Prêmio por unidade de risco na CAL

acréscimo no retorno esperado do portfólio por unidade adicional de desvio padrão, ou seja, a medida do retorno extra (i.e., prêmio) por unidade de risco.

Equação 3.12. Prêmio por unidade de risco na CAL

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Fonte: Bodie, Kane e Marcus, p. 177.

No exemplo do portfólio P derivado de ativos do mercado de soja, suponha que o investidor tem como meta para sua carteira de investimento a taxa de retorno de 14%. Este valor pode ser obtido incluindo F na carteira A com 1/3 de participação, conforme os seguintes cálculos derivados da Equação 3.10:

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Para que um retorno de 14% na carteira de investimento A seja obtido, 2/3 do capital do investidor devem ser alocados para o ativo P, e consequentemente 1/3 para F.

O risco de investimento inicial decai de 4,96% para 3,31%, conforme a aplicação da Equação 3.11: % 31 , 3 96 , 4 3 2 ₌ = = P A yσ σ 3.4.6 Seleção de Portfólio

O processo de seleção em um portfólio pode ser dividido em dois estágios. O primeiro estágio começa com observação e experimentação, terminando com crenças sobre performances futuras. O segundo estágio começa com as crenças relevantes sobre performance futura e termina com a escolha do portfólio (Markowitz, 1952).

Fonte: Adaptado de Bodie, Kane e Marcus, 1999, p. 177.

Nas seções anteriores foi apresentada a formulação matemática da academia para representação das crenças de performance futuras. Esta formulação inclui o conceito de retorno esperado (Equação 3.5) e risco (Equação 3.6). O trabalho de Markowitz aborda a etapa seguinte, em um modelo para maximizar o valor descontado de retornos futuros. O risco de um portfólio é calculado através da composição do risco das variáveis aleatórias de cada ativo, ponderadas por um vetor de pesos w (Equação 3.9). A covariância (ou correlação) entre os pares de ativos da carteira de investimento tem um papel importante no deslocamento ou redução do risco (i.e., hedging). Se a correlação for positiva perfeita (i.e., +1), a combinação dos ativos define o risco como uma relação linear entre os ativos de menor e maior risco. Se a correlação for negativa perfeita (i.e., –1), existe um vetor w, w1 = y e w2 = (1 – y), que forma um portfólio de variância mínima (MVP4) cujo risco resultante é zero. Demais valores para correlação definem oportunidades de investimento dentro do espaço compreendido entre as carteiras obtidas pelos valores de correlação perfeita (Figura 3-9).

O conjunto das oportunidades de investimento na combinação de dois ativos A e B é denominado de fronteira meso-variante (mean variance frontier). Nesta fronteira é comum encontrar um portfólio p' que, para uma mesma variância, possui retorno médio superior ao de outro portfólio p do mesmo conjunto. Esta relação implica que p' domina

p. Na Figura 3-9 os portfólios dominantes, ou eficientes, compõem a linha contínua,

enquanto que a linha pontilhada define os portfólios dominados, ou ineficientes. A Figura 3-10 exemplifica a relação de dominação entre p e p', onde a superfície eficiente encontra-se destacada em linha contínua, compreendida entre o portfólio de variância mínima (MVP) e o ativo financeiro B.

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MVP ou minimum variance portfolio é aquele que possui a menor variância, quando da composição de dois ativos financeiros A e B. Se a correlação entre A e B é –1, então MVP é sempre zero. Se a correlação entre A e B é +1, então MVP é igual ao ativo (A ou B) que tiver menor variância (Levy 1999).

Fonte: Levy 1999, p. 271

Considere um mercado financeiro como a bolsa de valores NYSE, NASDA, BOVESPA ou BVRJ. Nestas instituições existem centenas de ativos financeiros sujeitos a risco que podem ser combinados de diferentes formas para a criação de portfólios. Combinações com múltiplos ativos geram portfólios eficientes e ineficientes. Em 1952, Harry Markowitz ao estudar estas combinações verificou a existência de um espaço onde em seus limites existiam portfólios que, do ponto de vista do mercado, não eram dominados por nenhum outro portfólio. A este conjunto de portfólios foi denominado de fronteira eficiente do mercado, que situa-se acima do MVP global (Figura 3-11).

Fonte: Levy 1999, p. 268

Figura 3-10. Combinações eficientes e ineficientes de portfólios com dois ativos

Fonte: Bodie, Kane e Marcus 1999, p.211 Figura 3-11. A fronteira eficiente do mercado

O cálculo da fronteira eficiente é um problema de programação quadrática que busca para todas as combinações possíveis de ativos encontrar o conjunto de pesos w que maximize o retorno (Equação 3.8) e minimize o risco (Equação 3.9)5.

A etapa seguinte da estratégia de escolha do portfólio envolve o ativo livre de risco, que é utilizado para calcular a CAL tangente à fronteira eficiente, chamada de linha de

capital do mercado (CML), ou CAL dominante. O portfólio M que pertencente à

fronteira eficiente e também à CML é chamado de portfólio do mercado (Bodie, Kane e Marcus, 1999), como ilustrado na Figura 3-12. Este portfólio é considerado ótimo porque maximiza a taxa de retorno por unidade de risco S (Equação 3.12).

Cabe ao investidor, após identificado o portfólio do mercado, a escolha do portfólio ideal que se encontra na CML, entre o ativo livre de risco e o portfólio do mercado. Esta decisão depende completamente da preferência pessoal do investidor, de metas pré- estabelecidas e/ou de sua função utilidade.

A possibilidade de composição do ativo livre de risco com o portfólio do mercado permite a separação do processo de investimento em dois estágios:

Estágio 1. O portfólio M é encontrado, localizado no ponto onde a CML tange a fronteira eficiente de ativos sujeito a risco. Este estágio é objetivo e comum a todos os investidores;

Estágio 2. O investidor maximiza sua utilidade através da combinação do ativo livre de risco com o portfólio M. Este estágio é subjetivo e dependente das preferências do investidor.

Esta separação da decisão de investimento em dois estágios é chamada de propriedade

de separação ou teorema de separação (Levy 1999).

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Levy 1999; e Bodie, Kane e Marcus 1999, desenvolvem o processo de cálculo da fronteira eficiente, que é puramente técnico e determinístico.

Fonte: Adaptado de Bodie, Kane e Marcus 1999, p. 212 Figura 3-12. O portfólio do mercado

3.4.7 CAPM

O Modelo de Precificação de Ativos Financeiros (ou Capital Asset Pricing Model - CAPM) é um conjunto de predições referentes ao equilíbrio esperado no retorno de ativos financeiros sujeitos a risco (Bodie, Kane e Marcus 1999).

Este modelo dá continuidade à teoria desenvolvida por Markowitz, e foi publicado 12 anos depois em artigos por William Sharpe (1964), John Lintner (1965) e Jan Mossim (1966).

A CAPM define a medida Beta, que captura o risco de um ativo financeiro individual com relação portfólio do mercado. A Equação 3.13 define uma das muitas formulações para o Beta.