CAPÍTULO 5 Teorema da quantidade de movimento e suas aplicações
5.1 Expressão do teorema da quantidade de movimento
5.1.1 Princípio da quantidade de movimento aplicado à mecânica dos fluidos
aplicada a líquidos perfeitos:
g⃗ −1ρ grad⃗ p − v⃗ grad⃗ v⃗ = 0⃗ E a Equação da Continuidade:
div ρv⃗ +∂ρ∂t = 0
Constituem um sistema de duas equações que, na forma tensorial, se representa por:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ρg − ∂p∂x − ρ∂v∂t − ρv ∂v∂x = 0 ∂ρv ∂x + ∂ρ ∂t = 0
Com base na definição de derivada de um produto, a terceira e quarta parcelas da Equação de Euler podem ser substituídas pelas seguintes equações:
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⎩ ⎨
⎧3ª parcela: ρ∂v∂t = ∂ρv∂t − v ∂ρ∂t 4ª parcela: ρv ∂v∂x =∂ρv v∂x − v ∂ρv∂x Obtém-se assim a Equação de Euler na forma:
ρg −∂x =∂p ∂ρv∂t − v ∂ρ∂t + ∂ρv v∂x − v ∂ρv∂x ⟹ ⟹ ρg −∂x =∂p ∂ρv∂t +∂ρv v∂x − v ∂ρ∂t +∂ρv∂x
O termo dentro de parênteses na equação anterior anula-se se verificada a Equação da Continuidade, obtendo-se a equação simplificada:
ρg −∂x =∂p ∂ρv∂t +∂ρv v∂x
A integração da equação anterior num dado volume de fluido, volume de controlo, e a aplicação do Teorema da Divergência de Gauss aos segundos termos dos dois membros, surgindo dois integrais na superfície fronteira do volume de controlo, superfície de controlo, permite obter a equação:
ρg dV + −pn dS = ∂ρv∂t dV + ρv v n dS
A equação anterior representa a Equação do Teorema da Quantidade de Movimento, na forma integral aplicada aos líquidos perfeitos. Em notação vetorial, representa-se por:
ρg⃗ dV + −pn⃗ dS = ∂ρv⃗∂t dV + ρv⃗(v⃗|n⃗) dS = 0
Interpretação do Teorema da Quantidade de Movimento (Vasconcelos, 2005)
∫ ρg⃗ dV, forças de massa que atuam sobre o fluido contido no interior da superfície de controlo, G⃗;
∫ −pn⃗ dS, impulsão exercida, ao longo da superfície de controlo, pelo fluido circundante ou por paredes sólidas (positivo quando dirigido para fora). Neste termo, de modo a generalizar a aplicação da equação deduzida a líquidos reais,
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têm que ser incluídas as parcelas correspondentes às tensões tangenciais na superfície de controlo, Π⃗;
∫ ∂ρv⃗ ∂t⁄ dV, força local de inércia (anula-se para escoamentos permanentes), I⃗;
∫ ρv⃗(v⃗|n⃗) dS, quantidade de movimento através de toda a superfície de controlo, na unidade de tempo, ou seja, a quantidade de movimento que sai menos a quantidade de movimento que entra na superfície de controlo, por unidade de tempo. O integral afetado pelo sinal negativo, corresponderá à quantidade de movimento que entra menos a quantidade de movimento que sai pela superfície de controlo, M⃗ − M⃗.
De modo simplificado, o Teorema da Quantidade de Movimento, pode ser escrito: G⃗ + Π⃗ + I⃗ + M⃗ − M⃗ = 0⃗
5.1.2 Teorema da quantidade de movimento aplicado a um tubo de corrente A equação da quantidade de movimento nada mais é que a segunda Lei de Newton da dinâmica modificada funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. Segundo essa lei, a aceleração de uma certa massa implica a existência de uma força resultante sobre ela que tem, em cada instante, a direção e o sentido da aceleração. Acelerar uma massa significa modificar a sua velocidade em módulo e/ou direção e, por essa observação, para que a velocidade de um fluido seja modificada em módulo ou direção, será necessário aplicar uma força provocada por algum agente externo, em geral, uma superfície sólida em contato com o escoamento (Brunetti, 2008). Pelo princípio da ação e reação, se a superfície aplica uma força no fluido, este aplicará, sobre a superfície, uma outra de mesmo módulo e de sentido contrário. A observação desses fatos permitirá a construção da equação da quantidade de movimento, nos moldes desejados (Brunetti, 2008). Seja a segunda Lei de Newton da dinâmica:
F⃗ = ma⃗ = mdv⃗dt
Note-se que esta equação deve ser mantida na forma vetorial, pois a velocidade pode variar em direção sem que seja alterado o seu módulo. Ainda, esta equação é estabelecida para um sistema que tem, por definição, massa constante; logo, pode- se escrever (Brunetti, 2008):
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Como mv⃗ é, por definição, a quantidade de movimento do sistema, então pode-se dizer que a força resultante, que age no sistema em estudo, é igual à variação com o tempo da quantidade de movimento do sistema (Brunetti, 2008).
Esse é o teorema estabelecido na Mecânica e que deverá ser aproveitado para a determinação das forças dinâmicas em estudo. Neste subcapítulo a equação da quantidade de movimento será estabelecida para um tubo de corrente e para a hipótese de regime permanente (Braga, 2014).
Como já demonstrado no subcapítulo 2.1.4, a aceleração (a⃗ = dv⃗/dt) deve ser compreendida como uma variação local com o tempo (∂v⃗ ∂t⁄ , variação da velocidade no tempo), mais uma variação de transporte de um ponto a outro do fluido (variação da velocidade no espaço). Quando o regime é permanente, as propriedades não variam em cada ponto com o tempo, mas podem variar no espaço. A variação da quantidade de movimento no caso da Figura 95 deve então ser entendida como uma variação entre as secções (1) e (2) (Brunetti, 2008).
