Primeiro nível de análise: sistema de práticas e objetos matemáticos

Sistemas de práticas compreendem qualquer ação/desempenho ou manifestação (verbal, gráfica, gestual, etc.) levada em consideração na resolução de problemas matemáticos, e na comunicação das soluções obtidas a outras pessoas, a fim de validá-las ou generalizá-las a outros contextos e problemas. Objetos matemáticos compreendem qualquer entidade ou coisa à qual se refere, ou da qual se fala, seja real ou imaginária, ou de qualquer outro tipo, que intervêm de alguma forma na atividade Matemática (GODINO; BATANERO, 1994; FONT; PLANAS; GODINO, 2010).

Nas práticas matemáticas há interferência de diversos tipos de objetos (símbolos, gráficos, definições, proposições, etc.) que são possíveis de ser representados sob as mais variadas formas, isto é, escrita, oral, etc.

Os objetos que surgem dos sistemas de práticas podem ser considerados como “objetos institucionais” quando divididos por uma instituição, ou “objetos pessoais” quando correspondem a uma pessoa (GODINO; BATANERO; FONT, 2008).

Os autores consideram que a questão do “significado dos objetos matemáticos” no EOS é de natureza ontológica e epistemológica, isto é, se refere à natureza e à origem dos objetos matemáticos.

Num primeiro momento, foi proposta uma resposta pragmática/antropológica (significado como sistema de práticas operativas e discursivas). No entanto, ao mesmo tempo, foi estabelecido o surgimento de novos objetos de tais sistemas de práticas, que se consolidam em regras socialmente conveniadas (e objetos pessoais), e serão, por sua vez, conteúdos de novas funções semióticas.

Com esta formulação dualista (sistema de práticas e objetos emergentes organizados em redes ou configurações), eles pretenderam articular os programas epistemológicos (sobre bases antropológicas) e cognitivos (sobre bases semióticas).

De acordo com Font, Godino e Gallardo (2013) o EOS propõe a seguinte tipologia de objetos primários:

 situações-problemas (aplicações extramatemáticas, exercícios...).

 linguagens-comunicação (termos, expressões, notações, gráficos...) em seus diversos registros (escrito, oral, gestual...).

 conceitos-definição (introduzidos mediante definições ou descrições: reta, ponto, número, média, função...).

 proposições-enunciação (enunciados sobre conceitos,...).

 procedimentos-algoritimização (algoritmos, operações, técnicas de cálculo,...).

 argumentos-argumentação (enunciados usados para validar ou explicar as proposições e procedimentos: dedutivos ou de outro tipo.)

Para Font, Godino e Wilhelmi (2008), o primeiro nível de análise se baseia na aplicação da noção de prática matemática ligada à solução de um tipo de problema (Figura 4).

Figura 4 - Objetos e processos primários Fonte: Font, Godino e Wilhelmi (2008, p. 5)

Estes objetos primários se organizam em entidades mais complexas: sistemas conceituais, teorias, etc. De acordo com Font, Planas e Godino (2010), os seis tipos descritos estão relacionados entre si, formando configurações, e são suportados por cinco dimensões duais: pessoal-institucional, expressão-conteúdo, sistêmico-unitário, não ostensivo-ostensivo e intensivo-extensivo, como veremos adiante.

Font, Godino e Wilhelmi (2008) partem da noção de situação-problema como primitiva, e a ideia de que a variação sistemática das variáveis envolvidas em situações-problema leva a diferentes tipos de problemas e campos. A origem do conhecimento pessoal é resultado da interação do sujeito com tipos de problemas, mediada pelos contextos institucionais em que ocorre a atividade.

Para os autores, as situações-problema são a origem da atividade. Elas promovem e contextualizam a atividade Matemática. As práticas matemáticas compreendem quaisquer ações ou expressões (verbal, gráfica, etc) feitas por alguém para resolver problemas matemáticos, de comunicar aos outros a solução obtida, validar ou generalizar para outros contextos e problemas.

As práticas podem ser partilhadas no meio de uma instituição ou serem específicas de uma pessoa. Os problemas "não vêm sozinhos", mas são agrupados em tipos, classes ou campos de problemas, de modo que a transição de um tipo para outro é o fator determinante do progresso ou avanço do conhecimento matemático, tanto individual como institucional. As linguagens representam as restantes entidades e servem de instrumento para a ação; os argumentos justificam os procedimentos e proposições que relacionam os conceitos entre si.

De acordo com Godino, Batanero e Font (2008), os sistemas de práticas e sua utilização na análise didática são classificados, quanto à tipologia básica de significados, em: significados institucionais e significados pessoais.

Os autores propõem os seguintes tipos de significados institucionais:

 Implementado: num processo de estudo específico é o sistema de práticas efetivamente implementadas pelo docente;

 Avaliado: sistema de práticas que utiliza o docente para avaliar a aprendizagem;

 Pretendido: sistema de práticas incluídas no planejamento do processo de estudo;

 Referencial: sistema de práticas utilizado como referência para elaborar o significado pretendido. Numa instituição de ensino concreta, este significado de referência será uma parte do significado holístico do objeto matemático. A determinação do referido significado global requer realizar um estudo histórico- epistemológico sobre a origem e evolução do objeto em questão, assim como considerar a diversidade de contextos de uso onde se coloca em jogo o referido objeto.

