2. Introdução à Teoria dos Números
2.1 Números Primos
3.2.6 Princípio da Casa dos Pombos
O Princípio da Casa dos Pombos também é conhecido como Princípio da Caixa de Sapatos ou Princípio de Dirichlet39. Este princípio é usado para responder a questões como: existe algum elemento, ou objecto, que possua determinada propriedade?
Das várias definições desse princípio existentes, apresentaremos, a seguir, três versões: uma mais formal, outra mais prática e uma terceira que pode ser considerada como uma versão generalizada.
Versão 1: Se
f
é uma função de um conjunto finito X para um conjunto finito Y eY
X
>
, então existemx
1 ex
2∈X
comx
1≠x
2 tais que( )x
1f( )x
2f
=
Versão 2: Se n pombos voam para k casas que designamos por gaiolas e se n > k, então alguma gaiola vai ficar com pelo menos dois pombos.
Demonstração: Suponhamos que a afirmação é falsa: Então cada gaiola tem no máximo um pombo, logo existem k pombos o que é absurdo pois por hipótese existem mais de k pombos.
Versão 3: Se n objectos distintos são colocados em k caixas então há pelo menos uma caixa que contém
k
n
objectos, onde
x
representa o menor inteiro igual ou superior ax
.Este princípio, aparentemente ingénuo, é um dos recursos mais utilizados para resolver problemas de combinatória e, não raras vezes, surge em outras
39 Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (1805-1859) nasceu na Renânia e ensinou em Berlim durante
quase 30 anos, antes de se transferir para Götingen, como sucessor de Gauss.. Embora seja mais conhecido por seus trabalhos em análise e equações diferenciais, Dirichlet foi também, um dos mais importantes matemáticos na área de teoria dos números do século XIX. O Princípio da Casa dos Pombos é devido a Dirichlet.
áreas da matemática. Há vários problemas interessantes que podem ser resolvidos recorrendo ao Princípio da casa dos pombos Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, o que faz o papel dos pombos e o que faz o papel das gaiolas.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 18
Numa festa de aniversário com mais de 12 crianças, mostre que existem pelo menos duas nascidas no mesmo mês.
Como temos mais crianças (pombos) do que meses (gaiolas), pelo menos num mês deverá haver duas crianças a fazer anos.
Exemplo 19
Entre 100 pessoas, quantas, no mínimo, nasceram no mesmo mês?
Temos neste problema 100 “pombos” e 12 “gaiolas”, logo, basta calcular
9
12
100 =
,ou seja, existem pelo menos 9 pessoas que fazem anos no mesmo mês.
Exemplo 20
Mostre que em Madrid, com mais de 4 milhões de habitantes, há pelo menos vinte pessoas com o mesmo número de cabelos.
Nota: É razoável supor-se que nenhuma pessoa tem 200 mil ou mais fios de cabelo, normalmente uma pessoa tem no máximo 150 mil fios de cabelo.
Considerando que os habitantes correspondem aos pombos, vamos colocá-los na respectiva gaiola, de acordo com o número de fios de cabelo.
Supondo que todas as gaiolas têm menos de 20 pessoas, teríamos um total de habitantes inferior a
20×200000=4×10
6, o que é absurdo pois sabe- se que Madrid tem mais de 4 milhões de habitantes.Exemplo 21
Um exame possui 10 questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada. Qual deverá ser o menor número de alunos a fazer exame para podermos garantir que, pelo menos dois deles, dão exactamente as mesmas respostas a todas as questões?
Neste caso, aos pombos correspondem os alunos e, às gaiolas, as possíveis sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de 4 modos, o exame pode ser respondido de
4
10=1048576
maneiras diferentes. Logo, só se pode ter a certeza de que dois alunos dão exactamente as mesmas respostas, se houver, pelo menos, 1 048 577 examinandos.Exemplo 22
Escolhem-se 5 pontos ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que, pelo menos um dos segmentos que esses pontos determinam, tem comprimento menor ou igual a 2.
Dividimos o quadrado de lado 2 em quatro quadrados de lado 1, de acordo com a figura seguinte.
Os 5 pontos correspondem aos pombos e as gaiolas serão os 4 quadrados. Em cada gaiola, a distância máxima entre dois pontos é igual à sua diagonal que é
2
.Portanto, usando o princípio, temos que pelo menos 2 pontos estarão na mesma gaiola e, assim, determinam um segmento com comprimento menor ou igual a
2
.Exemplo 23
Mostre que, em qualquer conjunto com n números inteiros, existem, pelo menos dois, cuja diferença é um múltiplo de
n−1
.Neste caso, temos n pombos. Considerando r o resto da divisão de um número inteiro por
(n−1)
, sabemos que r pertence ao conjunto{0,1,2,...,n−2}
. As(n−1)
classes de restos serão as gaiolas. Como temos um conjunto com n inteiros, então, pelo menos dois deles que designaremos por a e b, têm o mesmo resto r na divisão por(n−1)
, ou seja,a
=
p(n−1)+r
eb=q(n−1)+r
, onde p e q são inteiros e r pertence ao conjunto{0,1,2,...,n−2}
. Portanto,(
−
) (⋅
−1)
=
−b
p
q
n
a
, isto é,a
−b
é um múltiplo de(n−1)
. Exemplo 24Mostre que, numa sala com n pessoas, há sempre duas pessoas que conhecem exactamente o mesmo número de pessoas que se encontram na sala. Nota: supõem-se que se a conhece b, b conhece a, ou seja, “conhecer” é uma relação simétrica.
Neste caso, as pessoas serão os nossos pombos e, em cada gaiola, estarão agrupadas as pessoas que conhecem o mesmo número de pessoas, isto é, que têm o mesmo número de conhecidos. Assim, as possíveis quantidades de conhecidos são 0,1, 2, 3, ...,
n−1
. À primeira vista, parece que temos n gaiolas e n pombos, o que inviabilizaria a utilização do princípio. No entanto, observe-se que se alguma das pessoas conhece todas as outrasn−1
pessoas, então é impossível que haja alguma pessoa que não conheça ninguém, 0 pessoas. Assim, a gaiola 0 oun−1
permanecerá desocupada e os n pombos devem ser, portanto, distribuídos emn−1
gaiolas.Logo, pelo princípio de Dirichlet, uma das gaiolas será ocupada pelo menos por dois pombos, ou seja, há pelo menos duas pessoas que conhecem exactamente o mesmo número de participantes.