Denotemos por h., .i o produto interno usual de R3. Seja S uma surperf´ıcie regular e P ∈ S. O produto interno h., .i induz um produto interno h., .iP no plano tangente TPS ⊂ R3. Como h., .iP ´e uma forma bilinear sim´etrica em TPS, podemos definir a seguinte forma quadr´atica em TPS:
IP: TPS −→ R
w 7−→ hw, wiP = |w| 2
,
chamada de Primeira Forma Quadr´atica, ou Primeira Forma Fundamental de S em P.
Seja w ∈ TPS. Como, por defini¸c˜ao, TPS ´e constituido pelo conjunto de todos os os vetores tangentes a S em P, existe α, curva parametrizada no espa¸co de classe C1, dada por
α : ]a, b[⊂ R → S ⊂ R3, tal que α′(t
0) =w e α(t0) = P. Sejam U aberto de R2e
X : U⊂ R2→ Im X ⊂ S ⊂ R3 uma parametriza¸c˜ao local de S em torno de P. Seja Q = X−1(P).
Logo, em U est´a definida α, curva parametrizada plana de classe C1, dada por α = X−1◦ α : ¤a, b£⊂ R −→ U⊂ R2
t 7−→ (u (t) , v (t)) ,
sendo que t0 ∈ ¤
a, b£ ⊂ ]a, b[. Observemos que a restri¸c˜ao que estamos fazendo no dom´ınio de α ´e apenas para garantir que α¡¤a, b£¢⊂ X (U), para que a composi¸c˜ao tenha sentido.
Desta forma, α (t) = X ◦ α (t), ou seja,
α : ¤a, b£⊂ R −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 t 7−→ X (u (t) , v (t)) . Observemos que α (t0) = Q. (8) 8 Um exerc´ıcio interessante:
Seja X : U→ Im X ⊂ S parametriza¸c˜ao local de S.
(i)se α : I→ S ´e regular, ent˜ao α = X−1◦ α : I→ U ´e regular.
(ii)se α : I→ U ´e regular, ent˜ao α = X ◦ α : I → S ´e regular.
Conforme j´a vimos quando definimos o plano tangente TPS, a Figura 5 ilustra exatamente o procedimento que descrevemos acima. Ali´as, a existˆencia de α tal que α = X ◦ α n˜ao ´e novidade: ela j´a surgiu na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.1.
Consideremos {Xu(Q) , Xv(Q)}a base associada a X em TPS. Logo, α′(t) = Xu(u(t), v(t))u′(t)+Xv(u(t), v(t))v′(t). Em particular, α′(t
0) = Xu(Q)u′(t0)+Xv(Q)v′(t0). Assim, observamos que as coordenadas de α′(t0)na base associada a X em TPSs˜ao (u′(t0), v′(t0))(e que s˜ao as mesmas coordenadas de α′(t0)na base canˆonica de R2). Portanto,
IP(w) = hw, wiP
=hα′(t0), α′(t0)iP
=hXu(Q)u′(t0) + Xv(Q)v′(t0), Xu(Q)u′(t0) + Xv(Q)v′(t0)iP
=hXu(Q), Xu(Q)iPu′(t0)2+ 2hXu(Q), Xv(Q)iPu′(t0)v′(t0) +hXv(Q), Xv(Q)iPv′(t0)2. Sejam E, F, G : U ⊂ R2−→ R fun¸c˜oes definidas por
E (u, v) =hXu(u, v), Xu(u, v)iX(u,v)= |Xu(u, v)|2, F (u, v) =hXu(u, v), Xv(u, v)iX(u,v),
G (u, v) =hXv(u, v), Xv(u, v)iX(u,v)= |Xv(u, v)|2.
Essas fun¸c˜oes s˜ao de classe C∞ em U e s˜ao chamadas de Coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S na Parametriza¸c˜ao X. Logo,
IP(w) = E(Q)u′(t0)2+ 2F(Q)u′(t0)v′(t0) + G(Q)v′(t0)2. De um modo geral,
IX(u,v)(α′(t)) = E(u, v)u′(t)2+ 2F(u, v)u′(t)v′(t) + G(u, v)v′(t)2, sendo α′(t) = X
u(u, v)u′(t) + Xv(u, v)v′(t).