E quanto aos tipos de significados pessoais, os autores propõem:

 Global: corresponde à totalidade do sistema de práticas pessoais que é capaz de manifestar potencialmente o sujeito em relação a um objeto matemático;

 Declarado: refere às práticas efetivamente expressadas através das avaliações propostas, incluindo-se tanto as corretas quanto as incorretas desde o ponto de vista institucional;

 Atingido: corresponde às práticas manifestadas que são coerentes com a pauta institucional estabelecida. Na análise da variação dos significados pessoais que têm lugar num processo de estudo, nos interessará considerar tanto os significados iniciais ou prévios dos estudantes, quanto aqueles que estes alcançarão no final do processo.

Godino e Batanero (1994) relatam que os significados dos quais os estudantes se apropriam dependem, fundamentalmente, dos institucionais, isto é, dos significados pretendidos, associados aos sistemas de práticas planificados por um processo particular de instrução. Além destes, dependem daqueles efetivamente utilizados na instrução e dos que são avaliados.

Na mesma linha, Godino Batanero e Font (2008) afirmam que os seis tipos de objetos descritos anteriormente estão relacionados entre si, formando configurações, ou seja, redes de objetos intervenientes e emergentes dos sistemas de práticas.

Nesse sentido, Font, Godino e Galardo (2013) classificam estas configurações em epistêmicas (quando se refere a objetos institucionais) e cognitivas (quando se refere a objetos pessoais). A configuração epistêmica é o conjunto de objetos matemáticos envolvidos na resolução de atividades (Figura 5).

Figura 5- Componentes e relações numa configuração epistêmica Fonte: Fonseca (2013, p. 52)

3.1.2 Segundo nível de análise: configuração de objetos e processos

Esse nível de análise fornece informação sobre a complexidade ontossemiótica da atividade matemática em questão, possibilitando explicações dos conflitos semióticos no estudo de um tema. Baseia-se na aplicação da noção de processo matemático e nos tipos de processos elaborados, levando em consideração os tipos de objetos primários e secundários.

Para Godino, Batanero e Font (2008) as dualidades e as configurações de objetos primários (linguagem, definições, proposições, argumentos, procedimentos, situações) podem ser analisadas a partir de uma perspectiva dos processos indicados na Figura 6. No EOS a atividade matemática ocupa o lugar central, e sua modelização ocorre em termos de sistema de práticas operativas e discursivas.

Destas práticas emergem os distintos tipos de objetos matemáticos, que estão relacionados entre si formando configurações. Finalmente, os objetos que intervêm nas práticas matemáticas e os delas emergentes, segundo o jogo de linguagem em que participam, podem ser considerados desde as cinco facetas ou dimensões duais.

A emergência dos objetos tem lugar mediante os respectivos processos matemáticos de comunicação, problematização, definição, enunciação, elaboração de procedimentos (algoritmização) e argumentação. Enquanto as dualidades dão lugar aos seguintes processos cognitivo-epistêmicos: institucionalização- personalização; generalização-particularização; decomposição-reificação; materialização-idealização; representação-significação.

Figura 6 - Objetos e processos secundários Fonte: Godino, Batanero e Font (2008, p. 18)

Faremos uma breve explanação das dimensões apresentadas na Figura 6.

 Pessoal-institucional: se os sistemas de prática correspondem a uma pessoa, consideramos objetos emergentes os “objetos pessoais” e, se são compartilhados dentro de uma instituição, são considerados “objetos institucionais”;

 Ostensivo-não ostensivo: compreende-se por ostensivo qualquer objeto que é público e que, portanto, pode ser mostrado ao outro;

 Expressão-conteúdo: os objetos matemáticos devem ser colocados em relação uns com os outros, não devendo ser considerados como entidades isoladas. A relação se estabelece por meio de funções semióticas, entendidas como uma relação entre um antecedente (expressão, significante) e um consequente

(conteúdo, significado), estabelecida por um sujeito (pessoa ou instituição), de acordo com certo critério ou código de correspondência;

 Extensivo-intensivo (exemplar-tipo): essa dualidade explica a utilização de elementos genéricos que se referem a um objeto que intervém em um jogo de linguagem, como caso particular de uma classe mais geral. Um mesmo objeto pode ser considerado intensivo em determinada situação e extensivo em outra;

 Unitário-sistêmico: entidades unitárias compreendem aquelas que se supõem conhecidas previamente, enquanto as sistêmicas correspondem a algo desconhecido. Em algumas situações, os objetos matemáticos podem ser considerados entidades unitárias, e, em outras, sistemas que devem se decompostos para seu estudo.

Font, Planas e Godino (2010) afirmam que as noções teóricas, descritas anteriormente no modelo ontossemiótico, não pretendem incluir todos os processos que são pertinentes à aprendizagem matemática. Segundo os autores alguns processos abrangem outros processos mais elementares, como por exemplo, o processo de resolução de problemas, ou o de modelização, em que são consideradas: a representação, a argumentação, a idealização, a generalização, dentre outros processos.

Godino, Batanero e Font (2008) relatam que as relações de dependência entre os objetos podem ser de três tipos: representacional (um objeto é colocado no lugar de outro para um determinado propósito); instrumental (um objeto usa o outro ou outros como instrumento); e estrutural (dois ou mais objetos compõem um sistema do qual emergem novos objetos).