Figura 95 – Tubo de corrente (Brunetti, 2008).
Admitindo propriedades uniformes na secção, no intervalo de tempo dt, a massa de fluido que atravessa a secção (1) com velocidade v⃗ será dm , provocando um aumento da quantidade de movimento do fluido entre as secções (1) e (2) de dm v⃗ (Brunetti, 2008).
No mesmo intervalo de tempo, através da secção (2) existe a saída de uma quantidade de movimento dm v⃗. Logo a variação da quantidade de movimento entre (1) e (2) será dm v⃗ − dm v⃗. Pelo teorema da quantidade de movimento, a força resultante que age no fluido entre as secções (1) e (2) será (Brunetti, 2008):
F⃗ =dm v⃗dt −dm v⃗dt = Q v⃗ − Q v⃗ Por outro lado, como o regime é permanente, então:
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E, portanto:
F⃗ = Q (v⃗ − v⃗) = Q v⃗
A equação anterior mostra também que F⃗ tem a direção de v⃗ = v⃗ − v⃗, e o ponto de aplicação pode ser encontrado na interseção das direções de v⃗ e v⃗ (Figura 95). Ainda permite determinar a força resultante que age no fluido entre (1) e (2), o que normalmente não é o objetivo principal (Brunetti, 2008).
Vamos analisar as forças componente da resultante F⃗ (Figura 96).
Figura 96 – Pressões, tensões e campo de gravidade (Brunetti, 2008).
O fluido entre (1) e (2) está sujeito a forças de contato normais (de pressão) e tangenciais (tensões de cisalhamento) e à força de campo causada pelo campo de gravidade, que é o peso (G⃗) (exclui-se a existência de outros campos) (Brunetti, 2008). Nas secções (1) e (2), o fluido a montante e a jusante do tubo de corrente ((1) – (2)) aplica pressões nessas secções contra o fluido contido entre elas (Brunetti, 2008). As forças devidas às pressões nas secções (1) e (2) são, respetivamente, p 𝐴 e p 𝐴 em módulo. Para a determinação dos vetores das forças nessas duas secções, adotam-se versores normais a elas, com sentido para fora do tubo de corrente, por convenção. Dessa forma, as forças que agem no fluido nas secções (1) e (2) serão, respetivamente, −p A n⃗ e −p A n⃗, onde os sinais negativos se devem à convenção adotada para as normais, como se observa na Figura 96 (Brunetti, 2008).
Na superfície lateral, o fluido está sujeito a pressões e também a tensões de cisalhamento devidas ao seu movimento em contato com o meio (Brunetti, 2008). Essas pressões e tensões de cisalhamento podem variar de um ponto para outro da superfície lateral. A resultante das pressões pode ser obtida adotando-se em cada ponto uma normal dirigida para fora, conforme a convenção adotada (Brunetti, 2008). A resultante em cada elemento (dA ) no contorno de um ponto da superfície lateral será:
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dF⃗ = −p n⃗ dA + τ⃗dA
Logo, a força resultante das pressões e tensões de cisalhamento na superfície lateral será:
F⃗ = −p n⃗ dA + τ⃗dA
Uma vez definida essa resultante, a Figura 96 pode ser reduzida à Figura 97 (Brunetti, 2008).
Figura 97 – Componentes da força resultante (Brunetti, 2008).
Pelo exposto, a força (F⃗) resultante que age no fluido entre (1) e (2) será a soma das componentes representadas na Figura 97 (Brunetti, 2008). Logo:
F⃗ = F⃗ + (−p A n⃗) + (−p A n⃗) + G⃗ Mas F⃗ = Q (v⃗ − v⃗), então:
F⃗−p A n⃗ − p A n⃗ + G⃗ = Q (v⃗ − v⃗)
Em geral, o interesse por esta equação corresponde aos casos em que o fluido está em contato com uma superfície sólida, na superfície lateral entre (1) e (2). Nessa condição, a força F⃗ representaria a resultante das forças de contato da superfície solida contra o fluido (Brunetti, 2008). Isolando esse termo na equação anterior, obtém-se:
F⃗ = p A n⃗ + p A n⃗ + Q (v⃗ − v⃗) − G⃗
Na prática, normalmente, interessa determinar a força que o fluido aplica na superfície sólida com a qual está em contato entre as secções (1) e (2). Como F⃗ representa a força resultante da superfície sólida no fluido, então, pelo princípio da ação e reação, a força F⃗ que o fluido aplica na superfície sólida será (Brunetti, 2008):
F⃗ = −F⃗ = −[p A n⃗ + p A n⃗ + Q (v⃗ − v⃗)] + G⃗
Para facilidade de cálculo, não será levado em consideração o peso do fluido (G⃗); entretanto, note-se que nem sempre esse termo pode ser considerado desprezável e
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nas aplicações práticas deverá, às vezes, ser calculado. Pelo exposto, a equação anterior será daqui em diante usada na forma (Brunetti, 2008):
F⃗ = −[p A n⃗ + p A n⃗ + Q (v⃗ − v⃗)]
5.2 Aplicações do teorema da quantidade de movimento
A equação que define F⃗ não é aplicada na forma vetorial. Normalmente adotam-se eixos convenientes e, para a solução do problema, os vetores da equação são projetados na direção deles (Brunetti, 2008).
Todos os vetores da equação serão, então, projetados na direção desses eixos, determinando-se as componentes da força F⃗ nessas direções (Brunetti, 2008). Se o resultado final for a determinação da força F⃗, essas duas componentes poderão ser compostas vectorialmente para a sua obtenção (Brunetti, 2008).