Observemos que E (u, v) e G (u, v) nunca s˜ao negativos. Observa¸c˜ao importante:
Obviamente, pelo modo como foi definida, a Primeira Forma Quadr´atica de S em P ´e ´unica. Logo, ela inde- pende da escolha da parametriza¸c˜ao local X de S em torno de P. Entretanto, quando a expressamos em termos de uma parametriza¸c˜ao local X, os coeficientes E, F e G (e n˜ao a Forma Quadr´atica) podem variar de acordo com a parametriza¸c˜ao.
Exemplo 16.1. Seja S o plano de R3parametrizado por
X : R2 −→ S⊂ R3
(u, v) 7−→ P0+ uv1+ vv2
sendo P0∈ R3e {v1,v2}um conjunto de vetores ortonormais do R3. Ent˜ao, para um ponto arbitr´ario P = X(Q) ∈ S temos que {v1,v2}´e uma base ortonormal (associada a X) em TPS. Assim, dado w ∈ TPS, existem a e b reais tais que w = av1+ bv2e, portanto, IP(w) = E(Q)a2+ 2F(Q)ab + G(Q)b2, sendo E(Q) =hXu(Q), Xu(Q)iP=hv1,v1iP= |v1|2= 1; F(Q) =hXu(Q), Xv(Q)iP=hv1,v2iP = 0; G(Q) =hXv(Q), Xv(Q)iP =hv2,v2iP = |v2|2= 1. Assim, IP : TPS −→ R w 7−→ a2+ b2 , sendo w = av1+ bv2.
Exemplo 16.2. Seja S o cilindro circular parametrizado localmente por X : ]0, 2π[× R −→ S⊂ R3
(u, v) 7−→ (cos (u) , sen (u) , v) .
Seja P0= X(u0, v0)∈ S. Temos que
{Xu(u0, v0) , Xv(u0, v0)} = {(−sen (u0) ,cos (u0) , 0) , (0, 0, 1)} ´e a base associada a X em TP0S.
Seja w ∈ TP0S. Logo, w = aXu(u0, v0) + bXv(u0, v0)para algum a, b ∈ R e IP0(v) = E(u0, v0)a
2+ 2F(u
0, v0)ab + G(u0, v0)b2, sendo
E(u0, v0) =hXu(u0, v0), Xu(u0, v0)iP0
=h(− sen (u0) ,cos (u0) , 0), (−sen (u0) ,cos (u0) , 0)iP0 =sen2(u 0) +cos2(u0) = 1 F(u0, v0) =hXu(u0, v0), Xv(u0, v0)iP0 =h(− sen (u0) ,cos (u0) , 0), (0, 0, 1)iP0 = 0 G(u0, v0) =hXv(u0, v0), Xv(u0, v0)iP0 =h(0, 0, 1), (0, 0, 1)iP 0 = 1 Logo, IP0 : TP0S −→ R w 7−→ a2+ b2 , sendo w = aXu(u0, v0) + bXv(u0, v0).
Exemplo 17.1. Seja S um helic´oide com parametriza¸c˜ao local
X : ]0, 2π[× R −→ Im X = S (u, v) 7−→ (v cos (u) , v sen (u) , au) com a > 0. (Figura 21+)
Figura 21+: Helic´oide.
Sejam P ∈ S e Q ∈ U = ]0, 2π[ × R tais que P = X (Q) e escrevamos Q = (u0, v0). Temos
E (Q) =hXu(Q) , Xu(Q)iP =h(−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a) , (−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a)iP = v 2 0+ a2 F (Q) =hXu(Q) , Xv(Q)iP =h(−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a) , (cos (u0) ,sen (u0) , 0)iP = 0
G (Q) =hXv(Q) , Xv(Q)iP=h(cos (u0) ,sen (u0) , 0) , (cos (u0) ,sen (u0) , 0)i = 1 Seja w ∈ TPS,w = (w1, w2)na base {Xu(Q) , Xv(Q)}. Logo,
IP(w) = w21 ¡ v2 0+ a2 ¢ + w2 2 . Reparametrizemos o helic´oide por meio da mudan¸ca de coordenadas
h : ]0, 2π[× R −→ ]0, 2π[× R (u, v) 7−→ (u, v) = (u, a senh (v))
Observemos que h ´e, de fato, um difeomorfismo de classe C∞. Logo,
X = X◦ h : ]0, 2π[ × R −→ Im X = S
(u, v) 7−→ (a senh (v) cos (u) , a senh (v) sen (u) , au) .
Para o P ∈ S tomado acima, Q ∈ U = ]0, 2π[ × R tal que P = X¡Q¢escrito como Q = (u0, v0)satisfaz h¡Q¢= Q⇒ (u0, v0) = (u0, asenh (v0)).
