Pressure Implicit with Splitting of Operators

Nesta seção apresentam-se os resultados das simulações obtidos através das equações governantes gerais do escoamento em sua forma conservativa, a fim de buscar-se uma alternativa plausível ao MOC na análise de instabilidade para um escoamento com alta razão de viscosidade e baixa razão de densidade.

Neste modelo o escoamento é predito como um resultado mecânico e automático do crescimento das instabilidades hidrodinâmicas, de acordo com Issa e Woodburn (1998) e Issa e Kempf (2003), portanto, o crescimento e/ou decaimento das perturbações são determinados pela dinâmica do fluido e não pelo processo de modelagem.

Visando validar o programa desenvolvido no presente trabalho, buscou-se selecionar a configuração apresentada nos trabalhos de Issa e Kempf (2003) e Bonizzi (2003), como ilustrado na Fig. 5.8, para escoamentos gás-líquido. Somente após esta validação, buscar-se-á simular a mesma configuração, a qual já descrita e testada com o MOC.

Figura 5.8 - Configuração do escoamento gás-líquido para validação do método PISO. Então, inicialmente, tem-se uma tubulação horizontal de comprimento L igual a 36 m e um diâmetro interno de 0,078 m. A pressão na saída da tubulação é mantida constante e igual à pressão atmosférica. A fase gasosa é formada pelo ar, com constante dos gases ideais R e viscosidade absoluta µ igual a 1,796x10-5 Pa.s. Como fase líquida utilizou-se água, sendo sua massa específica ρ definida como 998,2 kg/m3 e sua viscosidade absoluta µ igual a 1,139x10-3 Pa.s. A temperatura de referência T foi fixada em 8,6 o_C.

Assim, para as velocidades superficiais de entrada das fases gás e líquida configuradas em Jg = 2,0 m/s e Jw = 1,0 m/s, respectivamente, tem-se a Fig. 5.9, onde para cada curva sobreposta tem-se um instante de tempo correspondente representando o crescimento da onda.

Figura 5.9 - Propagação da onda para o método PISO, com velocidades superficiais de entrada de Jg = 2,0 m/s e Jw = 1,0 m/s, t (s) = 0,020.

Neste caso, para validação do programa, simulou-se 0,020 s do escoamento, onde para cada 20 iterações leva-se cerca de 2 h. Basicamente, tal aspecto ocorre pelo programa apresentar em seu código computacional a resolução de 3 inequações resolvidas para cada passo de tempo (Δt = 1x10-3s) utilizando-se de uma função pré-definida pelo software Matlab, chamada de vpasolver. No entanto, mesmo com o baixo tempo de simulação, a formação e o comportamento da onda de propagação mostrou-se similar ao encontrado na literatura, como em Issa e Kempf (2003). Destaca-se ainda, que o holdup do líquido utilizado não é o mesmo apresentado por estes autores, no entanto, segundo estes, o valor deste não deve influenciar na solução.

Ao realizar uma simulação mais longa, obteve-se a Fig. 5.10.

Figura 5.10 - Propagação da onda para o método PISO, com velocidades superficiais de entrada de Jg = 2,0 m/s e Jw = 1,0 m/s, t (s) = 0,085.

Nota-se, pela Fig. 5.10, que o sistema se torna instável ao ter-se o parâmetro adimensional h/D próximo a 1. Tal aspecto é justificado pela equação de conservação de quantidade de movimento torna-se singular, quando a fração volumétrica do gás tende a zero. Portanto, está singularidade traz dificuldades numéricas para a obtenção da solução e, a forma para soluciona-lá não foi implementada no código numérico aqui apresentado. Ainda se

destaca que a onda se apresenta com velocidade de propagação igual à 7,35 m/s, sendo então superior à esperada (velocidade de propagação de onda próximo as velocidades superficiais de entrada das fases), no entanto, o por quê deste comportamento ocorrer continua em aberto.

Agora, configura-se as variáveis geométricas, dos fluidos e de entrada com os novos parâmetros. O escoamento encontra-se em uma tubulação horizontal com 2,6 cm de diâmetro interno, óleo de viscosidade 0,228 Pa.s com massa especifica de 854 kg/m3 e água, com massa especifica de 1000 kg/m3 e viscosidade de 0,001 Pa.s. Neste caso, os dois fluidos são considerados incompressíveis e, portanto, não tem-se variação de densidade em função da pressão do sistema.

Como já mencionado, definiu-se o passo no tempo em função de CFL fixo igual a 0,5. No geral, para os casos simulados com estas configurações geométricas, tem-se para a velocidade in situ máxima das fases em escoamento um valor pequeno, assim pode-se definir um passo no tempo, Δt, igual a 0,03 s.

