Suponha que P = NP e considere como isso poderia ser demonstrado. A maneira mais natural seria exibir um algoritmo polinomial para a linguagem SAT ou para algum outro problema NP-completo. Existe uma s´erie de m´etodos algor´ıtmicos que podem ser utilizados para isso. As principais t´ecnicas podem ser encontradas em Cormen et al. [29]. Devido `a grande importˆancia industrial de diversos problemas NP-completos, um imenso n´umero de programadores e engenheiros tentaram encontrar algoritmos eficientes para esses problemas durante as ´ultimas d´ecadas, mas n˜ao obtiveram sucesso.
Um m´etodo algor´ıtmico interessante ´e a modelagem de problemas computacionais atrav´es de programa¸c˜ao linear. Como esse ´ultimo problema pode ser resolvido em tempo polinomial, se for poss´ıvel reduzir eficientemente algum problema NP-completo `a um problema de programa¸c˜ao linear, ficar´a provado que P = NP. No entanto, Yannakakis [114] mostrou que um importante problema NP-completo conhecido como TSP (problema do caixeiro viajante) n˜ao possui formula¸c˜ao eficiente como um problema de programa¸c˜ao linear com certas restri¸c˜oes. Isso ilustra o fato de que ´e poss´ıvel demonstrar que certas
2.7. Principais Abordagens 33
abordagens n˜ao s˜ao suficientes para provar que P = NP.
Por outro lado, caso P 6= NP, existem muitos m´etodos que foram propostos na ten- tativa de provar esse resultado. Alguns deles foram amplamente estudados e algumas limita¸c˜oes importantes tamb´em foram descobertas. Discutimos a seguir os casos mais interessantes.
Simula¸c˜ao e Diagonaliza¸c˜ao
O m´etodo de diagonaliza¸c˜ao teve origem com a demonstra¸c˜ao de Cantor de que o conjunto de n´umeros reais n˜ao ´e enumer´avel. Adaptado `a teoria da computa¸c˜ao, esse m´etodo foi utilizado inicialmente para provar que certos problemas computacionais s˜ao indecid´ıveis. Em complexidade, um argumento envolvendo simula¸c˜ao e diagonaliza¸c˜ao pode ser aplicado para demonstrar que existem problemas computacionais arbitrariamente dif´ıceis. Veremos como isso pode ser feito no cap´ıtulo3.
Al´em disso, a diagonaliza¸c˜ao pode ser usada para provar limitantes inferiores super- exponencias na complexidade de alguns problemas importantes (veja por exemplo o artigo de Fischer e Rabin [36]). Apesar dessa t´ecnica ser extremamente poderosa, h´a evidˆencias fortes de que ela sozinha n˜ao ´e suficiente para separar as classes de complexidade P e NP. Ainda que a t´ecnica de diagonaliza¸c˜ao possua essa importante limita¸c˜ao, quando combi- nada com outros m´etodos, ela ´e capaz de provar resultados interessantes em complexidade computacional. Vamos discutir essa quest˜ao em profundidade no cap´ıtulo 5.
Complexidade de Circuitos
Como veremos posteriormente, a relativiza¸c˜ao das t´ecnicas baseadas apenas em simu- la¸c˜ao e diagonaliza¸c˜ao indica que devemos de fato analisar as computa¸c˜oes envolvidas, e n˜ao apenas simul´a-las. Alguns resultados importantes provados na d´ecada de oitenta tornaram interessante o estudo de certos problemas atrav´es do uso de circuitos booleanos. Na complexidade de circuitos, as fun¸c˜oes s˜ao classificadas de acordo com o tama- nho (quantidade de portas l´ogicas) e a profundidade dos circuitos booleanos capazes de comput´a-las. Um aspecto interessante desse modelo computacional de computa¸c˜ao ´e a falta de uniformidade. Isso significa que, ao contr´ario das m´aquinas de Turing, entradas com tamanhos diferentes s˜ao processadas por circuitos booleanos diferentes.
O problema P vs NP ´e abordado atrav´es da complexidade de circuitos da seguinte maneira. Em primeiro lugar, para toda linguagem em P existe uma fam´ılia de circuitos booleanos com uma quantidade polinomial de portas l´ogicas (em fun¸c˜ao do tamanho da entrada) capaz de decid´ı-la. Por outro lado, h´a fortes evidˆencias de que os problemas NP-completos n˜ao podem ser computados por fam´ılias de circuitos de tamanho polino-
mial. Como circuitos booleanos s˜ao muito mais simples que m´aquinas de Turing, diversos m´etodos combinat´orios e probabil´ısticos podem ser utilizados na tentativa de provar que alguma linguagem NP-completa n˜ao admite circuitos eficientes.
Embora essa abordagem tenha tido algum sucesso com modelos mais restritos de cir- cuitos booleanos, os melhores resultados obtidos para o caso geral s˜ao muito fracos. Assim como ocorre com a diagonaliza¸c˜ao, tamb´em ´e poss´ıvel justificar parte do fracasso dessa abordagem. Discutiremos novamente essa quest˜ao na se¸c˜ao 5.8.
M´etodos Alg´ebricos
Ap´os a descoberta das barreiras descritas anteriormente, um novo m´etodo mostrou-se interessante para o estudo da rela¸c˜ao entre classes de complexidade. Uma t´ecnica baseada na aritmetiza¸c˜ao de f´ormulas l´ogicas foi capaz de provar resultados importantes, como a caracteriza¸c˜ao de classes3 IP = PSPACE [101]. Al´em disso, foram descobertas demons-
tra¸c˜oes que ultrapassam simultaneamente as barreiras envolvendo os m´etodos anteriores. Caracteriza¸c˜ao L´ogica das Classes de Complexidade
A quest˜ao P vs NP ´e equivalente a um problema de expressividade envolvendo duas classes distintas de express˜oes l´ogicas. Todas as linguagens em P podem ser representa- das por meio de f´ormulas l´ogicas de primeira ordem envolvendo um operador adicional de ponto fixo. Similarmente, as linguagens em NP s˜ao capturadas pelas express˜oes l´ogicas em linguagem de segunda-ordem existencial. Portanto, o problema P vs NP ´e equivalente `
a seguinte quest˜ao: a l´ogica de segunda-ordem existencial ´e capaz de descrever mais lin- guagens do que a l´ogica de primeira ordem com o operador de ponto fixo? Um ponto forte dessa abordagem ´e a disponibilidade de m´etodos bastante estudados proveninentes da l´ogica matem´atica.
GCT - “Geometric Complexity Theory”
Esse ´e um m´etodo recente proposto por Mulmuney e Sohoni em uma s´erie de artigos publicados nos ´ultimos anos. Esses autores argumentam que diversas dificuldades enfren- tadas pelos m´etodos anteriores podem ser formalmente analisadas e superadas atrav´es da geometria alg´ebrica e da teoria de representa¸c˜oes.
Em alguns casos, a prova de um limitante superior implica na demonstra¸c˜ao de um
3Para uma defini¸c˜ao da classe probabil´ıstica IP, recomendamos a leitura do livro de Goldreich [47].
A classe PSPACE cont´em as linguagens que podem ser decididas em espa¸co polinomial. Veja o cap´ıtulo 3para mais detalhes.