Press˜ ao externa e transi¸c˜ oes ´ opticas

Utilizando a c´elula de press˜ao (que ser´a descrita no cap´ıtulo seguinte) podemos aplicar uma press˜ao biaxial `a amostra que se soma a deforma¸c˜ao intr´ınseca criada pelo

17_{Ao longo de todo o texto, o sub-´ındice define o material da constante. Por exemplo, E}

0,Ge e E0,Si

descasamento do parˆametro de rede. Chamamos a deforma¸c˜ao aplicada pela c´elula de deforma¸c˜ao externa (ou extr´ınseca) e sendo uma deforma¸c˜ao biaxial o efeito na estrutura de banda ´e o mesmo descrito na se¸c˜ao anterior.

A nossa c´elula de press˜ao aplica uma deforma¸c˜ao biaxial extr´ınseca e provoca um deslocamento nas 4 bandas consideradas. Nas figuras 2.9(a) e 2.9(b) ilustramos como exemplo os perfis de potencial da BC e BV com e sem a deforma¸c˜ao extr´ınseca ao longo do eixo de crescimento z no centro do QD. A banda ∆2 desloca para baixas energias, enquanto que a banda ∆4 para altas energias. A banda Γ (com o buraco pesado sendo o estado fundamental) na BV ir´a deslocar-se para baixas energias por´em com uma taxa menor que a banda ∆2. Chamamos de transi¸c˜oes tipo I e tipo II as transi¸c˜oes envolvendo as bandas ∆4 e HH (el´etron e buraco no Ge) e as bandas ∆2 e LH (el´etron no Si e buraco no Ge). A transi¸c˜ao tipo I tem sua energia aumentada (deslocamento para o azul) e a transi¸c˜ao tipo II diminuida (deslocamento para o vermelho).

Na figura 2.10(a) apresentamos um c´alculo do perfil de potencial ao longo do eixo z para QDs de Ge/Si considerando a deforma¸c˜ao intr´ınseca e uma concentra¸c˜ao de 48 % de Ge no QD. O perfil calculado ´e da forma do perfil ilustrado na figura 2.9(a). No QD, o m´ınimo ´e a banda ∆4 e no Si o m´ınimo ´e a banda ∆2. Um c´alculo (retirado da Ref. [20]) do perfil de potencial da banda ∆2, considerando a atra¸c˜ao coulombiana do par el´etron-buraco e a deforma¸c˜ao mecˆanica est´a na figura 2.10(b). Na curva de potencial calculada h´a a forma¸c˜ao de um m´ınimo para o el´etron devido aos dois efeitos mencionados resultando na localiza¸c˜ao de sua fun¸c˜ao de onda pr´oximo ao QD.

Varia¸c˜ao de energia das transi¸c˜oes

Com as express˜oes anal´ıticas do perfil de potencial descrito anteriormente, podemos calcular a varia¸c˜ao de energia de transi¸c˜ao com a deforma¸c˜ao externa referente aos

36 Pontos Quˆanticos Semicondutores a)

D(2)

D(4)

BV

BC

Ge

Si

Si

tipo I

G

tipo II

sem deformação extrínseca

HH

D(2)

D(4)

BV

BC

Ge

Si

Si

E

E

com deformação extrínseca

DE

< 0

DE

> 0

G

HH

E

E

com deformação extrínseca

DE

< 0

DE

> 0

Figura 2.9: Ilustra¸c˜ao do perfil de potencial ao longo do eixo z do QD de Ge/Si. (a) O el´etron est´a em vermelho e o buraco em azul. A transi¸c˜ao tipo II, indicada pela seta verde, envolve o el´etron na banda ∆2 no Si, enquanto que a transi¸c˜ao tipo I, indicada pela seta vermelha, envolve o el´etron na banda ∆4 no Ge. (b) Ilustra¸c˜ao da varia¸c˜ao da energia das transi¸c˜oes tipo I e tipo II com a aplica¸c˜ao de uma deforma¸c˜ao externa no perfil de potencial ao longo do eixo de simetria do QD. As setas indicam o deslocamento das bandas com o aumentdo da deforma¸c˜ao biaxial (extr´ınseca). A energia tipo I aumenta (deslocamento para o azul) e a energia tipo II decresce (deslocamento para o vermelho).

deslocamentos das bandas ∆2 e ∆4. Aproximamos a energia de transi¸c˜ao como sendo a diferen¸ca entre o m´ınimo da BC e o m´aximo da BV18_{. Uma vez que queremos apenas a}

varia¸c˜ao da energia de transi¸c˜ao essa aproxima¸c˜ao ´e v´alida. A transi¸c˜ao tipo I envolve o el´etron na banda ∆4 do Ge (Φ∆4(χ = 1)):

E∆4,Ge = (E0,Si+ UBC + δE∆2,Ge) − (δEHH,Ge+ UBV). (2.28)