Temos
E¡Q¢=Xu¡Q¢, Xu¡Q¢®P
=h(−a senh (v0)sen (u0) , asenh (v0)cos (u0) , a) , (−asenh (v0)sen (u0) , asenh (v0)cos (u0) , a)iP = a2senh2(v 0) + a2= a2cosh2(v0) F¡Q¢=Xu ¡ Q¢, Xv ¡ Q¢®P
=h(−a senh (v0)sen (u0) , asenh (v0)cos (u0) , a) , (acosh (v0)cos (u0) , acosh (v0)sen (u0) , 0)iP = 0
G¡Q¢=Xv¡Q¢, Xv¡Q¢®P
=h(a cosh (v0)cos (u0) , acosh (v0)sen (u0) , 0) , (acosh (v0)cos (u0) , acosh (v0)sen (u0) , 0)iP = a2cosh2(v
0)
Observemos que E¡Q¢ = a2cosh2(v
0) = v20 6= E (Q) = v20+ a2. Tamb´em temos G ¡
Q¢ = a2cosh2(v
0) = v20 6= G (Q) = 1, o que comprova que os coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S em P podem diferir a depender da parametriza¸c˜ao local.
Seja o w ∈ TPStomado acima tal que w = (w1, w2)na base © Xu ¡ Q¢, Xv ¡ Q¢ª. Logo, IP(w) = w21a2cosh 2(v 0) + w22a2cosh 2(v 0)⇒ IP(w) = ¡ w21+ w22¢a2cosh2(v 0).
De acordo com a teoria vista, a Primeira Forma Quadr´atica de S em P n˜ao pode depender da parametriza¸c˜ao escolhida. Isso significa que se colocarmos w1 = w1(w1, w2, v0), w2 = w2(w1, w2, v0) e v0 = v0(w1, w2, v0) e substituirmos em IP(w) devemos voltar `a express˜ao encontrada na primeira parametriza¸c˜ao.
Temos
w = w1(−asenh (v0)sen (u0) , asenh (v0)cos (u0) , a) + w2(acosh (v0)cos (u0) , acosh (v0)sen (u0) , 0) e sabemos que (u0, v0) = (u0, asenh (v0)). Logo,
w = w1(−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a) + w2 µq v2 0+ a2cos (u0) , q v2 0+ a2sen (u0) , 0 ¶ = w1(−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a) + w2 q v2 0+ a2(cos (u0) ,sen (u0) , 0). Como
w = w1(−v0sen (u0) , v0cos (u0) , a) + w2(cos (u0) ,sen (u0) , 0) conclu´ımos que w1= w1e que w2= √w2
v2 0+a2 . Substituindo em IP(w) =¡w21+ w22 ¢ a2cosh2 (v0)temos IP(w) = µ w21+ w 2 2 v2 0+ a2 ¶¡ v20+ a2¢⇒ IP(w) = w21 ¡ v2 0+ a2 ¢ + w2 2 ,
o que exemplifica que a Primeira Forma Quadr´atica de S em P n˜ao depende de parametriza¸c˜ao local. Exemplo 17.2. Seja S um caten´oide com parametriza¸c˜ao local
X : R × ]0, 2π[ −→ Im X = S
(u, v) 7−→ (au, a cosh (u) cos (v) , a cosh (u) sen (v)) com a > 0. (Figura 21++)
Figura 21++: Caten´oide. Temos
E (Q) =hXu(Q) , Xu(Q)iP
=h(a, a senh (u0)cos (v0) , asenh (u0)sen (v0)) , (a, asenh (u0)cos (v0) , asenh (u0)sen (v0))iP = a2+ a2senh2(u0) = a2cosh2(v0)
F (Q) =hXu(Q) , Xv(Q)iP
=h(a, a senh (u0)cos (v0) , asenh (u0)sen (v0)) , (0, −acosh (u0)sen (v0) , acosh (u0)cos (v0))iP = 0
G (Q) =hXv(Q) , Xv(Q)iP
=h(0, −a cosh (u0)sen (v0) , acosh (u0)cos (v0)) , (0, −acosh (u0)sen (v0) , acosh (u0)cos (v0))i = a2cosh2(v
0)
Seja w ∈ TPS,w = (w1, w2)na base {Xu(Q) , Xv(Q)} .Logo, IP(w) = ¡ w2 1+ w22 ¢ a2cosh2(v 0)
e percebemos que a Primeira Forma Quadr´atica de S em P deste exemplo possui express˜ao igual `a express˜ao da Primeira Forma Quadr´atica do exemplo anterior na parametriza¸c˜ao X. Voltaremos a esta “coincidˆencia” posteriormente, quando introduzirmos isometrias entre superf´ıcies regulares.
