desenvolveu a construção dos fractais Lunda-Design, triângulo de Sierpinski e por circunferências, entre outros.
Em seguida, a turma observou as sequências presente nessas estruturas. A autora (2012, p. 154) comenta que os alunos acabaram explorando, a partir dessa atividade, “áreas de quadrados, comparação entre raios de circunferências e entre segmentos, criação de expressões gerais, frações, uso de tabelas, perímetros, potências, progressões aritméticas e geométricas, sequências e teorema de Pitágoras”. De acordo com uma das estudantes que participaram da pesquisa:
[...] À medida que a gente vai construindo, a gente vai conseguindo ver o quanto isso pode ser usado, principalmente pelas pessoas que entendem bem para trabalhar nessa área, porque eu acho bonito os desenhos e tudo. Até para um professor tentar inventar novas aulas, melhorar, tentar fazer as aulas ficarem mais produtivas”. (VIVIANE apud FARIA, 2012, p. 151).
Na visão dessa aluna, ao se estudar os fractais com o software GeoGebra, é possível construir conhecimentos Matemáticos e dinamizar o processo de ensino, tornando a aula mais atrativa e produtiva. Além disso, Viviane destaca, principalmente, o papel dos professores de Matemática, afirmando que aqueles que trabalham nessa área devem fazer uso de recursos como os fractais e o GeoGebra.
Além dessas propostas já mencionadas, salientamos que existem outras que podem ser aplicadas na Educação Básica para o ensino da Matemática. De todo modo, foram essas práticas em especial que nos nortearam para a realização do curso Enfrac, no qual buscamos compreender como abordar a
geometria Fractal no ensino da Matemática para a Educação Básica – com materiais concretos, utilizando recursos tecnológicos como o GeoGebra e Jogos digitais de aprendizagem, entre outras percepções que poderiam emergir desse curso.