18_{A energia de transi¸c˜ao envolve as energias dos estados confinados do buraco e el´etron, que dependene}

a)

sition of Si1−cGec films.12,19,20The GeGe mode phonon fre-

quency ␻induced by QD strain components can be written

as19

␻=␻0+

1 2␻0

共p ␧zz+ 2 q␧xx兲, 共6兲

where␻₀= 0.5468⫻1014_s−1 _{is the frequency of Si}

0.52Ge0.48

bulk alloys,20and the Ge deformation potentials p and q are −4.7⫻1027 _{and −6.167⫻10}27_s−2_{, respectively.}19

The aver- ages of calculated strain fields,␧xx and␧zz, inside the quan-

tum dot are −1.22⫻10−2 _{and 7.52⫻10}−3_{, respectively, for a}

template layer thickness of t = 5 nm. Substituting these val- ues directly into Eq. 共6兲 leads to a phonon frequency ␻ of 296 cm−1. For the sake of comparison the same procedure is used to calculate a hut-shaped QD with the same thickness of template layer, and the strain-induced phonon frequency is 297 cm−1 instead. It is well-known that the phonon fre- quency depends not only on built-in strain but also on the exact composition of the dots. Nevertheless, these calculated phonon frequencies here are very similar to an experimental

GeGe mode phonon frequency.12

IV. TRANSITION ENERGY

The confinement potential V for strained quantum-dot heterostructures can be written as the sum of energy offsets of the unstrained conduction共or valence兲 band Vbandand the

strain-induced potential Vstrain,

V共r兲 = Vband共r兲 + Vstrain共r兲. 共7兲

The difference in the bandgap energies of the constituent materials of the heterostructure determines the contribution of Vstrain. Since strain effects induce an extra potential field

Vstrain, as suggested by the deformation potential theory,21

any alteration in the band structure and optical properties of a quantum-dot system calls for further investigation. The electric material properties used in this study are taken from Ref.18and22–26.

The confinement potentials in strained semiconductor QDs, including the strain-induced effects, are piecewise con- tinuous functions of position. Figure 3 shows these poten- tials, along the z-axis共the direction of QD growth兲, for both electrons and holes. Notice that the⌬4valley in the Si matrix

and the⌬2valley in the SiGe region are neglected. The con-

duction band offset at each interface has been calculated, and their values for the minima conduction band as deduced from ⌬Ec⌬2−⌬共Si0.5Ge0.5/Si兲 and ⌬Ec⌬4−⌬共Si0.5Ge0.5/Si兲 are around

−36 and 28 meV, respectively, for different thicknesses t. On the other hand, ⌬Ec⌬2−⌬共Si0.52Ge0.48/Si兲=−91, −93, and

−95 meV, and⌬Ec⌬4−⌬共Si0.52Ge0.48/Si兲=33, 34, and 35 meV,

for template layer thicknesses t = 3, 4, and 5 nm, respectively. Thus, the band offset remains at a nearly constant value at

FIG. 2.共Color online兲Strain components, 共a兲 ␧xxand共b兲 ␧zz, and hydrostatic

stress,共c兲␴h=␴xx+␴yy+␴zz, plotted along the z-axis for various different

template layer thicknesses.

FIG. 3. Energy diagrams of the strained SiGe/Si QD heterostructures plot- ted along the z-axis for template layer thicknesses t = 5 nm.

073705-3 Kuo, Lin, and Hong J. Appl. Phys. 103, 073705共2008兲

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b)

Figura 2.10: (a) Perfil de potencial ao longo do eixo z calculado para QDs de Ge/Si considerando a deforma¸c˜ao intr´ınseca e uma concentra¸c˜ao de Ge de 48 % no QD. Retirado da Ref. [86]. (b) Perfil de potencial da banda ∆2 e fun¸c˜ao de onda para o el´etron e buraco em QD de Ge/Si, calculada auto-consistentemente usando aproxima¸c˜ao de massa efetiva e de Hartree. Retirado da Ref. [20].

Para a transi¸c˜ao tipo II, h´a duas possibilidades: el´etron na banda ∆2 ou ∆4, ambas no Si (χ = 0). Temos:

E∆2,Si = (E0,Si+ δE∆2,Si) − (δEHH,Ge+ UBV)

E∆4,Si = (E0,Si+ δE∆4,Si) − (δEHH,Ge+ UBV).

(2.29)

Para simplificar a estimativa, escrevemos as componentes do tensor de deforma¸c˜ao utilizando a aproxima¸c˜ao biaxial (da forma das equa¸c˜oes 2.14 e 2.16):

εx = εy = ξ εz = −2 C12 C11 ξ (2.30)

38 Pontos Quˆanticos Semicondutores

onde ξ ´e a deforma¸c˜ao biaxial externa aplicada. A varia¸c˜ao em energia causada por uma deforma¸c˜ao ´e calculada com rela¸c˜ao ao estado n˜ao tensionado, na forma ∆E = E(ξ)−E(0) para as 3 energias de transi¸c˜ao. Substituindo todos valores num´ericos (apˆendice E) encontramos (em unidades de eV) para as varia¸c˜oes com uma deforma¸c˜ao ξ:

E∆2,Si(ξ) − E∆2,Si(0) = −3, 24ξ

E∆4,Si(ξ) − E∆4,Si(0) = 11, 92ξ

E∆4,Ge(ξ) − E∆4,Ge(0) = 13, 92ξ

(2.31)