COMPRIMENTO DECURVAS EM SUPERF´ICIES
Sejam S superf´ıcie regular e α : ]a, b[ ⊂ R → S ⊂ R3curva parametrizada de classe C1 sobre S.
Lembremos que o comprimento de arco s de α a partir do ponto α(t0)at´e o ponto α(t1)com t1> t0´e dado por s = Zt1 t0 |α′(t)| dt = Zt1 t0 q Iα(t)(α′(t))dt, sendo Iα(t)(α′(t))a Primeira Forma Quadr´atica de S em α(t).
Temos assim que o comprimento de tra¸co de curva sobre uma superf´ıcie regular s´o depende de sua Primeira Forma Quadr´atica.
Em particular, se X : U ⊂ R2 → Im X ⊂ S ⊂ R3 ´e parametriza¸c˜ao local de S tal que α (t) ∈ X (U), ∀t ∈ ]a, b[, ent˜ao, como vimos acima, α (t) = X (u (t) , v (t)) e, portanto,
s = Zt1
t0 q
E (u (t) , v (t)) u′(t)2+ 2F (u (t) , v (t)) u′(t)v′(t) + G (u (t) , v (t)) v′(t)2dt, sendo u′(t)e v′(t)coordenadas de α′(t)na base {X
u(u (t) , v (t)) , Xv(u (t) , v (t))}associada a X em Tα(t)S. Natural- mente, o comprimento de uma curva α em uma superf´ıcie regular S, quando puder ser calculado via os coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica em uma parametriza¸c˜ao X de uma vizinhan¸ca de S que cont´em α, n˜ao depende da parametriza¸c˜ao X.
Exemplo 18. Seja X (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v), (u, v) ∈ ]0, 2π[ × R parametriza¸c˜ao local de um cilindro circular S. Calculemos o comprimento da curva α (t) = X (t, t), sendo t ∈ ]0, 2π[, utilizando a Primeira Forma Quadr´atica de S.
No nosso caso, P = α (t), u (t) = v (t) = t e w = α′(t). Logo, α = β = 1, pois α′(t) = X
u(t, t) 1 + Xv(t, t) 1. Sendo assim, Iα(t)(α′(t)) = 2, ∀t ∈ ]0, 2π[.
O comprimento que queremos ´e dado por s = lim ε→ 0+ Z2π−ε ε q Iα(t)(α′(t))dt = lim ε→ 0+ Z2π−ε ε √ 2dt = 2π√2.
Observemos que α (t) = X (t, t) = (cos (t) , sen (t) , t), ou seja, o tra¸co de α ´e parte de uma h´elice em S.
z S X x y 0 t R a = X-1
¿
a a 2p u v R2 0 2p 2pFigura 22: Comprimento de um arco de h´elice circular.
Se α (t) = X (t, 0), t ∈ ]0, 2π[, (circunferˆencia de raio 1 menos um ponto) ter´ıamos α = 1 e β = 0 e, portanto, Iα(t)(α′(t)) = 1, fornecendo s = 2π.
´
AREA DE UMASUPERF´ICIE
Seja S superf´ıcie regular. Um dom´ınio regular de S ´e um conjunto aberto e conexo de S cuja fronteira ´e a imagem de uma aplica¸c˜ao ϕ : S1→ ϕ(S1)⊂ S, sendo S1o c´ırculo unit´ario no plano e ϕ um homeomorfismo diferenci´avel cuja diferencial n˜ao se anula exceto em uma quantidade finita de pontos de S1. A reuni˜ao de um dom´ınio regular de S com sua fronteira ´e chamada de regi˜ao de S.
y z x j u v R2 S R3 S1 j( )S1 (contorno) R Figura 23: Regi˜ao R em S.
A diferencial de ϕ n˜ao se anular, exceto em uma quantidade finita de pontos de S1, garante que uma regi˜ao R de S tenha uma quantidade finita de “bicos” ou “quinas”.
Sejam R uma regi˜ao limitada de S e X : U⊂ R2→ Im X ⊂ S ⊂ R3parametriza¸c˜ao local de S tal que R ⊂ Im X. Do C´alculo Diferencial e Integral sabemos que a ´area de R ´e definida por
A (R) = ZZ
X−1(R)
|Xu(u, v)× Xv(u, v)| dudv.