Foram realizadas diversas simulações alterando-se as velocidades superficiais de entrada de ambas as fases, no entanto, pode-se observar-se que após 3 s de simulação numérica, o escoamento apresentava-se perturbado em toda sua extensão, mas sem apresentar um crescimento de onda e, consequentemente, sua propagação. Assim, não foi possível realizar as devidas comparações com os dados experimentais de Castro (2013), os quais expõem a posição espacial de transição do padrão de escoamento.

O comportamento indesejado de não crescimento de onda pode estar relacionado a não implementação de um critério de convergência para as grandezas calculadas e aplicado para cada passo de tempo, como definido em Bonizzi (2003). Ou ainda, a não utilização de um fator de subrelaxação γ às formas discretizadas das equações devido à forte característica de não linearidade relacionada a equação da conservação de quantidade de movimento, como indicado em Malca e Nieckele (2005).

Existem outros aspectos intrínsecos ao próprio método PISO que podem estar afetando a solução do problema. Tal característica advém da utilização do modelo de dois fluidos devido aos seguintes aspectos negativos relacionados a este:

 O modelo obtém sistemas de equações bem-postas apenas para certas faixas de condição de contorno;

 A análise de estabilidade para definir as possíveis condições iniciais e de contorno é aproximada, pois depende das correlações empíricas utilizadas, além de ser baseada no padrão estratificado em equilíbrio;

 Uso de correlações empíricas para avaliação dos fatores de atrito, as quais influenciam fortemente a obtenção dos resultados dos cálculos.

 Modelagem unidimensional, sem considerar os efeitos das outras dimensões no escoamento.

Assim, provavelmente, ao se abordar qualquer um dos tópicos elencados trar-se-á melhorias nos resultados do problema.

Uma alternativa para analisar-se o problema seria realizar uma simulação CFD do fenômeno, no entanto, ao invés de ter-se uma ferramenta de simulação rápida e simples passa- se para uma ferramenta de engenharia cara.

6 CONCLUSÕES

Diferentes regimes de escoamento bifásico podem ocorrer em uma tubulação horizontal. Estes regimes dependem fortemente das velocidades superficiais das fases envolvidas. Assim, desenvolveu-se um código computacional numérico para prever a mudança do padrão de escoamento em uma tubulação horizontal entre fluidos de alta razão de viscosidade, óleo e água. Partiu-se do padrão estratificado, onde tem-se o regime em estado permanente e completamente desenvolvido e, fez-se o equacionamento do sistema baseando-se no modelo de dois fluidos unidimensional. Logo, busca-se observar uma onda de propagação instável que adicionalmente, proporcione um comportamento bem-posto para as equações que governam o movimento dos fluidos.

Durante a análise de instabilidade em um escoamento estratificado água-óleo por uma abordagem não linear simplificada, utilizando-se de uma formulação obtida pelo método das características, verificou-se através de diferenças finitas e esquemas numéricos do tipo explícito e implícito, que o esquema Leapfrog apresentou os resultados mais consistentes e coerentes com a literatura quando para escoamentos de baixa razão de viscosidade. No entanto, quando aplicado em escoamentos com alta razão de viscosidade, este apresentou um comportamento mal posto.

Este trabalho sugere que a dificuldade em se propagar a onda interfacial do escoamento de forma correta deve-se às simplificações bruscas utilizadas. O fato de, não importando o caso, alguma das fases do escoamento obrigatoriamente ter sua velocidade in situ considerada como quasi permanente, pode estar afastando o comportamento observado na simulação da situação real. Nota-se que para escoamentos gás-líquido tal aproximação é válida devido à resposta dinâmica do gás ser mais rápida do que a líquida.

O método das características aplicado a uma equação simplificada da conservação da quantidade de movimento (termos relacionados a tensão interfacial desprezados) é também uma condição plausível em escoamentos gás-líquido. No entanto, como dito em Rodriguez e Castro (2013) e, Rodriguez e Bannwart (2006), os termos relacionados a tensão interfacial são de suma importância uma vez que podem estabilizar ou desestabilizar o escoamento. Assim, a solução para as inconsistências apresentadas neste trabalho, quando da utilização do MOC, pode estar em evitar a utilização deste método, já que dessa maneira simplificações grosseiras também seriam evitadas.

Outra abordagem possível é utilizar as equações governantes gerais do escoamento em sua forma conservativa, uma vez que assim não há simplificações. No presente trabalho, escolheu-se dar prosseguimento ao estudo de instabilidades desta maneira.

Assim, buscou-se através do método PISO resolver as equações conservativas, em suas formas discretizadas pelo método dos volumes finitos, para as fases óleo-água. No entanto, os resultados das simulações para altas razões de viscosidade permaneceram inconclusivos, uma vez que não foi possível visualizar o ponto espacial onde ocorrer-se-ia a mudança de padrão de escoamento e fazer a validação dos resultados com dados experimentais.

Como já mencionado, as inconsistências advindas do método PISO podem estar em alguns detalhes de implementação numéricos que não foram adotados no presente trabalho.