A defini¸c˜ao de ´area dada acima independe da parametriza¸c˜ao local X. De fato, seja X : U ⊂ R2 → S outra parametriza¸c˜ao local de S em torno de P tal que R ⊂ X¡U¢. Seja h = X−1◦ X, h (u, v) = (u (u, v) , v (u, v)) = (u, v), mudan¸ca de coordenadas e Jh (u, v) a matriz jacobiana de h.
De X (u, v) = X ((u (u, v) , v (u, v))) temos, pela Regra da Cadeia ¯
Xu(u, v) = Xu(u, v) .uu(u, v) + Xv(u, v) .uv(u, v) Xv(u, v) = Xu(u, v) .vu(u, v) + Xv(u, v) .vv(u, v) ⇒
Xu× Xv(u, v) = (Xu(u, v) .uu(u, v))× (Xv(u, v) .vv(u, v)) + (Xv(u, v) .uv(u, v))× (Xu(u, v) .vu(u, v))⇒ Xu× Xv(u, v) = (Xu× Xv(u, v)) (uu(u, v) .vv(u, v) − uv(u, v) .vu(u, v))⇒
Xu× Xv(u, v) = (Xu× Xv(u, v))det ·
uu(u, v) uv(u, v) vu(u, v) vv(u, v) ¸
⇒ Xu× Xv(u, v) = (Xu× Xv(u, v)) .det Jh (u, v)
Ent˜ao, ZZ X−1(R) ¯ ¯Xu× Xv(u, v) ¯ ¯ dudv = ZZ X−1(R)
|Xu× Xv(u, v)| .det Jh (u, v) dudv = ZZ
X−1(R)
|Xu× Xv(u, v)| dudv pelo Teorema de Mudan¸ca de Vari´aveis para Integrais M´ultiplas.
Lembrando que no produto vetorial de u por v vale |u × v| = |u| . |v| . sen (θ), sendo θ ∈ [0, π] a medida do ˆangulo entre u e v, temos
|Xu(u, v)× Xv(u, v)|2= |Xu(u, v)|2|Xv(u, v)|2sen2(θ) = |Xu(u, v)|2|Xv(u, v)|2(1 −cos2θ)
= |Xu(u, v)|2|Xv(u, v)|2−hXu(u, v), Xv(u, v)i2X(u,v)
= E(u, v)G(u, v) − F(u, v)2. (4.1)
Ent˜ao,
A(R) = ZZ
X−1(R) q
E(u, v)G(u, v) − F(u, v)2dudv,
e temos mais uma vez que a ´area de uma regi˜ao R sobre S dependendo somente da Primeira Forma Quadr´atica de S. Observemos tamb´em que do fato de Xu(u, v)e Xv(u, v)formarem um conjunto LI, temos |Xu(u, v)× Xv(u, v)|6= 0 e, consequentemente, devido a 4.1, E(u, v)G(u, v) − F(u, v)26= 0. Essa informa¸c˜ao ser´a ´util posteriormente.
Exemplo 19. Consideremos o cilindro circular S e uma parametriza¸c˜ao local X : U = ]0, 2π[× R ⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3
(u, v) 7−→ (cos (u) , sen (u) , v) .
Seja W = ]0, 2π[ × [0, 2] ⊂ U. Vamos calcular a ´area de R = X (W) ⊂ S, que ´e um “anel de raio 1 e altura 2”, utilizando a Primeira Forma Quadr´atica.
Vimos que E (u, v) = 1, F (u, v) = 0 e G (u, v) = 1. Logo, A (R) = lim ε→ 0+ Z2π−ε ε Z2 0 p 1.1 − 02dudv = 4π. z u v R2 2 0 S X 2p x y W R
Figura 24: ´Area sobre uma superf´ıcie regular.
Exemplo 20. Consideremos o toro circular S, de raio menor r e maior a, e uma paramentriza¸c˜ao local de S dada por X : ]0, 2π[× ]0, 2π[ ⊂ R2 → Im X ⊂ S ⊂ R3
(u, v) 7→ ((a + r cos (u)) cos (v) , (a + r cos (u)) sen (v) , r sen (u)) .
Temos que Im X ´e o toro menos um meridiano e um paralelo.
Os Coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S na parametriza¸c˜ao X s˜ao E(u, v) =hXu(u, v), Xu(u, v)iX(u,v) = r
2
F(u, v) =hXu(u, v), Xv(u, v)iX(u,v)= 0
G(u, v) =hXu(u, v), Xv(u, v)iX(u,v)= (a + rcos (u)) 2 Seja Rε = X([ε, 2π − ε]× [ε, 2π − ε]), 0 < ε < π. Logo, A(Rε) = ZZ X−1(R) q
E(u, v)G(u, v) − F(u, v)2dudv
= Z2π−ε
ε
Z2π−ε ε
r(a + rcos (u))dudv = r Z2π−ε ε Z2π−ε ε (a + rcos (u))dudv = r Z2π−ε ε
(au|2π−εε + rsen (u) |2π−εε )dv = r
Z2π−ε ε
(a [2π − ε − ε] + r [sen (2π − ε) − sen (ε)])dv = r [a (2π − 2ε) + r [sen (2π − ε) − sen (ε)]] (2π − 2ε) = r (2π − 2ε) (a(2π − 2ε) + r [sen (2π − ε) − sen (ε)]). (Figuira 24+) Temos, portanto, que
A(R) = lim
ε→ 0A(Rε) = 2πra(2π) = 4π
2ra = (2πa) (2πr),
que coincide com a ´area do toro inteiro, j´a que o meridiano e paralelo n˜ao coberto por X possuem ´area nula, ou seja, A (S) = 4π2ra.
Observemos que a ´area do toro circular com c´ırculo gerador de raio r e c´ırculo central de raio a (c´ırculo descrito pelo centro do c´ırculo gerador quando este ´e girado em torno do eixo z) ´e o produto dos comprimento desses dois c´ırculos.
Figura 24+
ˆ
ANGULO ENTRE CURVAS COORDENADAS DE UMASUPERF´ICIEREGULAR
Sejam S superf´ıcie regular e α : I ⊂ R → S ⊂ R3, β : I ⊂ R → S ⊂ R3 curvas parametrizadas de classe C1 sobre S que se intersectam em um ponto P = α(t0) = β(t1). O ˆangulo entre α e β no ponto P ´e definido como sendo o ˆangulo formado pelas retas paralelas a α′(t
0)e β′(t1)passando por P. A medida θ, 0 ≤ θ ≤ π2 radianos, desse ˆangulo ´e dada por
cos (θ) =|hα ′(t 0), β′(t1)iP| |α′(t0)| . |β′(t1)| . S y z x P= a( )t0 = b( )t1 t0 a b t R a R3 t1 a b t R _ _ b ( )
¢
t1 a ( )¢
t0 a b b qEm particular, se α(u) = X(u, v0)e β(v) = X(u0, v), sendo X parametriza¸c˜ao local de S em torno de P = X (u0, v0), ent˜ao cos (θ) = |hXu(u0, v0), Xv(u0, v0)i| |Xu(u0, v0)| . |Xv(u0, v0)| = p |F(u0, v0)| E(u0, v0)G (u0, v0)
e mais uma vez, temos que a no¸c˜ao de ˆangulo entre curvas coordenadas depende apenas da Primeira Forma Quadr´atica de S.
Voltando ao contexto geral e lembrando que {Xu(u0, v0) , Xv(u0, v0)}´e base de TPSe que α′(t0) = a0Xu(u0, v0) + b0Xv(u0, v0)e que β′(t1) = a1Xu(u0, v0) + b1Xv(u0, v0)´e f´acil perceber que a medida do ˆangulo θ entre α′(t0)e β′(t
1)depende apenas da Primeira Forma Quadr´atica de S. Observa¸c˜ao importante:
Se F(u0, v0) = 0, ent˜ao θ =π2, ou seja as curvas coordenadas X(u, v0)e X(u0, v)s˜ao ortogonais. Quando F(u, v) = 0, ∀(u, v), chamamos a parametriza¸c˜ao local X de parametriza¸c˜ao ortogonal . ´E poss´ıvel mostrar que dada uma superf´ıcie regular S e P ∈ S, sempre existe uma parametriza¸c˜ao local em P que ´e ortogonal.
SUPERF´ICIESISOM ´ETRICAS,DIST ˆANCIAINTR´INSECA E ISOMETRIAS
Duas superf´ıcies regulares S e S s˜ao ditas superf´ıcies isom´etricas quando puderem ser cobertas por vizinhan¸cas coordenadas provenientes de parametriza¸c˜oes locais
X : U⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3
(u, v) 7−→ X (u, v) e
X : U⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 (u, v) 7−→ X (u, v)
(observemos que o aberto U ´e o mesmo nas duas parametriza¸c˜oes) tais que os coeficientes das Primeiras Formas Quadr´aticas de S e S nas parametriza¸c˜oes X e X coincidem, isto ´e, E (u, v) = E (u, v), F (u, v) = F (u, v) e G (u, v) = G (u, v), ∀ (u, v) ∈ U.
Exemplo 21. As superf´ıcies regulares S e S dadas pelas imagens das parametriza¸c˜oes locais X : ]0, 2π[× R ⊂ R2 −→ Im X = S ⊂ R3
(u, v) 7−→ (u, v, 0) e
X : ]0, 2π[× R ⊂ R2 −→ Im X = S ⊂ R3 (u, v) 7−→ (cos (u) , sen (u) , v)
s˜ao superf´ıcies isom´etricas pois E (u, v) = E (u, v) = 1, F (u, v) = F (u, v) = 0 e G (u, v) = G (u, v) = 1, ∀ (u, v) ∈ ]0, 2π[× R.
Observa¸c˜ao: Se X e X s˜ao parametriza¸c˜oes locais, com dom´ınio no aberto U ⊂ R2, de superf´ıcies regulares, ent˜ao existe uma bije¸c˜ao φ : X (U) −→ X (U).
De fato, X : U −→ X (U) e X : U −→ X (U) s˜ao bijetivas. Logo, a composta φ = X ◦ X−1 : X (U) −→ X (U) ´e bijetiva.
Seja X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3uma parametriza¸c˜ao local de uma superf´ıcie regular e sejam P
1, P2∈ X (U). Consideremos uma curva regular γ : [a, b] ⊂ R −→ X (U) ⊂ R3 tal que γ (a) = P
1 e γ (b) = P2. Seja l (γ) o comprimento do tra¸co de γ.
Definimos a distˆancia intr´ınseca entre P1 e P2sobre S (ou distˆancia entre P1 e P2sobre S) como sendo d (P1, P2) =inf
©
l (γ) | γ : [a, b]⊂ R −→ X (U) ⊂ R3´e curva regular com γ (a) = P
1e γ (b) = P2 ª
.
Sejam X e X parametriza¸c˜oes locais, com dom´ınio no aberto U ⊂ R2, das superf´ıcies regulares S e S, respectivamente. Uma aplica¸c˜ao φ : X (U) −→ X (U) ´e dita uma isometria entre X (U) e X (U) quando preserva distˆancias intr´ınsecas, ou seja, quando
d (P1, P2) = d (φ (P1) , φ (P2)), ∀P1, P2∈ X (U) , sendo d a distˆancia intr´ınseca em S e d a distˆancia intr´ınseca em S.
Proposi¸c˜ao 4.11 Sejam S e S superf´ıcies isom´etricas com X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3e X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3 parametriza¸c˜oes locais que fornecem a igualdade entre os coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S e S. Se β : [a, b] ⊂ R −→ X (U) ⊂ R3 ´e uma curva regular na superf´ıcie S, ent˜ao o comprimento de β ´e igual ao comprimento de φ ◦ β, sendo φ = X ◦ X−1: X (U)−→ X (U).
Demonstra¸c˜ao. Seja α : [a, b] ⊂ R −→ U ⊂ R2, α (t) = (u (t) , v (t)), tal que β (t) = X ◦ α (t). Temos φ◦ β (t) = X ◦ X−1◦ X ◦ α (t) = X ◦ α (t) . Temos l (β) = Zb a |β′(t)| dt = Zb a |u′(t) Xu(α (t)) + v′(t) Xv(α (t))| dt = Za b q u′(t)2E (α (t)) + 2u′(t) v′(t) F (α (t)) + v′(t)2G (α (t))dt Analogamente, l (φ◦ β) = Zb a ¯ ¯(φ ◦ β)′(t)¯¯ dt =Zb a ¯ ¯u′(t) X u(α (t)) + v′(t) Xv(α (t)) ¯ ¯ dt = Zb a q u′(t)2E (α (t)) + 2u′(t) v′(t) F (α (t)) + v′(t)2G (α (t))dt
Mas X e X s˜ao isom´etricas, ou seja, E (α (t)) = E (α (t)), F (α (t)) = F (α (t)) e G (α (t)) = G (α (t)). Logo, l (β) =
l (φ◦ β). ¤
Proposi¸c˜ao 4.12 Sejam S e S superf´ıcies isom´etricas com X : U⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3e X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3 parametriza¸c˜oes locais que fornecem a igualdade entre os coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S e S. Ent˜ao, φ = X ◦ X−1: X (U)−→ X (U) ´e uma isometria entre X e X.
Demonstra¸c˜ao. Sejam d distˆancia intr´ınseca em X (U) e d distˆancia intr´ınseca em X (U). Vamos mostrar que d (P1, P2) = d (φ (P1) , φ (P2)). Vimos na proposi¸c˜ao anterior que
A = {l (β) : β´e curva em S ligando P1a P2}
B =©l (φ◦ β) : φ ◦ β ´e uma curva em X ligando φ (P1) a φ (P2) ª
.
s˜ao tais que A = B. Logo, inf A = inf B e, portanto, d (P1, P2) = d (φ (P1) , φ (P2)). Como P1 e P2 s˜ao arbitr´arios,
temos que φ ´e isometria. ¤
Exemplo 22.1. Vimos no Exemplo 21 que as superf´ıcies dadas pelas parametriza¸c˜oes locais X : ]0, 2π[× R −→ X (]0, 2π[ × R) ⊂ R3
(u, v) 7−→ (u, v, 0) e
X : ]0, 2π[× R −→ X (]0, 2π[ × R) ⊂ R3 (u, v) 7−→ (cos (u) , sen (u) , v) s˜ao isom´etricas. Logo, a aplica¸c˜ao φ : X (]0, 2π[ × R) −→ X (]0, 2π[ × R) dada por
φ (u, v, 0) = X◦ X−1(u, v, 0) = X (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) ´e uma isometria entre X (]0, 2π[ × R) (parte do plano) e X (]0, 2π[ × R) (parte do cilindro).
Exemplo 22.2. Vimos nos Exemplos 17.1 e 17.2 que existem parametriza¸c˜oes locais do helic´oide e do caten´oide que igualam os coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de ambas as superf´ıcies. Logo, elas s˜ao superf´ıcies isom´etricas e, portanto, existe uma isometria entre essas superf´ıcies. Isso significa que ´e poss´ıvel transformar uma superf´ıcie na outra sem deform´a-la (sem estic´a-la ou contra´ı-la). Abaixo segue uma sequˆencia de figuras, retiradas da referˆencia [3], que ilustra como ocorre essa deforma¸c˜ao. (Figura 26)
Figura 26
Proposi¸c˜ao 4.13 Sejam S e S superf´ıcies com X : U ⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 e X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3 parametriza¸c˜oes locais, respectivamente. Se a aplica¸c˜ao φ : X (U) −→ X (U), tal que φ = X◦X−1, preserva comprimento de curvas, ent˜ao as vizinhan¸cas coordenadas Im X e Im X s˜ao isom´etricas.
Demonstra¸c˜ao. Seja α (t) = Q+tv, sendo Q = (u0, v0)∈ U, v = (m, n) um vetor n˜ao nulo e α (t) ∈ U para ∀t ∈ [0, b]. Logo, α (t) = (u0+ tm, v0+ tn) . Sejam β = X ◦ α e β = φ ◦ β.
As fun¸c˜oes comprimento de arco para β e β s˜ao dadas por S (t) = Zt 0 |β′(u)| du; S (b) = l (β) e S (t) = Zt 0 ¯ ¯ ¯β′(u)¯¯¯ du; S (b) = l¡β¢.
Como, por hip´otese, φ preserva comprimento de curvas, ou seja, l (β) = l (φ ◦ β), temos S (t) = S (t), ∀t ∈ [0, b]. Logo,
S′(t) = S′(t)=⇒ |β′(t)| =¯¯¯β′(t)¯¯¯ , ∀t. Mas α (0) = Q = (u0, v0)e α′(0) = (m, n) =v. Al´em disso,
|β′(0)|2= IX(α(0))(β′(0)) e ¯ ¯ ¯β′(0)¯¯¯2= IX(α(0))³β′(0)´. Assim, IX(P)(β′(0)) = IX(P) ³ β′(0)´=⇒ m2E (Q) + 2mnF (Q) + n2G (Q) = m2E (Q) + 2mnF (Q) + n2G (Q). Como (m, n) ´e um vetor qualquer tal que m 6= 0 ou n 6= 0, vamos supor que m = 0 e n 6= 0. Assim,
n2G (Q) = n2G (Q)=⇒ G (Q) = G (Q) . Se n = 0 e m 6= 0 temos
m2E (Q) = m2E (Q)=⇒ E (Q) = E (Q) . Se n 6= 0 e m 6= 0 temos
F (Q) = F (Q).
Logo, Im X e Im X s˜ao isom´etricas. ¤